Bence érettségire készülve egy hónapban hét darab 100 pontos tesztet töltött ki. Ezekre - nem időrendben, hanem pontszám szerinti növekvő sorrendben - a következő pontszámokat kapta: 34, 64, 71, 75, 80, 82, 91. Minden teszt kitöltése után az elért eredményeket beírta egy számítógépes programba, amely mindig kiszámolta az addig beírt eredmények átlagát. Bence azt vette észre, hogy minden egyes pontszám beírása után az addig beírt pontszámok átlaga mindig egész szám. Bence arra már nem emlékszik, hogy a hét pontszámot milyen sorrendben kapta. Hány olyan sorrendje van a hét számnak, amely eleget tesz a feladatban megfogalmazott feltételnek?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az $ ABCD $ négyzet $ AB $ és $ BC $ oldalainak felezőpontjai rendre az $ E $ és $ F $ pontok. Az ábra szerint a $ BF $, illetve $ BE $ szakaszokkal mint oldalakkal a négyzeten kívül egy-egy szabályos hatszöget, illetve szabályos tizenkétszöget rajzolunk. A tizenkétszög $ E $-vel szomszédos, $ B $-től különböző csúcsát jelöljük $ P $-vel, a négyzet, a hatszög és a tizenkétszög középpontját pedig rendre $ Q $, $ R $, $ S $-sel. Igazoljuk, hogy a $ PQRS $ szimmetrikus trapéz.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy $ 3 \times 3 $-as négyzetrács mezőit kitöltjük az $ \{1; 2; 3; 4; 5\} $ halmaz elemeivel. Ezután minden sor mellé és minden oszlop alá odaírjuk az abban a sorban, illetve oszlopban szereplő legnagyobb számot. Hány olyan kitöltése lehet a táblázatnak, amikor a sorokhoz, illetve az oszlopokhoz rendelt számok között az $ 1 $, $ 2 $, $ 3 $, $ 4 $, $ 5 $ számok mindegyike előfordul?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba