Határozzuk meg az alábbi egyenletrendszer valós megoldásait.

$ \begin{cases} x^3 + y^3 = x, \\ 3x^2y + 3xy^2 = y. \end{cases} $

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Tekintsük azokat a négyjegyű pozitív egész számokat, amelyeknek minden jegye különböző.

a) Hány ilyen szám van?

b) Mennyi ezeknek a számoknak az összege?

c) Növekvő sorrendbe állítva őket melyik lesz a 2008-ik? (Az 1023 az első.)

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az egyenlőszárú $ ABC $ háromszögben $ AB = AC $. $ BC $ egy tetszőleges belső $ P $ pontjából a szárakkal párhuzamosokat húzunk. Az $ AC $-vel párhuzamos az $ AB $-t $ Q $-ban, az $ AB $-vel párhuzamos az $ AC $-t $ R $-ben metszi. Határozzuk meg a $ PQR $ háromszögek súlypontjának halmazát, mértani helyét.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Adottak az A, B és C számok:

$A=\dfrac{1}{2-\sqrt{3}},\ B=(\sqrt{5}-\sqrt{2}\cdot \sqrt{\sqrt{3}})\cdot  (\sqrt{5}+\sqrt{2}\cdot \sqrt{\sqrt{3}}),\ C=\sqrt{7-4\sqrt{3}}$

Igazoljuk, hogy bármely pozitív egész n esetén irracionális az alábbi szám:

$ \sqrt{(A++B-C)n+2}$

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

A pozitív valós $ p $ paraméter segítségével definiáljuk a valós számok halmazán az $ f $ függvényt:

$f(x)=\begin{cases} p|x-4|-4p;\ \text{ ha } x\ge 0\\ -p|x+4|+4p ;\ \text{ ha } x<0\end{cases} $

Határozzuk meg $ p $ értékét, ha tudjuk, hogy egyetlen olyan négyzet van, amelynek minden csúcsa rajta van $ f $ grafikonján.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba