Az a és b befogójú derékszögű háromszögnek megrajzoltuk a köré írt körét. Fejezzük ki a és b segítségével annak a körnek a sugarát, amely érinti a háromszög befogóit és a köré írt kört belülr ől

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Legyen a_n a következő módon definiált sorozat:

$a_n=\begin{cases}a_1=2,\\ a_{n+1}=\dfrac{3}{n}\cdot (a_1+a_2+\ldots+a_n),\ \ n\ge1\end{cases}$

Igazoljuk, hogy a_n egész minden n-re, viszont nem teljes hatvány semmilyen n -re (vagyis nem egy egész szám valamely 1-nél nagyobb egész kitevős hatványa)!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy téglalapot akkor nevezünk egy másik téglalapba beírtnak, ha csúcsai a másik téglalap különböző oldalainak belső pontjai. Egy ABCD téglalapba két téglalapot írtunk, amelyeknek van egy közös csúcsa. Mutassuk meg, hogy a két beírt téglalap területének összege egyenlő az ABCD téglalap területével!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az a₁ ;a_{2, ...} a₇ nemnegatív számok összege 1. Tekintsük az alábbi öt mennyiséget: a₁ + a₂ + a₃ , a₂ + a₃ + a₄ , a₃ + a₄ + a₅ , a₄ + a₅ + a₆ , a₅ + a₆ + a₇ . Jelölje ezen öt érték maximumát M. Mekkora lehet M legkisebb értéke?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Két pozitív egész szám hasonló, ha

– a két szám ( tízes számrendszerbeli alakjában ) ugyanazokat a számjegyeket tartalmazza;

– a két számban a közös számjegyek darabszáma azonos;

– valamint egyik szám sem tartalmazza a 0-s számjegyet.

(Pl. hasonlóak a 1454412, és a 4441125, de hozzájuk nem hasonló az 1245 szám.)

Van-e három olyan 2016-jegyű A , B , C szám, hogy A hasonló B -vel, A hasonló C -vel, és C = A + B ?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba