Egy ötjegyű szám minden számjegye különböző. Erre a számra n = 2, 3, 4 és 5 esetén egyaránt teljesül, hogy bárhogyan választunk ki benne n db szomszédos számjegyet, az ezek összeolvasásával kapott n-jegyű szám osztható lesz n-nel. Melyek ezek az ötjegyű számok?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Adott 10 olyan különböző 2-hatvány, amelyek mindegyikében a 2 kitevője egy 100-nál kisebb pozitív egész szám. Igazoljuk, hogy biztosan ki lehet közülük választani néhányat (esetleg az összeset) úgy, hogy a kiválasztott számok két olyan csoportba oszthatók, amelyekben a számok szorzata ugyanannyi. (Ha valamelyik csoportba csak egyetlen szám kerül, akkor abban a csoportban szorzat értéke maga a szám.)

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Legyen az $ ABC $ hegyesszögű háromszög $ C $ csúcsához tartozó magasságvonalának az $ AB $ oldallal alkotott metszéspontja $ T $. Tükrözzük a $ T $ pontot a $ BC $ oldal egyenesére, a kapott pont legyen $ R $. Húzzunk az $ R $ ponton keresztül párhuzamost a $ CT $ magassággal, az így kapott egyenes az $ AC $ oldal egyenesét metssze $ Q $, a $ BC $ oldal egyenesét $ P $ pontban. Bizonyítsuk be, hogy a $ PT $ egyenes pontosan akkor merőleges az $ AC $ egyenesre, ha az $ ABC $ háromszög olyan egyenlő szárú háromszög, amelynek $ AB $ és $ AC $ oldalai egyenlő hosszúságúak.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba