Oldja meg a valós számok halmazán az

$ (x-3)^4+(x-5)^4=82$

egyenletet!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy számsorozatot a következő módon képezünk: legyen $a_1=1 $ és $a_2=2 $, a sorozat további tagjai pedig tegyenek eleget az

$a_n=a_{n-1}\cdot a_{n-2}-1\qquad (n\ge2) $

összefüggésnek. Mennyi a sorozat első 2011 tagjának az összege?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Legyenek m és n pozitív egész számok. Igazolja, hogy

$ \dfrac m n < \dfrac {m^2+m\cdot n+2n^2}{m^2+m\cdot n+n^2}$

akkor és csak akkor igaz, ha

$\dfrac m n < \sqrt[3] 2 $

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy R sugarú körbe olyan trapézt írunk, amelynek oldalai R; R; R; 2R hosszúságú húrok. Az R hosszúságú alaphoz tartozó rövidebb ív F felezőpontjából párhuzamosokat húzunk a trapéz száraival, ezek a kört másodszor a G illetve a H pontokban metszik. Bizonyítsa be, hogy a trapéz területe egyenlő az FGH háromszög területével!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Legyenek az a,b, c, d számok egymástól és 0-tól különböző számjegyek. Adja meg a lehető legkevesebb számú osztóval rendelkező, tízes számrendszerbeli, 

$N=\overline{abcd}+\overline{dabc}+\overline{cdab}+\overline{bcda} $

alakú számok közül a legnagyobbat!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Tegyünk egy hagyományos óra minden számjegyére egy-egy korongot, tehát az 1-re egy darabot, a 2-re is egy darabot, és így tovább, végül a 12-re is egy darabot. Ezután egy lépés a következőt jelenti: megfogunk két tetszőleges korongot, és az egyiket az óramutató járásával ellentétes irányban, a másikat pedig az óramutató járásával azonos irányban a szomszédjára áttesszük. Elérhetjük-e véges sok ilyen lépéssel, hogy mind a 12 korong ugyanazon a számjegyen legyen?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba