Jelölje $ [a; b] $ az $ a $ és $ b $ pozitív egész számok legkisebb közös többszörösét. Legyen $ n $ olyan pozitív egész szám, amelyre  $ [n; n + 1] > [n; n + 2] > [n; n + 3] > · · · > [n; n + 9] $. Bizonyítsuk be, hogy $ [n; n + 9] > [n; n + 10] $ .

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy háromszög mindegyik oldalán kijelölünk két-két pontot úgy, hogy a hat pont egy olyan hatszög hat csúcsa legyen, amelynek minden oldala egyenlő, és szemközti oldalai párhuzamosak. Bizonyítsuk be, hogy a hatszög kerülete nem lehet nagyobb, mint a háromszög kerületének a kétharmad része!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az $ a_n $ sorozat a következő rekurzióval adott:

$ a_1=1;\qquad a_n = \dfrac{n^2}{n-1}\cdot a_{n-1}\qquad  (n\ge 2) $ 

Legyen továbbá $ s_n = a_1 + a_2 + a_3 + . . . + a_n$. Igazoljuk, hogy

$ 2020\ |\ s_{100} + 1. $

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Legyen n pozitív egész szám, jelölje $ h(n) $ azt, hogy n hányféleképpen áll elő a 3 hatványainak összegeként. Mennyi a

$ h(2020) - \left( h(673) + h(672) + h(671) + . . . h(1) \right) $

különbség? (Itt 3 hatványán 3-nak nemnegatív egész kitevőjű hatványait értjük. Ha két előállítás csak a tagok sorrendjében különbözik, akkor e két előállítást nem különböztetjük meg.)

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy $ ABCD $ érintőnégyszög beírt körének középpontja $ O $. Az $ ACD $ és $ ABC $ háromszögek beírt köreinek középpontja $ F $ és $ E $. Az $ AEF $ háromszög köréírt körének középpontja $ K $. Bizonyítsuk be, hogy $ A $, $ O $ és $ K $ egy egyenesen vannak!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba