Informatikai és Hírközlési Minisztérium Oktatási Minisztérium Apache Php Mysql Fazekas Mihály Gyakorlóiskola
  Bejelentkezás
Üdvözöljük a Matematika portálon!  
Surányi János: VALÓS SZÁMOK MEGKÖZELÍTÉSE TÖRTEKKEL

Surányi János

VALÓS SZÁMOK MEGKÖZELÍTÉSE TÖRTEKKEL

FAREY-TÖRTEK

A cikk létrehozását a Fazekas Mihály Oktatási Kulturális és Sport Alapítványon keresztül támogatta az Infosyscon Kft

Az elektronikus változat létrehozásában közreműködött Nagy-Baló András diák (2009c)

1. Egy a valós számot racionális számokkal, azaz törtekkel akarunk megközelíteni. A törteket az alábbiakban mindig pozitív nevezővel írjuk, ez nem jelent megszorítást. Ha a-t például tizedes törtekkel, mondjuk 10 vagy 100 vagy 10k (k pozitív egész), vagy általában adott n pozitív egész nevezőjű törttel akarjuk megközelíteni, akkor megkeressük az a-t közrefogó két, n nevezőjű törtet, tehát azt az u-t, amelyre  Ekkor az a-hoz legközelebbi ( esetén valamelyik) végpontot -nel jelölve a közelítés mértékére annyit mondhatunk, hogy:

hiszen a lehet akár a számköz felezőpontja is. Eszerint a számtól pl. az  kevesebbel tér el, mint

Vegyük viszont észre, hogy a  tört, amelyiknek a nevezője sokkal kisebb, már nél is kevesebbel tér el, és a 100-nál még mindig lényegesen kisebb nevezőjű  eltérése nél kisebb.

2. Általában lényegesen jobb közelítést remélhetünk, ha a jó közelítő törteket az összes n-nél nem nagyobb nevezőjű tört között keressük. Érdemes tehát ezen törtek sorozatát közelebbről megismerni. Ezek a törtek bármely két szomszédos egész szám között azonos módon helyezkednek el, ezért elég a 0 és 1 köztiekre szorítkozni.

A 0 és 1 közti, n-nél nem nagyobb nevezőjű, nem egyszerűsíthető törtek növekvő sorozatát - hozzávéve a 0-át és 1-et is  ill.  alakban, n-edik Farey-sorozatnak nevezzük és Φn-nel jelöljük.

Így pl.:

I. megjegyzés

Az elevezéssel kapcsolatban Hardy-Wright [3] 36-37. oldalán a következőt írja: A Farey sorozatok története igen különös. Úgy látszik, hogy a 28. és 29. tételt [az alábbi 1. tételt] először Haros bizonyította 1802-ben. Lásd Dickson [2] I. 156. old. Farey semmit nem közölt a kérdésről 1816-ig, ekkor kimondta a 29. tétel [a) állítást] egy a Philosophical Magazine-ban közölt megjegyzésében. Bizonyítást nem adott rá, és valószínűtlen az is, hogy ilyent talált volna, mert legfeljebb ha közömbös volt a matematika iránt.

Cauchy viszont látta Farey állítását, és be is bizonyította (Exercises de mathematique, I. 114-116. old.). A matematikusok többnyire Cauchy példáját követve, Fareynek tulajdonítják az eredményt, és alig lehet kétséges, hogy ezek a sorozatok ezután is az Ő nevét fogják viselni.

Fareyről húszsornyi megjegyzés van a Dictionary of natural biography-ben [Természettudományi életrajzok tára], ahol mint geológusról emlékeznek meg róla. Mint geológust őt teljesen elfelejtették, viszont életének egyetlen mozzanatát, ami túlélte őt, nem említi meg életrajzírója.

Ajánló: John Fareyről
a St. Andrews Egyetem Mc.Tutor történeti archívumában:
a Wikipédia szabad lexikonban:

Miután a továbbiakban sok szó lesz róluk, ezért

a nem egyszerűsíthető törteket rövidebben egyszerűnek fogjuk nevezni.

3. Az 1. ábra Φ8-at mutatja. Ez elég szabálytalanul sűrűsödő-ritkuló sorozatnak tűnik, mégis észrevehető a Φn elemei közt néhány szabályosság. Az például nyilvánvaló, hogy az -re szimmetrikus a sorozat.

1. ábra
Ajánló: A Farey-sorozat egy ábrázolása a http://math.usask.ca/~taylor/Demo/farey.html weboldalon.

További lényeges tulajdonságok a számköz felezőpontja helyett a törtek közt értelmezett következő művelet segítségével fogalmazhatók meg:

A  és  törtek mediánsának nevezzük a törtet.

A mediánsnak a nevezőre tett feltevés mellett mindig van értelme.

II. megjegyzés Jegyezzük meg, hogy a mediáns értéke nem csak a törtek értékétől függ, hanem az alakjuktól is. Pl.  és  mediánsa , míg a velük egyenlő  és . Mi a következőkben csak egyszerű törtek mediánsával foglalkozunk.

A mediáns számlálója és nevezője a síkbeli vektorösszeg koordinátáira emlékeztet, és valóban, ha az egyenes helyett  a sík (pontosabban az első síknegyed) egész pontjaival ábrázoljuk a Farey törteket, a  törtnek pl.

a) a (h; k) pontot, vagy
b) a (h; k-h) pontot
feleltetjük meg, akkor áttekinthetőbb képet kapunk a sorozatokról.

A 2. a) és 2. b) ábrán Φ8-at tüntettük fel az a) illetőleg a b) módon.

2. a) ábra
2. b) ábra

• Az egész koordinátájú pontokat rácspontoknak fogjuk nevezni.

• Ezek egy pontrácsot (négyzetrácsot) alkotnak, ugyanis a tengelyektől egész távolságra lévő egyenesek létrehozta négyzetek csúcsai alkotják a pontrácsot.

• Ezeket az egyeneseket a négyzetrács hálóvonalainak nevezzük.

Mindkét ábrázolásmód esetében az egyenlő törteket ábrázoló pontok egy origón áthaladó egyenesen sorakoznak. Közülük az

origóhoz legközelebbiket „az origóból látható” vagy rövidebben „látható” pontoknak nevezzük.

A Φ8 elemei egy H8 8 befogójú, egyenlőszárú, derékszögű háromszög belsejében és határán helyezkednek el. Ennek csúcsai az első ábrázolás esetén a (0;0), (0;8), (8;8) pontok, a másodiknál a (0;8), (0;0), (8;0) pontok. Általában a Φn elemeit a (0;0), (0;n), (n;n), illetőleg a (0;n), (0;0), (n;0) csúcsú, zárt Hn háromszög látható rácspontjai ábrázolják.

A 2. b) ábra világosan mutatja, hogy Φ8 és hasonlóan minden Farey-sorozat az re szimmetrikus, amit már a definíció kapcsán is említettünk.

4. A továbbiakat meg fogja könnyíteni néhány elnevezés bevezetése.

• Az olyan vektor, amelyiknek végpontjai rácspontok, rácsvektor;

• két rácsponton átmenő egyenes rácsegyenes (ilyenek például a hálóvonalak, de pl. a rácsnégyzetek átlóira illeszkedő egyenesek is);

• egy olyan sokszög, amelyiknek a csúcsai rácspontok: rácssokszög (a Hn háromszögek pl. rácsháromszögek);

• végül egy olyan rácssokszöget, amelyik a csúcsain kívül nem tartalmaz rácspontot sem a belsejében sem a határán, üresnek nevezzük.

A Farey törteket ábrázoló pontokat fogjuk Farey-pontoknak is nevezni, és azonosítjuk a törtekkel, így pl. a mediánsukat ábrázoló pontot a pontok mediánsának is mondjuk, és ezen a mediáns értékét is értjük.

Az ábrázolt törtek értékét az origóból a képükhöz húzott egyenesek az x-tengellyel bezárt szöge jellemzi. Kisebb törtet meredekebb egyenes ábrázol. Föntebb Φ8 elemeit növekvő sorrendben összekötöttük.

Ha P és P', Φn két szomszédos elemét ábrázolja, akkor az OPP' háromszög üres. Visszatérve az ábrázolást bevezető megjegyzéshez a P és P' mediánsát a Q pont ábrázolja, amelyre OPQP' paralelogramma. A mediáns tehát az ábrázolt két tört közé esik. A Q pont látható is, mert különben Φn -beli törtet ábrázolna ellentétben azzal, hogy P és P' közt nincs Φn-beli elem. Ezzel a következőt nyertük:

1. tulajdonság: Φn két szomszédos eleme nevezőjének az összege n-nél nagyobb, és a mediánsuk egyszerű tört.

5. ezek után már nem nehéz belátni, hogy

2. tulajdonság: Ha n>1, akkor Φn két szomszédos elemének nevezője különböző.

Vizsgáljuk a Φn-beli  törtet. Ha nem egyszerű, akkor igaz az állítás, mert ez a tört nagyobb az előbbinél, így az azzal szomszédos nagyobb elem sem lehet k nevezőjű. Ha  egyszerű, akkor van Φn-nek közéjük eső eleme. Tudjuk ugyanis, hogy 1 < k n (k=1 esetén az állítás triviális).  3. a) és 3. b) ábra P és P’ pontja a fenti két törtet ábrázolja az a) illetőleg a b) ábrázolási mód szerint. A Farey sorozatról lévén szó a második tört sem nagyobb 1-nél, sőt 1 sem lehet, mert k>1 miatt nem lehet  alakú. A belőle O-ba mutató egyenes tehát 45°-nál kisebb szöget zár be a függőlegessel.

3. a) ábra
3. b) ábra

Ekkor világos, hogy a  tört (vagy a vele egyenlő egyszerű tört) a két tört között van. Valóban, a 3. b) ábrán ezt a törtet ábrázoló P” pontból az origóba mutató egyenes a másik két pontból oda mutató egyenes között van; de a 3. a) ábrán is igaz ez, a fenti megállapítás szerint, mivel a PP’P” szög viszont 45°-os. (A 3. b) ábránál a derékszögű háromszög egyenlő szárú volta szóba se jött.)

Érdemes összehasonlításképpen a geometriailag nyert összefüggéseket számolással is igazolni.

6. A Farey-sorozatokban észrevehető szabályosságokat fogalmazza meg a következő tétel.

1. tétel

a) Két szomszédos tört különbsége a nevezők szorzatának reciprok értéke.

b) Három egymás utáni tört közül a középső a két szélső mediánsával egyenlő.

Az a) tulajdonságot átfogalmazzuk. Legyen  Φn két szomszédos eleme. Ekkor:

a) szerint itt egyenlőségnek kell fennállnia, vagyis

a') Ha  a Φn   utáni eleme, akkor h'k-hk'=1.

Nyilvánvalóan a')-ből következik a).

7. A Farey-sorozatokat azért vezettük be, hogy valós számokhoz azokat jól közelítő törteket keressünk. Ezért, mielőtt a tétel bizonyítására térnénk, bebizonyítjuk segítségével a következőt:

  2. tétel: Egy a valós számhoz és tetszőleges pozitív egész n-hez található olyan u/v tört, amelyikre
,

s így

Irracionális a esetén a (2) összefüggés végtelen sok u/v tört esetén teljesül.
III. Megjegyzés A 2. tétel fényében már nem olyan meglepőek az 1. pontban talált jó közelítő értékek.
A 2. tétel bizonyítása

Bármely két szomszédos egész között, mint említettük, azonos módon helyezkednek el az n-nél nem nagyobb nevezőjű törtek. Legyenek az [a]-vel eltolt Φn sorozat a-val szomszédos elemei . Osszuk ketté az ezek közti intervallumot a törtek mediánsával. Ha a a -ból induló részbe esik, akkor távolsága -tól nem nagyobb, mint

Az utolsó lépésben felhasználtuk az 1. tulajdonságot.

Hasonlóan, ha a a -ben végződő részben van, akkor az eltérés legfeljebb

Jelöljük -vel eredményeink szerint az első esetben -t, a másodikban -t, akkor

vagyis az  törtre teljesül a 2. tétel első állítása.

8. Nem mondana sokat a megközelítésre vonatkozóan, ha csak egy vagy néhány ilyen tört léteznék, ezért lényeges a tétel második része.

Ha már találtunk egy n1 értékhez egy alkalmas  törtet - pl. n1=1-hez u1=[a], v1=1 megfelel - akkor válasszunk egy n2 értéket úgy, hogy teljesüljön. Ez lehetséges, mert a jobb oldal nem 0, mivel a irracionális. Erre alkalmazva az eljárást találunk egy  törtet, amelyikre

Az első egyenlőtlenség szerint  különbözik -től. Az eljárás a irracionális volta minden határon túl folytatható.

A v1, v2, ... sorozat különböző pozitív egészek végtelen sorozata, így bármely korlátnál előfordul benne nagyobb vi érték, és ehhez -nél kisebb hibával közelítő  tört. Ezzel a 2. tétel bizonyítást nyert.

9. A közelítés mértékére vonatkozó becslést tovább finomíthatjuk a tétel a) részének felhasználásával.

A 2. tétel kiegészítése

Legyen  az n-edik Farey-sorozat a-t közrefogó két szomszédos eleme, ekkor legalább egyikükre fennáll az

egyenlőtlenség.

IV. Megjegyzés A közelítés mértékének javítására vonatkozó további eredmények találhatók pl. a [2] alatt idézett műben, különösen a 2. és 3. kiadásban.
A 2. tétel kiegészítésének bizonyítása

Azt bizonyítjuk be, hogy nem állhatnak fenn egyszerre az

   (i=1, 2)

egyenlőtlenségek. Valóban, ekkor fennállna az

összefüggés, ami nem lehetséges.

10. Térjünk most már vissza az 1. tételhez. Ebben a b) pont állítása egyben lehetőséget is ad a sorozatok egymás utáni előállítására.

Kiindulunk Φ1-ből, és ha Φn  már előállt, abból Φn+1-et úgy kapjuk, hogy sorra vesszük az egyszerű,  törteket, és beírjuk Φn -et nagyság szerint közrefogó két eleme közé. Legyenek az ezeket ábrázoló Farey-pontok P és P', a -t ábrázoló pont pedig R (4. ábra).

4. ábra

Belátjuk, hogy utóbbi a P és a P’ mediánsa. Ha nem így volna, akkor a mediánst ábrázoló Q az R-et tartalmazó Hn+1 háromszögön kívül volna, mert P és P'  közt van, és ott a 2. tulajdonság szerint csak egy új pont léphetne fel. Ha P az OQ-nak az R-rel egyező oldalán lévő pontot jelöli, akkor legyen P-nek az OR szakasz felezőpontjára vonatkozó tükörképe R'. Ez nyilvánvalóan az OPQP' paralelogrammában volna, de ez nem lehetséges, mert a paralelogramma üres. R tehát egybeesik Q-val, azaz P és P' mediánsa. Ezzel a következőt nyertük:

3. tulajdonság Φn  két szomszédos eleme közt n-et egyenként növelve az első fellépő újabb tört a mediánsuk.

Az említett eljárást tehát egyszerűbben úgy végezhetjük, hogy Φn  minden olyan elempárja közé, amelyek mediánsának a nevezője n+1, beírjuk ezt a mediánst. Így kapjuk Farey sorozatokat pl. Φ8-ig:

11. Az 1. tételre több bizonyítást is mutatunk.

Az 1. b) tétel igazolása

Az éppen bebizonyított 3. tulajdonság kínál egy teljes indukciós bizonyítást a tétel b) részére. Ennek először Φ2 -re van értelme, és arra igaz.

Legyen most n>2, és  Φn-1-ben a -t követő tört. Ha Φn-ben fellép köztük egy  tört, akkor k1=n, és a 2. tulajdonság szerint csak egy tört léphet fel, a 3. tulajdonság szerint pedig ez a szomszédos törtek mediánsával egyenlő, vagyis fennáll rá a b) tulajdonság. Ezzel a b) állítást igazoltuk.

12. A bizonyítás befejezését is szolgáltatja a következő érdekes megjegyzés:

Az 1. a) és 1. b) tételek ekvivalenciájának bizonyítása

Az a) és b) állítások bármelyikének teljesüléséből következik a másik állítás igaz volta. Más szóval a két állítás ekvivalens.

Tegyük fel, hogy az a) állítás igaz. Ekkor Φn-nek három egymás utáni , ,  törtjére fennállnak a

h''k - hk' '= 1, h'k' '- h''k '= 1

egyenlőségek. Innen kifejezve h''-t és k''-t:

h'' ( h'k - hk' ) = h + h', k'' ( h'k - hk' )=k + k'.

 tehát valóban egyenlő a mediánssal.

Tegyük fel most, hogy a b) állítás igaz. Ebből az a) állítás igaz voltát n szerinti teljes indukcióval bizonyítjuk minden Φn-re, Φ2 mindkét szomszédos számpárjára teljesül (1). Legyen most már n>2, és tegyük fel, hogy a) igaz Φn-1 minden szomszédos számpárjára. Ha  szerepel Φn-1-ben is, akkor az indukciós feltétel szerint mindkét szomszédjával teljesíti (1)-et. Ha viszont Φn-1-nek még nem eleme, akkor k'' = n, továbbá a 2. tulajdonság szerint annak szomszédos  és  törtje közé esik, és egyszerű, így a szomszédos törtek mediánsával egyenlő, vagyis

h + h'h'', k + k' = σk''

valamilyen pozitív egész σ-val. Mivel k és k' kisebb n-nél, így σ = 1, és a kapott két egyenlőségből az adódik, hogy

k''h' - k'h'' = kh' - k'h = 1 és kh'' - k''h = kh' - k'h = 1.

Az a) állítás igaz volta Φn-re is öröklődik.

13. Újabb geometriai bizonyítás adható a tétel a) részére tovább vizsgálva a négyzetrácsok tulajdonságait.

V. megjegyzés Értelmezhetők a síkban kissé általánosabban paralelogrammarácsok és a hozzájuk tartozó pontrácsok. Az itt következő összefüggések megfelelői azokra is érvényesek, és bizonyításuk is hasonlóan történhetik.
Alaptulajdonság Egy rácsot rácsvektorral eltolva az önmagába megy át.
Az Alaptulajdonság bizonyítása

Valóban, egy  rácsvektorral történő eltolásnál az A-n átmenő hálóvonalak a B-n átmenő megfelelő hálóvonalakba mennek át; mivel pedig mindegyik hálóvonalsereg az egymástól egyenlő (egész) távolságra levő, párhuzamos egyenesekből áll, így mindegyik önmagába megy át, tehát az egész rács is. Ez a pontrácsra azt jelenti, hogy minden rácspont rácspontba megy át, és minden rácspont rácspontnak az eltolt képe.

Ebből következik többek közt, hogy

Rácspontnak rácsszakasz felezőpontjára vonatkozó tükörképe rácspont.

Speciálisan adódik, hogy rácspontnak rácspontra vonatkozó tükörképe is rácspont. (Egy 0 hosszúságú rácsszakasz felezőpontjára tükrözünk.

Valóban, ha A, B és C rácspont, és C tükörképe AB felezőpontjára C*, akkor ACBC* paralelogramma vagy a négy pont egy egyenesen van és AB és CC* felezőpontja ugyanaz (5. ábra). A  vektorral történő eltolás mindkét esetben B-t C*-ba viszi át, és így C* is rácspont.

5. ábra

Rácsok egy nevezetes tulajdonsága, hogy

3. tétel Az üres rácsháromszögek területe egyenlő. (Az egységnyi oldalú négyzetek rácsában 1/2.)

Ezzel egyenértékű állítás, hogy az üres rácsparalelogrammák területe egyenlő. Ha ugyanis az üres ABC rácsháromszög területe t, és a D pontra ABDC paralelogramma, akkor annak a BC felezőpontjára vonatkozó tükörképe az ABC háromszöghöz tartozó rácspont volna. Megfordítva nyilvánvaló, hogy, ha ABDC üres rácsparalelogramma, akkor ABC feleakkora területű, üres háromszög.

14. Rátérünk a 3. tétel bizonyítására.

Ha az üres ABC rácsháromszög egy oldala, – a jelölést alkalmasan választva mondjuk AB, – merőleges az x tengelyre, akkor egységnyi hosszúságú (6. a) ábra). Ha a C oldal C' vetülete az x-tengelyen egységnél messzebb volna A vetületétől, akkor azon C fölötti D ponttal, amelyre ABCD paralelogramma, ez nem volna üres, mert az AB-től egységnyire lévő hálóvonalak egységnyi szakaszát tartalmazná, és annak a végpontjai vagy a belsejének egy pontja rácspont volna. A háromszög területe tehát 1/2 ebben az esetben.

6. a) ábra
6. b) ábra

Az általános esetben megadunk egy eljárást, amely tetszőleges háromszögből indulva véges számú lépésben erre az esetre vezet (6. b) ábra). Ha az oldalak vetülete az x-tengelyen különböző, akkor válasszuk a jelölést úgy, hogy az A', B', C' vetületek ebben a sorrendben következzenek. Ekkor B-nek AC felezőpontjára vonatkozó D tükörképére ABDC üres rácsparalelogramma, és D-nek a D' vetülete A' és C' közé esik. ABD tehát ABC-vel egyenlő területű, üres rácsháromszög, amelyiknek a vetülete kisebb mint az ABC-é. Ezek a vetületek pozitív egész számok, mert a hálóvonalak egész távolságra vannak egymástól, így az eljárásnak véges számú lépésben be kell fejeződnie, ez pedig akkor következik be, ha a háromszög egyik oldala merőleges az x-tengelyre. Ezzel beláttuk, hogy minden üres rácsháromszög területe 1/2.

A 3. tételből azonnal kapjuk az 1. tétel a) állítását.

Az 1. tétel a) részének II. bizonyítása

Legyen Φn két szomszédos törtje , képük P(h;k) és P'(h';k'). Ekkor OPP' üres rácsháromszög, így területét koordinátákkal fejezve ki  ami éppen az a)-val egyenértékű a')-t adja.

Adódik azonban a 3. tételből a b) állítás is.

Az 1. tétel b) részének II. bizonyítása
7. ábra

Ábrázolják a P, P'', P' pontok Φn  egymás utáni törtjeit (7. ábra). Ekkor OPP'' és OP''P' üres rácsháromszög, így területük egyenlő, tehát egyenlők az OP'' oldalhoz tartozó magasságaik is, a PM illetőleg P'M' szakaszok, ahol M illetőleg M' a P illetőleg P' merőleges vetülete az vektor e egyenesén. K-val jelölve e és a PP' szakasz metszéspontját a PMK és P'M'K háromszögek egybevágók, mert PM=P'M', M-nél és M'-nél derékszög van, és egyenlők a K-nál lévő szögeik. Ekkor PK=P'K, vagyis K a PP' szakasz felezőpontja, tehát e a paralelogramma átlójának az egyenese, és így  egyenlő  és  mediánsával, ami bizonyítandó volt.

15. Az 1. tétel bizonyítható az elsőfokú, kétismeretlenes diofantoszi egyenletek segítségével is. A bizonyítás egyben eljárást is fog adni Φn egy  (<1) törtjét követő tört meghatározására.

Az 1. tétel III. bizonyítása

Ismeretes, hogy adott h, k egész számok esetén a

kx+hy=l

egyenletnek akkor és csak akkor van egész x, y megoldása, ha (h,k)=l (azaz h és k relatív prímek). Ha  egy Φn-beli elem, akkor (h,k)=1, s így a

kx-hy=1                           (3)

egyenletnek van egész x0, y0 megoldása. Ha x1, y1 is megoldás, akkor

                                                              k(x1-x0)-h(y1-y0)=0,

tehát  azaz ami (h,k)=1 miatt csak úgy lehet, ha alkalmas r egésszel y1-y0=rk, és ezt behelyettesítve, és egyszerűsítve x1-x0=rh.

                Válasszuk r-et úgy, hogy y1 a lehető legnagyobb legyen: (0d) n-k<y1dn teljesüljön. Ekkor x1, y1 pozitív megoldása a (3) egyenletnek, így (x1,y1)=1 és  vagyis  egy  utáni eleme Φn-nek.

Belátjuk, hogy  és  közé nem eshetik Φn-nek további  eleme. Valóban, ha esnék, akkor

volna. Ezzel ellentmondásra jutottunk. Kell tehát hogy  legyen a utáni elem Φn-ben.

VI. Megjegyzés

Az elmondottak illusztrálására meghatározzuk Φ15-ben a -re következő elemet. 9x-2y=1, x0=1, y0=4,

15-9 = 6 < 4+9r ≤ 15, innen r=1, x1=1+2r=3, y1=4+9r=13, tehát  következik a  után.

Irodalom

[1] L. E. Dickon: The History of Numbers I. 156. old.

[2] Erdős P., Surányi J.: Válogatott Fejezetek a Számelméletből 1., 2., 3. kiad.

[3] G. H. Hardy, E. M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers (1971) 4. kiad., 23-29. old.

[4] Surányi J.: Farey Sorozatok és Lánctörtek, Matematikai Lapok XVI (1965) 228-240. old. Innen letölthető.

Ajánló

Farey-sorozatok

a Mathworld enciklopédiában:
http://mathworld.wolfram.com/FareySequence.html
Alexander Bogomolnij Cut-the-knot portálján:
http://www.cut-the-knot.org/ctk/Farey.shtml
J-P. Chabert különleges oldalain:
http://jpm-chabert.club.fr/farey.htm

A Farey-sorozat Ford-féle geometriai interpretációja

Alexander Bogomolnij Cut-the-knot portálján:
http://www.cut-the-knot.org/proofs/fords.shtml
A Valladolid Egyetem honlapján:
http://acm.uva.es/p/v104/10408.html

A Farey-fa (Stern-Brocot tree)

egy ábrázolása, cikkajánlatokkal a Wisconsin Egyetem (Milwaukee) Matematika tanszékétől:
http://www.uwm.edu/Dept/Math/Farey.html
Alexander Bogomolnij Cut-the-knot portálján:
http://www.cut-the-knot.org/ctk/SB_tree.shtml
Szövegdoboz:   forrás: http://acm.uva.es/p/v104/10408.html

Farey-sorozatokról haladóknak (pl. Farey sorozatokkal kapcsolatos „egyszerű”, a Riemann hipotézissel ekvivalens kérdés):
http://www.maths.ex.ac.uk/~mwatkins/zeta/farey.htm

A Farey-fától a Farey-leképezésig. Képek és linkek Linas Vepstas weboldalán:
http://linas.org/art-gallery/farey/farey.html

Kiemelt támogatónk 2006-ban:
Tigra Computer
Támogatóink 2003-ban:
Oktatási Minisztérium
Powered by:
Apache + Php + Mysql
Kapcsolat
hraskoa@fazekas.hu
Copyright © 2004-2010 Fazekas Mihály Fővárosi Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium. Served by pingvin.