Oldjuk meg az

$ \left\{ x+y \right\}=\left\{ x \right\} \cdot \left\{ y \right\} $

egyenletet a valós számok halmazán, ahol $ \left\{ x \right\} $ az $ x $ szám törtrészét jelöli, vagyis $ \left\{ x \right\} = x - \left[ x \right] $,
ahol $ \left| x \right| $ az $ x $-nél nem nagyobb egészek közül a legnagyobb.
 

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Adottak a síkon az $ F_1 $, $ F_2 $, $ F_3 $ és $ T $ pontok. Szerkesztendő egy $ ABCD $ konvex négyszög, amelynek $ AB $, $ BC $ és $ CD $ oldalainak felezőpontjai rendre $ F_1 $, $ F_2 $ és $ F_3 $, valamint $ ATD $ az $ AD $ oldal mint átfogó fölé kifelé emelt derékszögű, egyenlő szárú háromszög. Adjuk meg a szerkesztés lépéseit, illetve hogy mikor létezik ilyen konvex négyszög!
 

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Legyen $ n \ge 4 $ egész szám. Bizonyítsuk be, hogy minden $ A \subseteq \left\{ 1, \ldots , n \right\} $ halmazhoz található olyan $ B \subseteq \left\{ n + 1, . . . , 2n \right\} $ halmaz, amelyre az $ A \cup B $ halmaz elemeinek szorzata négyzetszám. (Az üres halmaz elemeinek szorzata definíció szerint $ 1 $.)
 

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba