Legyen $ H $ a $ 2022 $ elemű $ H = \{1; 2; 3; \ldots ; 2022\} $ halmaz. Legyen továbbá $ A_1 , A_2 ,\ldots , A_{2022} $ a $ H $ halmaz részhalmazainak egy olyan sorozata, hogy $ A1 \subseteq A2 \subseteq A3 \subseteq \ldots \subseteq A2021 \subseteq A2022 \subseteq H $.

– Azt mondjuk, hogy az $ A_1 , A_2 ,\ldots , A_{2022} $ halmaz-2022-es "Róbert típusú részhalmazsorozat", ha $ |A_1| + |A_2 | + |A_3 | + \ldots + |A_{2022} | < 2022 $,

– Míg azt mondjuk, hogy az $ A_1, A_2 , \ldots , A_{2022} $ halmaz-2022-es "Gida típusú részhalmazsorozat", ha $ |A_1| + |A_2 | + |A_3 | + \ldots + |A_{2022} | = 2022 $.

Melyikből van több, a $ H $ halmaz Róbert típusú, vagy Gida típusú részhalmazsorozataiból?

(Például az $ A_1 = A_2 = \ldots = A_{2022} = \emptyset $  Róbert típusú, míg az $ A_1 = A_2 = \ldots = A{2020} = \emptyset $ és $ A_{2021} = A_{2022} = \{1; 2; 3; . . . ; 1010; 1011\} $ Gida típusú részhalmazsorozat.)

Megtekintés helyben: 

   

Megtekintés új oldalon: 

        

Feladatlapba

Egy $ ABC $ hegyesszögű háromszög köréírt körének középpontja $ O $, a $ BC $ oldalhoz tartozó magasság talppontja $ D $. A háromszög köréírt körének sugara egyenlő a $ BC $ oldalhoz hozzáírt körének sugarával. Az $ A $-ból induló belső szögfelező a köréírt kört $ E $-ben metszi. Igazoljuk, hogy $ AE $ és $ DO $ szakaszok metszéspontja a háromszög beírt körének középpontja!

Megtekintés helyben: 

   

Megtekintés új oldalon: 

        

Feladatlapba

Egy kör alakú futópályán 15 robotautó köröz állandó sebességgel egy közös irányba.

– Az első autó 1 perc alatt tesz meg egy teljes kört,

– a második autó $ \dfrac{1}{2} $ perc alatt tesz meg egy teljes kört,

– a harmadik autó $ \dfrac{1}{3} $ perc alatt tesz meg egy teljes kört, \ldots

– (általában az) $ i $-edik autó $ \dfrac{1}{i} $ perc alatt tesz meg egy teljes kört, és végül

– a $ 15 $-ödik autó $ \dfrac{1}{15} $ perc alatt tesz meg egy teljes kört.

Minden autóról minden pillanatban eldönthető, hogy melyik szektorban van. A kör alakú pálya $ 17 $ egyenlő (azaz egyenként $ \dfrac{360^\circ}{17} $-os középponti szögű) szektorra van felosztva. Igazoljuk, hogy a robotautók tetszőleges kezdeti elhelyezkedése esetén van olyan időpont, amikor egyszerre hat különböző szektorban sincs egyetlen autó sem.

Megtekintés helyben: 

   

Megtekintés új oldalon: 

        

Feladatlapba