Egy $ 2010 \times 2010 $-es táblázat mezőibe úgy akarunk (nem feltétlenül különböző) egész számokat beírni, hogy minden sorban és minden oszlopban a számok összege különböző legyen (azaz 4020 különböző összeget kapjunk). Legkevesebb hányféle szám beírásával tudjuk ezt elérni?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Legyen $ 0 < x_1 < x_2 < · · · < x_n < 1 $. Igazolja, hogy

$x_1(1-x_1)+(x_2-x_1)(1-x_2)+(x_3-x_2)(1-x_3)+\ldots+(x_n-x_{n-1})(1-x_n)<\dfrac 1 2 $

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Keresse meg az összes olyan $ p $ prímszámot, melyhez léteznek olyan $ a, b, c $ egész számok, hogy $ a^2 + b^2 + c^2 = p $ és $ (a^4 + b^4 + c^4) $ osztható $ p $-vel.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy $ n $-elemű $ H $ halmaznak kiválasztottuk néhány $ k $-elemű részhalmazát $ (3 \le k \le n) $ úgy, hogy $ H $ bármely két elemét pontosan három darab, bármely három elemét pontosan két darab kiválasztott részhalmaz tartalmazza. Határozza meg $ n $ és $ k $ lehetséges értékeit.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

a) Tükrözzük az $ ABC $ háromszög $ A $ csúcsát $ B $-re, $ B $-t $ C $-re és $ C $-t $ A $-ra. Igaz-e, hogy ha a tükörképek alkotta háromszög szabályos, akkor az eredeti háromszög is szabályos?

b) Tükrözzük az $ ABCD $ tetraéder $ A $ csúcsát $ B $-re, $ B $-t $ C $-re, $ C $-t $ D $-re és $ D $-t $ A $-ra. Igaz-e, hogy ha a tükörképek alkotta tetraéder szabályos, akkor az eredeti tetraéder is szabályos?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba