Mely $ 1 $-nél nagyobb pozitív egész n-ekre lehetséges, hogy a $ p_1, p_2, \ldots , p_n $ páratlan pozitív egész számok szorzata egyenlő az összegükkel?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Mutassuk meg, hogy tetszőleges $ q > 1 $ racionális szám esetén a pozitív egész számok halmazát fel lehet bontani egy $ A $ és $ B $ halmazra úgy, hogy $ q $ nem írható fel sem két $ A $-beli, sem két $ B $-beli szám hányadosaként.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Vannak-e olyan $ 2025 $ és $ 6000 $ közötti $ x $ és $ y $ egész számok, amelyekre az $ xy + x $ és az $ xy + y $ egymástól különböző négyzetszámok?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az egyenlő szárú $ ABC $ háromszög $ C $-nél lévő szöge $ 100^\circ $ . Az $ A $-ból induló belső szögfelező a $ BC $ oldalt a $ D $ pontban metszi. Mutassuk meg, hogy $ AD + DC = AB $.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Vannak-e olyan $ x_1, x_2, \ldots , x_{99} $ számok, amelyek mindegyike  $ \sqrt{2}+1 $ vagy $ \sqrt{2}-1 $ értékű, és teljesül rájuk, hogy

$ x_{1}x_{2}+ x_{2}x_{3}+ x_{3}x_{4}+ \ldots + x_{98}x_{99}+ x_{99}x_{1} = 199 $

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba