Bizonyítsuk be, hogy ha x, y és z pozitív számok, akkor

$ \dfrac{x^2}{(x+y)(x+z)} + \dfrac{y^2}{(x+y(y+z} + \dfrac{z^2}{(x+z)(y+z) }\ge \dfrac{3}{4}  $

Mely esetben áll fenn az egyenlőség?

Megtekintés helyben: 

   

Megtekintés új oldalon: 

        

Feladatlapba

Adott az $ O $ középpontú $ r $ sugarú $ k $ kör és annak egy $ AB > r $ húrja. $ P $ az $ AB $ húr azon pontja, amelyre $ AP = r $. A $ BP $ szakasz felezőmerőlegese a $ k $ kört a $ C $ és $ D $ pontokban metszi. A $ D $ és $ P $ pontokra illeszkedő egyenesnek és $ k $-nak $ D $-től különböző metszéspontja $ E $. Bizonyítsuk be, hogy a $ CPE $ háromszög szabályos.

Megtekintés helyben: 

   

Megtekintés új oldalon: 

        

Feladatlapba

Egy körön kijelölünk 2022 különböző pontot, és mindegyikhez hozzárendelünk egy egész számot úgy, hogy mindegyik nagyobb, mint az óramutató járásával ellentétes irányban az őt megelőző két szám összege. Mennyi lehet a pontokhoz rendelt pozitív egészek számának maximuma?

Megtekintés helyben: 

   

Megtekintés új oldalon: 

        

Feladatlapba