Adott az ABC háromszög. Bocsássunk merőlegest A-ból a B-beli belső szögfelező egyenesre, és B-ből az A-beli belső szögfelező egyenesre. A talppontokat jelölje D, illetve E. Bizonyítsuk be, hogy a DE egyenes a háromszög AC és BC oldalát a beírt kör érintési pontjában metszi.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

A p sé q pozitív számokra $p+q\le 1$. Igazoljuk, hogy bármely m, n pozitív egészekre

$\left ( 1-p^m \right ) ^n + \left ( 1-q^n \right ) ^m \ge 1$

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az 1, 2, ... , 2014²⁰¹⁴ számok közül Aladár és Boglárka felváltva törölnek le egy számok (Aladár kezd), amíg csak két szám marad. Ha a megmaradü két szám összege négyzetszám, akkor Boglárka nyer, egyébként Aladár. Kinek van nyerő stratégiája?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba