Gergő elhatározta, hogy kiszámolja a kétjegyű pozitív egész számok összegét. Sajnos az összeadásnál egy számot véletlenül kihagyott, így a kapott összeg egy palindrom szám lett (azaz olyan szám, amely odafele és visszafele olvasva is ugyanaz). Melyik számot hagyta ki Gergő?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az $ ABC $ háromszögben $ AC = BC $. Az $ A $ csúcsból húzott belső szögfelező a $ P $, az $ A $ csúcsból húzott magasságvonal pedig az $ R $ pontban metszi a $ BC $ oldal egyenesét. Mekkorák az $ ABC $ háromszög szögei, ha $ AP = 2 \cdot AR $?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

A háromelemű H halmaz elemei pozitív egész számok. Imre felírta a H halmaz összes valódi (azaz H-tól különböző) nemüres részhalmazát, majd minden egyes részhalmaz esetén kiszámította a részhalmazban lévő számok szorzatát. (Az egyelemű részhalmazok esetén ez a szorzat maga az elem.) Végül az így kapott szorzatokat is szerette volna összeszorozni, de figyelmetlen volt, ezért az egyik szorzatot kifelejtette, így a többi szorzat szorzatára 400-at kapott. Mely számok lehettek a H halmaz elemei?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az $ a $, $ b $, $ c $ egész számokra teljesül, hogy az $ a(b + c) $ és $ b(a + c) $ kifejezések értéke két egymást követő egész szám. Bizonyítsuk be, hogy a kapott két szomszédos szám közül legalább az egyik négyzetszám.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az egységnyi oldalú $ ABCDEF $ szabályos hatszögben vegyük fel az $ AC $ átlón a $ P $ pontot, a $ CE $ átlón pedig a $ Q $ pontot úgy, hogy $ AP = 1 $ és $ CQ = 1 $ legyen. Bizonyítsuk be, hogy $ B $, $ P $ és $ Q $ pontok egy egyenesre esnek.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba