Legyen $ n\ge3 $. Az n tagot számláló Hazugok Klubjában mindenkit megkérdezünk, hány olyan tagja van a klubnak (saját magán kívül), aki vele azonos évben született. A klubtagok mind hamis adatokat akarnak közölni úgy, hogy valamilyen sorrendben a $ 0, 1, \ldots , n − 1 $ válaszokat adják meg. A tényleges születési évszámokról mi csak annyit tudunk, hogy nem mind különbözők, de nem is mind azonosak. Milyen n értékekre lehetünk biztosak abban, hogy a klubtagok el tudják érni a céljukat?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Legyen B az AC szakasz belső pontja. Rajzoljuk meg a k1 és a k2 félkört az AB, illetve az AC szakaszra mint átmérőre ugyanabban a félsíkban. A BC szakaszra mint alapra állítsunk olyan BCD egyenlő szárú háromszöget, amelynek a D csúcsa k2-re illeszkedik. Legyen K annak a körnek a középpontja, amely érinti k1-et, k2-t és a BD szakaszt. Igazoljuk, hogy KB merőleges AC-re.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Legyen $ 2 = p1 < p2 < \ldots $ a pozitív prímszámok sorozata és $ f(k, n)=\sum\limits_{j=1}^{\infty}\left|n\sqrt{\dfrac{p_k}{p_j}} \right|  $. Bizonyítsuk be, hogy bármely $ M > 0 $ egészhez pontosan egy olyan $ (k, n) $ pozitív egész számpár létezik, amelyre $ f(k, n) = M $. (A képletben $ |x| $ az x szám alsó egészrészét, $\sum $ pedig a megadott indexekre történő összegzést jelenti, tehát pl. $ f(2, 1) = \left|1\cdot\sqrt{\dfrac{3}{2}} \right|+\left|1\cdot\sqrt{\dfrac{3}{3}} \right| = 2 $ (az összeg többi tagja 0).

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba