Bizonyítsuk be, hogy egyetlen olyan $ n $ pozitív egész szám van, amelyre $ 3n + 1 $ és $ 7n + 4 $ is négyzetszám, valamint $ n + 7 $ prímszám.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az $ A $-nál derékszögű $ ABC $ háromszögben $ AB > AC $. Legyen az $ A $ pont $ BC $ egyenesre vonatkozó tükörképe $ P $, az $ A $-ból $ BP $-re állított merőleges talppontja $ T $, míg $ AT $ szakasz felezőpontját jelölje $ F $. Az $ ABC $ háromszög köréírt $ k $ köréhez $ A $-ban húzott érintő a $ BC $ egyenest $ Q $-ban metszi, míg a $ BF $ egyenes és $ k $ ($ B $-től különböző) metszéspontja $ U $. Igazoljuk, hogy a $ BQ $ egyenes érinti az $ AUQ $ háromszög köréírt körét!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Dániel bácsinak 6 kutyája és 6 macskája van. Mivel Dániel bácsi szeret fotózni, az állatairól készített néhány fényképet. A képek előhívása után a következőket vette észre.
- Mind a 36 lehetséges kutya-macska párosra volt olyan kép, amelyen ez a két állat (esetleg más állatokkal együtt) egy képen szerepelt.
– Egyetlen képen sem szerepelt mindkét fajta állatból egyszerre több. (Az előfordulhatott, hogy egy képen egy kutya és több macska volt, vagy egy macska és több kutya volt.)
- Bármely állat legfeljebb négy képen szerepelt.
Hány fotót készített Dániel bácsi?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba