Határozzuk meg azon $ k_1 , k_2 , \ldots , k_n $ és $ n $ pozitív egészeket, amelyekre

$k_1+k_2+\ldots+k_n=5n-4 \text{ és } \dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}+\ldots+\dfrac{1}{x_n}=1$ 

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

A szabályos $ ABC $ háromszög belső $ P $ pontjának az $ AB $, $ BC $ és $ CA $ oldalakra eső merőleges vetülete legyen rendre $ C' $ , $ A' $ és $ B' $. Jelölje az $ APC' $ , $ BPA' $ , $ CPB' $ és $ APB' $ , $ BPC' $ , $ CPA' $ háromszögekbe írt körök sugarát rendre $ r_1 , r_2 , r_3 $ és $ r_4 , r_5 , r_6 $ . Bizonyítsuk be, hogy

$ r_1 + r_2 + r_3 = r_4 + r_5 + r_6 .$

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

A $ H = \left\{ 1; 2; 3; ...; 9 \right\} $ halmaz egy $ P $ partíciójának nevezzük azt, ha $ H $-t diszjunkt részhalmazainak uniójaként írjuk fel. (A részhalmazok páronként közös elem nélküliek.) Jelölje $ P (n) $ az $ n $-t tartalmazó részhalmaz elemeinek számát ($ n \in H $). Például a $ P : \{1; 4; 5\} \cup \{2\} \cup \{3; 6; 7; 8; 9\} = H $ partíció esetén $ P (6) = 5 $. Bizonyítsuk be, hogy $ H $ bármely $ P_1 $ és $ P_2 $ partíciójára található két különböző $ H $-beli $ n $ és $ m $ elem, amelyekre $ P_1 (n) = P_1 (m) $ és $ P_2 (n) = P_2 (m). $

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba