Az ABCD téglalapban AB : BC = 4 : 3. Legyen F az AB, G a CD oldal felezőpontja, míg K az AC átló felezőpontja. Az AF és FB, valamint a CG és GD szakaszok fölé a téglalap belsejébe azonos sugarú félköröket rajzolunk. A K középpontú k kör pedig kívülről érinti az előző félköröket. Mekkora a k kör sugara és félkörök sugara arányának pontos értéke?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Megoldás:

Megoldások: $ (-2; 0),\ (1; 0),\  (2; -2),\  (2; 2),\  (-3; -2),\  (-3; 2) $

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Adott öt különböző pozitív egész szám. Ha az összes lehetséges módon képezzük kettőnek az összegét, akkor pontosan hét különböző értéket kapunk. Igazoljuk, hogy az öt szám összege 5-tel osztható.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Mely egész $ (a; b) $ számpárok esetén teljesül az alábbi egyenlet?

$ (a - 3)b^2 + (2a - 6)b = 3a - 4 $

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

10 osztálytárs színházba megy, ahol ugyanabban a sorban, egymás melletti székeken kapnak helyet. A szünetről visszatérve ugyanazokat az üléseket foglalják el, de nem biztos, hogy mindenki a saját helyére ül vissza. Aki máshová ül, az eredeti helye melletti ülésre kerül. Tegyük fel, hogy $ n $ diák kerül új helyre, ahol $ n $ 10-nél nem nagyobb természetes szám. Adjuk meg $ n $ függvényében a lehetséges ülésrendek számát!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba