Tegyük fel, hogy egy valós számnak és reciprokának négyzetösszege kettővel kisebb egy négyzetszámnál. Bizonyítsuk be, hogy a szám tetszőleges páratlanadik hatványához hozzáadva reciprokának ugyanezen hatványát, egész számot kapunk!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Legyen az ABC háromszög körülírt köre k! Jelöljük a k kör A-t nem tartalmazó BC ívének felezőpontját D-vel, B-t nem tartalmazó CA ívének felezőpontját E-vel és C-t nem tartalmazó AB ívének felezőpontját F-fel! ABC háromszög beírt köre érintse a BC, CA és AB oldalakat rendre a K, L, M pontokban! Bizonyítsuk be, hogy DK, EL és FM egyenesek egy pontban metszik egymást!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Bizonyítsuk be, hogy létezik $ N > 1 $ egész szám a következő tulajdonsággal: minden $ n > N $ egész szám felbontható olyan pozitív egészek összegére, amelyeknek legkisebb közös többszöröse nagyobb, mint $ n^{2018} $.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba