Adott a síkon három különböző kör. $ k $, $ k_1 $ és $ k_2 $. Középpontjaik és sugaraik legyenek rendre $ O $, $ O_1 $, $ O_2 $, $ r $, $ r_1 $ és $ r_2 $. Tegyük fel, hogy $ k $ belülről érinti $ k_1 $-et az $ E_1 $ pontban, $ k_2 $ belülről érinti $ k $-t az $ E_2\ne E_1 $ pontban. továbbá, hogy az $ O_1O_2 $ egyenes merőleges az $ E_1E_2 $ egyenesre. Fejezzük ki az $ r $sugarat $ r_1 $-gyel és $ r_2 $-vel.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Mutassuk meg, hogy

$\sum \limits _{k=1} ^m \dfrac{m(m-1)(m-2)\ldots(m-k+1)k}{m^{k+1}} =1$

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

3. Tekintsük azokat az n hosszúságú sorozatokat, amelyek mindegyik eleme 0 vagy 1. Két ilyen sorozat összegén a tagonként modulo 2 végzett összeadás eredményét értjük. Mely pozitív egész n számokra állíthatók párba ezek a sorozatok úgy, hogy a párok két tagját rendre összeadva $ 2^{n−1} $ különböző sorozatot kapjunk?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba