Melyek azok az $ m\in \mathbb{Z} $ számok, amelyekre az $(m - 2)\cdot x^2 - 2mx -1 = 0$ egyenletnek legfeljebb egy, az $m\cdot x^2 + 3mx - 4 = 0$ egyenletnek legalább egy valós gyöke van?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy derékszögű háromszög átfogóját a beírt kör érintési pontja két szakaszra osztja. Bizonyítsa be, hogy a háromszög területének számértéke egyenlő ezen két szakasz hosszának a szorzatával!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Melyik az a 10-es számrendszerben felírt, $ \overline{xyzu} $ alakú négyjegyű szám, amelynek számjegyeire teljesülnek az $u + z − 4x = 1$ és $u +10z − 2y = 14$ feltételek?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az $ ABC $ hegyesszögű háromszög $ M $ magasságpontja a $ CC_1 $ magasságvonalon úgy helyezkedik el, hogy $ CM : MC_1 = 3:1$. ( $ C_1 $ a magasság talppontja) Mekkora az $ AFB\sphericalangle $, ha $ F $ a $ CC_1 $ szakasz felezőpontja?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Palkó uzsonnára palacsintát készített barátainak. Az asztalon három tálon van palacsinta. Az elsőn 8 darab túrós, 6 darab diós, és 10 darab lekváros van, a másodikon 12 darab túrós, 10 darab diós, és 8 darab lekváros, a harmadikon 8 darab diós, 12 darab lekváros és néhány túrós.

a) Palkó egyik barátja, Peti, véletlenszerűen vett mindegyik tálról egy-egy palacsintát. Tudjuk, hogy a Peti által választott három palacsinta 25 3 valószínűséggel volt azonos ízesítésű. Hány túrós palacsinta volt a harmadik tálon?

b) A harmadik tálon levő túrós palacsinták számától függően milyen határok közt változhat annak a valószínűsége, hogy Peti három azonos ízesítésű palacsintát vett ki? (Feltesszük, hogy a házigazda csak a harmadik tálon lévő túrós palacsinták számát változtatja.)

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az $ ABC $ háromszög $ B $ és $ C $ csúcsainál fekvő belső szögfelezők az $ AC $ illetve $ AB $ oldalt a $ B_1 $ illetve $ C_1 $ pontokban metszik. Rajzoljuk meg az $ A $ csúcson keresztül a külső szögfelező $ e $ egyenest. A $ B_1 $ ponton át a $ CC_1 $ szögfelezővel, a $ C_1 $ ponton át a $ BB_1 $ szögfelezővel párhuzamos egyeneseket húzunk, amelyek az $ e $ egyenest a $ P $ illetve a $ Q $ pontokban metszik. Bizonyítsa be, hogy a $ BCQP $ négyszög csúcsai egy körön helyezkednek el!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba