Az $ ABC $ derékszögű háromszög $ C $ csúcsából induló magasságának talppontja az A$ $B átfogón $ D $. A $ B $ csúcsból induló szögfelelző a $ CD $magasságot az $ E $, az $ AC $befogót az $ F $ pontban metszi. Igazoljuk, hogy $ AD > 2 $ · EF .

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Van-e olyan pozitív egész, amelynek pozitív osztói között 2011-szer annyi négyzetszám van, mint köbszám?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Anna és Bálint a következő játékot játsszák: Anna rajzol egy tetszőlegesen nagy üres (azaz él nélküli) gráfot, majd egyesével behúz tetszőleges éleket, amelyeket Bálint közvetlenül a behúzás után kékre vagy pirosra színez. További szabály, hogy az így keletkező gráfban minden csúcs foka legfeljebb k lehet, és k értékében előre megállapodnak. Melyik az a legkisebb k, amely mellett Anna ügyes játékkal mindenképpen létre tud hozni egy 2011 hosszúságú egyszínű utat?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba