Az $ f $ függvény értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza és a függvény értékei is pozitív egészek. Határozzuk meg az összes olyan $ f $ függvényt, amelyre teljesül, hogy minden pozitív egész n szám esetén

$\sum \limits _{i=1}^n f^3(x)= f^3(1)+f^3(2)+\ldots+f^3(n)=\left(f(1)+f(2)+\ldots+f(n)\right)^2=\left(\sum \limits _{i=1}^n f(x)\right)^2$

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az $ ABC $ háromszög $ CA $, $ AB $ és $ BC $ oldalainak belső pontjai rendre $ B_1 $ , $ C_1 $ és $ A_1 $ , amelyekre

$ \dfrac {CB_1} {CA} = \dfrac {AC_1}{AB} =\dfrac {BA_1}{BC} = \lambda < \dfrac 1 2 $

Az $ AA_1 $ és $ BB_1 $ szakaszok metszéspontja $ P $, $ BB_1 $ és $ CC_1 $ metszéspontja $ Q $ és $ CC_1 $ és $ AA_1 $ metszéspontja $ R $. Ha az $ ABC $ háromszög területe $ T $ , a $ PQR $ háromszög területe $ t $, akkor $ T : t = 13 : 4 $ esetén mekkora $\lambda$ értéke?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy táncesten n lány és 4 fiú vett részt. Páros táncokat táncoltak, egy párban mindig egy fiú és egy lány volt, de a táncpartnerek cserélődhettek. Legalább mekkora n, ha a táncolás után biztosan kiválasztható vagy két lány és két fiú úgy, hogy a közülük alakítható összes lehetséges párosításban táncoltak az est folyamán, vagy úgy, hogy semelyik párosításban sem táncoltak?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba