Legyen $ f (x) = 2 $, ha $ x \ge 0 $, és $ f (x) = 1 $, ha $ x < 0 $. Legyen továbbá $ g(x) = f (x)/f (x - 1) $, és végül

$ h(x) = g(x) + 2 g(x/2) + 3 g(x/3) + . . . + 2008 g(x/2008). $

Számítsuk ki $ h(\pi) $-t.

Megtekintés helyben: 

   

Megtekintés új oldalon: 

        

Feladatlapba

Tükrözzük az $ ABC $ hegyesszögű háromszög egy belső pontját az $ AB $, $ BC $, $ CA $ oldalakra, a tükörképeket jelölje rendre $ R $, $ P $, ill. $ Q $. Bizonyítsuk be, hogy az $ AQR $, $ PBR $ és $ PQC $ köröknek van közös pontja.

Megtekintés helyben: 

   

Megtekintés új oldalon: 

        

Feladatlapba

Legyen $ n $ pozitív egész. Mutassuk meg, hogy akkor és csak akkor létezik racionális számok négyzeteiből álló, $ n $ differenciájú, háromtagú számtani sorozat, ha létezik $ n $ területű, racionális oldalú, derékszögű háromszög.

Megtekintés helyben: 

   

Megtekintés új oldalon: 

        

Feladatlapba

Oldjuk meg az alábbi egyenletet a valós számok körében:

$\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{3}{x-3}+\dfrac{7}{x-7}+\dfrac{9}{x-9}=x^2-5x-4 $

Megtekintés helyben: 

   

Megtekintés új oldalon: 

        

Feladatlapba

Mennyi $ 2 \cos \alpha + 6 \cos \beta + 3 \cos \gamma $ minimuma, ha $ \alpha, \beta , \gamma \ge  0 $ és $ \alpha + \beta + \gamma = 2\pi $ ?

Megtekintés helyben: 

   

Megtekintés új oldalon: 

        

Feladatlapba