Informatikai és Hírközlési Minisztérium Oktatási Minisztérium Apache Php Mysql Fazekas Mihály Gyakorlóiskola
  Bejelentkezás
Üdvözöljük a Matematika portálon!  
Majoros Mária: Az azonosságok tanításáról II.

dr. Majoros Mária

Az azonosságok tanításáról II.

Az "Oktassunk vagy buktassunk" továbbképzés novemberi előadása


A négyzetgyök és a számfogalom felépítése

Minden középiskolás matematika tankönyvben egy önálló fejezetcím a négyzetgyök. Nézzünk meg, hogyan vezeti be a középiskolás tankönyvek többsége a négyzetgyök fogalmát:

„Minden valós szám négyzete nemnegatív szám, így kereshetjük, hogy egy nemnegatív szám minek a négyzete. Szeretnénk egyértelmű választ adni, ezért bevezetjük a négyzetgyök fogalmát.” És ezután azonnal következik a gyök szabatos vastagon kiemelt definíciója, majd rögtön a gyökvonás azonosságai. Az azonosságok után bebizonyítjuk, hogy  nem racionális szám.

Ha a megértés szempontjából nézzük ezt a felépítést, akkor több ponton is kifogásolható:

  1. Rögtön az elején, valós számról beszél, pedig a gyerekek még csak a racionális számokat ismerik. Persze, ha onnan indulna, hogy minden racionális szám négyzete egy nemnegatív racionális szám, akkor a gyerekek joggal tennék fel a kérdést, hogy micsoda butaság a gyökjel bevezetése.
  2. Aki először találkozik a gyök fogalmával, hiányolja azt a gondolati láncszemet, mi van azokkal a számokkal (például ilyen a 2, 3, 5,….), amelyek nem egy racionális szám négyzetei. Az ilyen esetekben megjelölünk-e valamit a gyökkel, vagy egy értelmezhetetlen jelet használunk.
  3. A felépítés ezt a logikai hézagot azzal tölti ki, hogy a végén bebizonyítja,  nem racionális.
  4. Természetesen matematikailag nincs logikai hézag, hiszen a gyök definíciója egy egzisztencia állítás: „Valamely nemnegatív „a” szám négyzetgyöke olyan nemnegatív szám, aminek a négyzete az „a”  szám.”  A definíció azt állítja, hogy minden nemnegatív szám gyökéhez egyértelműen hozzárendelhető egy szám.

És itt el is jutottunk a leglényegesebb kérdéshez: a gyök egy jelölés, amit azért kell bevezetnünk, mert bizonyos mennyiségeket nem tudunk az addig ismert számírás segítségével megadni. Tehát a helyi értékes jelölés, a tört, a hatványalak után a gyerekek számára a négyzetgyök lesz a mennyiségek szimbolikus írásbeli megjelenítésének negyedik formája.

Ha egy új jelölést bevezetünk, akkor meg kell mutatni azt, hogy mi tette szükségessé az új szimbólum megjelenését. Tehát meg kell mutatnunk azt a mennyiséget, amit nem tudunk a már ismert szimbólumokkal megadni.

Ennek a mennyiségnek a létezését az ókori görögök fedezték fel. Érdemes megmutatni a gyerekeknek, hogyan történt mindez.

A görögök kétféle számot ismertek: az egész számokat és az arányszámokat. A püthagoreusok számelmélete szerint az egy a számok eredete, ami nem bontható kisebb részekre – tehát nem osztható, csak szorozható – így a törtekkel két egész szám arányaként értelmezték. Ők fedezték fel a számtani és mértani középarányos fogalmát, és a szerkesztést is megoldották.

A mértani középarányos vizsgálata és szerkesztése elvezette őket ahhoz a felismeréshez, hogy miközben a mértani középarányost mindig meg tudták szerkeszteni, tehát bármely mérhető oldalú téglalaphoz találtak olyan négyzetet, amelynek területe egyenlő volt a téglalap területével, és ennek a négyzetnek minden esetben láthatóan létezett az oldala, bizonyos esetekben – ahogyan ők fogalmaztak – az oldal hosszúsága „nem volt szám”. Ezzel azt akarták kifejezni, hogy nem létezett ezeknek a mennyiségeknek a jelölésére alkalmas szám. Ezért kapták ezek a mennyiségek az „arrhéton”, magyarul „kimondhatatlan” nevet.

A négyzet területének kettőzése ugyanerre a problémára vezetett. Ha egy négyzet oldalát meg tudjuk mérni, akkor nem tudunk számot rendelni a kétszeres területű négyzet oldalához. Ennek részletes magyarázata megtalálható „Összemérhetetlen” címen mellékelt írásunkban.

Ha a kis négyzet oldalát egynek tekintjük, akkor területének mérőszáma is egy. A megkettőzéssel kapott négyzet területe értelemszerűen 2. Oldala pedig egy olyan szám, aminek a négyzete 2.

A területkettőzés tehát elvezetett egy olyan szám kereséséhez, aminek a négyzete 2. Érdemes időt szánni arra, hogy megpróbáljuk tizedes törtek segítségével megkeresni azt a számot, aminek a négyzete 2. Legyen ez a szám α.

1,4 <  α  <   1,5
1,41 <  α  <   1,42
1,414 <  α  <   1,415
1,4142 <  α  <   1,4143
1,41421 <  α  <   1,41422
1,414213 <  α  <   1,414214
1,4142135 <  α  <  1,4142136
1,41421356 <  α  <  1,41421357
1,414213562 <  α  <  1,414213563 

A kilencedik tizedes jegyig nem keletkezett szakasz. Korábban már többször megmutattuk, hogy a közönséges törtek tizedes tört alakban felírva véges vagy végtelen tizedes törtként írhatók fel. Most újra visszatérhetünk annak megbeszélésére, miért van ez szükségképpen így.

A tizedes törtek olyan speciális törtek, melyek nevezője 10 hatványa. 10 bármely hatványának prímtényezős felbontásában a 2 és az 5 szerepel. Tehát azok a törtek, amelyek nevezőjének prímtényezős felbontásában nincs más prímtényező, bővítéssel 10 hatványává alakíthatók, és így véges tizedes törtet kapunk. Azok a törtek, amelyek nevezőjének prímtényezős felbontásában más prímszám is előfordul, nem bővíthetők 10 hatványává.

Bármilyen nagy n egész szám állhat egy tört nevezőjében,  annak csak (n-1)-féle 0-tól különböző maradéka van, tehát a tizedes törtté történő átírás során legfeljebb (n-1) hosszúságú szakasz keletkezik.

A közelítő értékek keresése során úgy tűnik, hogy a keresett α szám esetleg nem sorolható be az eddig ismert számaink közé, mert lehetséges, hogy végtelen és nem szakaszos tizedes törtet ad. Miután ezt a sejtésünket megfogalmaztuk, bizonyíthatjuk α irracionalitását. Ezzel példát mutattunk arra, hogy az eddig ismert számírási szimbólumok alkalmatlanok annak a mennyiségnek a jelölésére, aminek a négyzete 2.

Amikor néhány nappal ezelőtt 8. osztályban ezt tanítottam, a gyerekek maguk fogalmazták meg a feladatot, hogy kellene találni egy új jelet, mert a rendelkezésre álló ismert számírási jelölések alkalmatlanok bizonyos mennyiségek leírására.

Ekkor a gondolkodás és az emberi ismeretek felépülése szempontjából a helyére tettük a dolgokat. Nem a gyök teremtette meg az irracionális számokat, hanem az irracionális számok felfedezése teremtett meg egy jelölést, nevezetesen a -öt. Tisztázhatjuk a gyerekekkel, hogy hasonlóan bármely szimbólumhoz, a jel önmagában értelmetlen. A definícióval adunk értelmet a jelnek, és ennek a közös megegyezésnek megfelelően kell azt használnunk.

Ebben a felépítésben a gyerekek számára természetes, hogy a törtekhez hasonlóan itt is meg kell oldanunk néhány feladatot:

  1. Az új jelet be kell illesztenünk a már ismert jelöléseink közé. Meg kell mutatnunk, hogy az egész számokat és a törteket, hogyan tudjuk az új szimbólum segítségével megadni ( a szakirodalom úgy fogalmaz, hogy „-ös alakban megadni”). Itt hivatkozhatunk arra, hogy ez a feladat csak formájában új, tartalmát tekintve a gyerekek korábban is találkoztak ezzel a problémával akkor, amikor az egész számokat tört alakban felírták.
  2. Értelmeznünk kell az új szimbólumra a műveletvégzés szabályait , tehát meg kell alkotnunk a  azonosságait, ami nem más, mint a gyökös alakban megadott számokra vonatkozó számolási szabályok.
  3. Meg kell tanulnunk az új szimbólum segítségével felírt mennyiségek rendezését.

A gyökkel kapcsolatos matematikai szóhasználat nem támogatja a megértést. Néhány olyan kifejezést emelnék ki, amelyik kifejezetten zavaró lehet a szimbólum használatával először találkozó gyerekek számára:

  1. „Vigyük be a gyökjel alá!”  Ez a felszólítás a következő átalakítást takarhatja például:
Az ilyen feladatokban sokkal szerencsésebb lenne azt mondani, hogy a szorzat másik tényezőjét is a gyökös jelölés segítségével adjuk meg, ezután alkalmazunk egy a gyökre, mint szimbólumra vonatkozó műveletvégzési szabályt.

  1. Ugyanilyen, a tartalmi lényeget elfedő szóhasználat az előző feladat megfordítása, amikor „kiviszünk a gyökjel alól.”
  2. Alapvetően sérti a megértést a következő megfogalmazás: „A gyök kiszámítása nélkül adjuk meg a kifejezés pontos értékét!” Például ilyen feladat:

Ezzel a szóhasználattal több probléma is van. Először is a gyököt úgy értelmezi, mint számolási eljárást. Ezzel tulajdonképpen zavart kelt abban az értelemben, hogy teljesen elnyomja a gyök elsődleges jelentését: ez egy számírási szimbólum. Ha hasonlattal akarnék élni, ez a szóhasználat annak felelne meg, mintha a törteket azonosítanánk azzal az osztással, amelyet műveletként hozzá tudunk rendelni. Másodszor ez a szóhasználat megerősíti a gyerekekben azt az amúgy is nagyon erős képzetet, hogy csak a 10-es számrendszerben megadott számokat tekintik számnak.

Az ismeretek felépülése szempontjából az ilyen „homályos” megfogalmazások azzal a következménnyel járnak, hogy a gyerekek a megoldott feladatok alapján a lényeges tulajdonságok kiemelésével kénytelenek megalkotni a fogalmaikat. Miután ez igen magas szintű matematikai absztrakciós készséget igényel, így csak néhány gyerek képes a fogalom helyes megértésére. A többiek gyakorlatilag utánzással tanulnak. Ezért a gyerekek többsége estén azt tapasztaljuk, hogy miközben az azonosságokat tudják, a konkrét feladatok megoldásában történt alkalmazás során bizonytalanok.

Már említettem, hogy egy általam tanított 8. osztályban most került sor a számfogalom bővítésére. A gyerekek könnyen és jól megértették az irracionális szám felfedezését. A , mit szimbólum bevezetése után gyorsan megtanulták az új jelölésre vonatkozó számolási szabályokat. Természetesnek tekintették – ahogyan a törtek esetében, úgy a esetében is – az új jelölést be kell illesztenünk a már meglévő számírási szimbólumaink közé. Az itt ismertetett felépítésben ez szinte senki számára nem okozott nehézséget, pedig ebben az osztályban sem minden gyerek tanulja könnyen a matematikát.

A különböző fogalmak kialakulása a matematika története során és ugyanezeknek a fogalmaknak a tanulás során megfigyelhető felépülése gyakran nem esik egybe. A négyzetgyök estében azonban a fogalom történeti létrejötte és elsődleges alkalmazása egybeesik azzal a fentebb vázolt tanítási folyamattal, amely – megítélésem szerint – a leghatékonyabban támogatja a megértést.

Miután a gyerekek világosan megértették a gyök, mint szimbolikus jelölés lényegét, és jól tudják azt használni, sor kerülhet a gyökhöz kapcsolódó más matematikai fogalmak bevezetésére, gyökfüggvény, gyökös egyenletek, stb.



Irodalomjegyzék

Sain Márton: Nincs királyi út! Gondolat Kiadó, Budapest, 1986.

Kosztolányi-Kovács-Pintér-Vincze: Matematika 10. – Mozaik Kiadó, Szeged

Hajnal-Számadó-Békéssy: Matematika 9.  – Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest

Earliest Uses of Symbols of Operation
http://members.aol.com/jeff570/operation.html


Kiemelt támogatónk 2006-ban:
Tigra Computer
Támogatóink 2003-ban:
Oktatási Minisztérium
Powered by:
Apache + Php + Mysql
Kapcsolat
hraskoa@fazekas.hu
Copyright © 2004-2010 Fazekas Mihály Fővárosi Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium. Served by pingvin.