Melyek azok a $ p $, $ q $, $ r $ pozitív prímszámok, amelyek teljesítik az alábbi egyenlőséget?

$ p^3+p^2+p+1=qr $

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az $ f (x) = ax^2 + bx + c $ másodfokú függvényre teljesül, hogy $ f (20 - x) = f (24 + x) $ az $ x $ minden valós értéke mellett. Tudjuk, hogy az $ f $ függvénynek két különböző darab zérushelye van. Adjunk példát ilyen másodfokú függvényre, és határozzuk meg, hogy mennyi lehet a zérushelyek összege.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Legyenek $ x $ és $ y $ pozitív valós számok. Bizonyítsuk be, hogy $ x + y = 1 $ esetén

$ \dfrac{(45x-1)^2}{x}  + \dfrac{(45y-1)^2}{y} \ge 1849 $

Milyen $ (x; y) $ számpárok esetén teljesül az egyenlőség?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy városi ifjúsági rendezvényen minden résztvevő pontosan 3 fiút és pontosan 7 lányt ismer a többiek közül. Bizonyítsuk be, hogy a résztvevők száma osztható 20-szal. (Feltételezzük, hogy két személy között az ismeretség kölcsönös, és senki nem számolja saját magát az ismerősei közé.)

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az $ ABCD $ rombuszban $ ABC\sphericalangle = 100^\circ $. A $ CD $ oldalon kijelölünk egy olyan $ P $ pontot, melyre $ PBC\sphericalangle = 20^\circ $. A $ P $ ponton áthaladó, $ DA $ oldallal párhuzamos egyenes a $ Q $ pontban metszi az $ AC $ átlót. Bizonyítsuk be, hogy $ BP = AQ $.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba