Az $ A_1 A_2 . . . A_6 $ konvex hatszög mindegyik belső szöge tompaszög. Az $ A_i $ középpontú ki körök $ (1 \le i \le 6) $ úgy helyezkednek el, hogy $ k_1 $ kívülről érinti $ k_2 $ -t és $ k_6 $ -ot, $ k_2 $ kívülről érinti $ k_1 $ -et és $ k_3 $ -at, általában ki kívülről érinti $ k{i−1} $ -et és $ k{i+1} $ -et. A $ k_1 $ -en található két érintési pontot összekötő egyenesnek és a $ k_3 $ -on található érintési pontokat összekötő egyenesnek a metszéspontját összekötjük $ A_2 $ -vel, ez lesz az $ e $ egyenes. Hasonlóan, a $ k_3 $ - on, illetve $ k_5 $ -ön levő érintési pontokat összekötő egyenesek metszéspontját összekötjük $ A_4 $ -gyel, ez lesz az $ f $ egyenes. Végül, a $ k_5 $ -ön, illetve $ k_1 $-en található érintési pontokat összekötő egyenesek metszéspontját összekötjük $ A_6 $ -tal, ez lesz a $ g $ egyenes. Mutassuk meg, hogy $ e $, $ f $ és $ g $ egy ponton mennek át.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Két játékos előtt egy-egy kavicskupac található, kezdetben mindkettőben k kavics van. Először az első játékos ezekhez hozzátesz összesen 2008 újabb kavicsot, az új kavicsokat tetszőlegesen oszthatja el a két kupac között (akár az összeset is az egyik kupacba teheti). Ezután a második játékos tesz hozzá a kupacokhoz összesen 2008 újabb kavicsot, és ugyanígy folytatják felváltva. Az nyer, akinek a kupacában (a saját vagy ellenfele lépése után) a kavicsok száma négyzetszám, míg ellenfele kupacára ez nem igaz (ha mindkét kupac ilyen, akkor a játékot folytatják). Van-e végtelen sok k-ra a második játékosnak nyerő stratégiája?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Mutassuk meg, hogy minden $ 1 < r < s < 2008/2007 $ számokhoz vannak olyan (nem feltétlenül relatív prím) $ p $ és $ q $ pozitív egészek, hogy $ r < p/q < s $, és sem a $ p $, sem a $ q $ tízes számrendszerbeli felírásában nem szerepel a 0 számjegy.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba