Informatikai és Hírközlési Minisztérium Oktatási Minisztérium Apache Php Mysql Fazekas Mihály Gyakorlóiskola
  Bejelentkezás
Üdvözöljük a Matematika portálon!  
Aktuáriusi számítások

Szászné Simon Judit:Aktuáriusi számítások

Pénzügyi és biztosítási matematika

Az aktuárius biztosítási matematikust jelent. Ilyen végzettségű emberek bankoknál, biztosítóknál, nyugdíjpénztáraknál, könyvvizsgálóknál és egyéb pénzzel kapcsolatos helyeken dolgoznak.
Ez az anyag a 2002-ben a győri Rátz László Vándorgyűlésen elhangzott előadásom alapján készült, lényegében a diasorozatot láthatjuk néhány kiegészítő kommentárral. Az alábbi felsorolás tartalmaz néhány olyan címszót is, ami nem tárgya ennek az anyagnak, inkább csak a továbbhaladás egy lehetséges irányát jelöli ki.

Pénzügyi matematika Életbiztosítások matematikája
- Kamat, diszkont
- Hiteltörlesztési tervek, teljes hiteldíj-mutató
- Járadékszámítás
- Pénzáramlások jelenértéke
- Évjáradékok jelenértéke
- Értékpapírok elméleti árfolyama
- Hozam és megtérülés
- Demográfiai alapfogalmak
- Halálozási görbék, várható élettartam
- Életbiztosítások alaptípusai és nettó egyszeri díjuk
- Évi díjfizetés mellett szükséges díjak
- Nyugdíj
- Bruttó díjak
- Díjtartalék, annak hozama és következményei

Ebben az egyszerű bevezető tanulmányban kéttípusú, elemi számítási feladatokat fogunk megoldani. Az első részben pénzügyi matematikából nézünk néhány hitelre, kamatra vonatkozó példát, azután a biztosítási matematikából az életbiztosítások alaptípusainak áttekintése után ezek nettó díját számoljuk ki.

Először lássunk néhány feladatot pénzügyi matematikából. Ez olyan téma, amely régebben a diákoknak is, ezért nekem is a nemszeretem témák közé tartozott. A körülöttünk lévő világ változásával azonban az utolsó 8-10 évben megnőtt az érdeklődés minden a pénzzel kapcsolatos ismeret, számítás iránt. Ez nem is csoda, hiszen a bankok például a hitelek nyújtása esetén fantasztikus kamatcsökkentéssel, betétlekötés esetén pedig fantasztikus kamatemeléssel kápráztatnak el mindenkit. Közben általában nem vesszük észre az alsó sorban megbúvó betűket: THM vagy EBKM, melyek az összehasonlíthatóságot szolgálják. A THM jelentése teljes hiteldíj mutató, amely nagyjából azt mutatja meg, mennyibe kerül valójában a hitel. Ez a szám a hitel kamatánál általában jóval nagyobb szám, hiszen a hitelen kívül megfizetjük az elbírálási költséget, a kezelési költséget, az éves zárási költségeket és ki tudja még mit.

Az EBKM jelentése egységesített betéti kamatlábmutató. Az EBKM és a pénzintézet által meghirdetett  betéti kamatláb annyiban tér el egymástól, hogy míg az éves banki kamatlábak általában 360 napra vetítve kerülnek megállapításra, s egy évnél rövidebb futamidő esetén a kamat visszaforgatását, tőkésítését nem veszik figyelembe, addig az EBKM egy adott év, azaz 365 nap elteltével mutatja az elhelyezett betét után fizetendő kamatösszeg nagyságát. Elképzelhető azonban az is, hogy a bank nem éves, hanem rövidebb vagy hosszabb időszak kamatlábát közlik. Betétlekötés esetén érdemes tehát a bankok kínálatában ezt a mutatót keresni

Most lássunk néhány példát!

1.példa

50000 forintot szeretnénk 7 évre befektetni. Három befektetés közül választhatunk:

a) minden év végén hozzátesznek a pénzünkhöz egy fix összeget, 7500 forintot, ami az eredeti összeg 15%-a
b) 11%-os kamatos kamatot fizetnek
c) az első évben 17% kamatot kapunk, majd évente 2%-kal csökken, míg eléri a 7 %-ot, és ennyit kamatozik az utolsó évben is.

Melyik befektetés a legkedvezőbb?

Megoldás

Az első esetben 52500 Ft a kamat, azaz 102 500 forintunk lett.
A másodiknál az összeg az eredeti  1,117 ~ 2,076-szorosa lesz, ami 103 808 Ft.
A harmadik esetben a betett összeg – szorosa, azaz 105 505 Ft, tehát ez a legjobb.
Ha az utolsó évben is 2%-kal csökkenne a kamat, akkor már a második eset a legjobb, de ha csak 6%-ra csökken, hajszállal a harmadik befektetés nyer.

2.példa

Egymillió forint összegű jelzálogkölcsönt veszünk fel 20 évre 15 %-os kamatra. Mennyi az évi törlesztő rész? Mennyi fordítódik a kamatfizetésre, és mennyi az adósság törlesztésére? Ábrázolja grafikonon!

Megoldás

Az évente fizetendő részlet (x) kiszámítása: ahonnan x = 159761,5 Ft.

Jelenérték-számítás

Mivel X pénzösszeg i kamatláb mellett n év múlva   összeget ér, ezért az n év múlva  jelentkező Y pénzösszeg kifizetéséhez ma csak  összeget kell félretenni.
Az X pénzösszeget az Y pénzösszeg jelenértékének hívják.
kifejezést az i kamatlábhoz tartozó diszkonttényezőnek hívják.
Az évente fizetendő részlet ( x ) kiszámítása jelenértékkel: ahonnan  x = 159761,5 Ft

Érdemes itt megkérdezni, vajon hányadik évben fogja a tőketörlesztés meghaladni a kamattörlesztést.
(Érdekesebb, ha Ön is tippel, mielőtt megnézné a grafikont!)

Kölcsöntörlesztés

3. példa

Melyik a legelőnyösebb?
A : a pénzt évi 21%-os kamatra tesszük be, és évenként tőkésítenek
B : a pénzt évi 20%-os kamatra tesszük be, és félévenként tőkésítenek
C : a pénzt évi 19,5%-os kamatra tesszük be, és havonta tőkésítenek
D : a pénzt évi 20%-os kamatra tesszük be, és naponta tőkésítenek.

Megoldás

A: 1,21            B: (1+0,2/2)2=1,21     C: (1+0,195/12)12 =1,2134     D: (1+0,2/365)365=1,2213

Látható, hogy előnyösebb, ha 19,5%-os kamat mellett havonta tőkésítenek, az évente egyszer tőkésített 21%-os kamatnál.

Felmerülhet a kérdés, hogy ha mondjuk percenként tőkésítenének 20%-os kamat mellett, akkor elérjük-e a 23%-ot. A válasz sajnos az, hogy nem, mivel  20%-os kamat mellett  n tőkésítés esetén a nominális kamat (1+0,2/n)n , ami tart  -hez.

Biztosítás

Nem a legnépszerűbb téma. Akkor találkozunk a biztosítókkal, ha meghalt, leégett, ellopták, balesetet szenvedett. Mégis úgy gondolom az egyik legjobb lehetőség a statisztika hasznának bemutatására, a mostani elvárásnak megfelelő “életszerű” példák konstruálására.

A biztosítási üzletet többféleképpen szokták felosztani. Mi most egy lehetséges felosztást vázolunk néhány fontos és alapvető eltérést említve.

ÁG ÉLET NEM-ÉLET
Tartam 5-25 év 1 év
Káringadozás kicsi nagy
Felmondás nincs évfordulón
  összegbiztosítás kárbiztosítás

A legalsó sor azt jelenti, hogy míg például egy autónál a biztosító a ténylegesen bekövetkezett kárértéket (vagy annak meghatározott részét) fizeti ki, az életbiztosításokat előre meghatározott összegre kötik, értelmetlen arról beszélni, kinek mennyit ér az élete.

A továbbiakban csak az egyszerűbben kalkulálható életbiztosításokkal foglalkozunk.

Demográfiai alapfogalmak

Halálozási valószínűség (qx,1): annak valószínűsége, hogy egy x éves egyén meghal az x+1-edik születésnapja előtt

Megélési valószínűség (px,1):     annak valószínűsége, hogy egy x éves egyén megéli az x+1-edik születésnapját

Halandósági táblázat tartalmazza, hogy egy 100 000 fős populációt alapul véve hányan érnék meg az adott x éves kort. Ezt a számot  lx  jelöli.

Azoknak az  x éves egyének számát, akik meghaltak az x+1-edik születésnapjuk előtt  dx jelöli. ( jelöli a halandósági táblázat készítésénél figyelembe vett legmagasabb életkort, és )

Példaként az 1993-as férfi és női halandósági táblázat két-két oszlopát mutatjuk itt be.

Halandósági tábla ( 1993 )
 

Férfi
Belépési életkor (x) lf(x) df(x) ln(x) dn(x)
0 100 000 1 366 100 000 1 106
1 98 634 81 98 894 67
2 98 553 56 98 827 45
3 98 497 49 98 782 44
4 98 448 30 98 738 29
5 98 418 22 98 709 16
6 98 396 24 98 693 13
7 98 372 28 98 680 15
8 98 344 31 98 665 18
9 98 313 31 98 647 19
10 98 282 29 98 628 18
11 98 253 24 98 610 16
12 98 229 20 98 594 16
13 98 209 22 98 578 22
14 98 187 37 98 556 37
15 98 150 43 98 519 33
16 98 107 53 98 486 33
17 98 054 66 98 453 34
18 97 988 79 98 419 35
19 97 909 93 98 384 35
20 97 816 105 98 349 37
21 97 711 114 98 312 38
22 97 597 121 98 274 39
23 97 476 129 98 235 41
24 97 347 137 98 194 44
25 97 210 149 98 150 49
26 97 061 163 98 101 56
27 96 898 177 98 045 64
28 96 721 194 97 981 73
29 96 527 215 97 908 84
30 96 312 241 97 824 97
31 96 071 272 97 727 111
32 95 799 307 97 616 127
33 95 492 345 97 489 144
34 95 147 386 97 345 163
35 94 761 433 97 182 181
36 94 328 485 97 001 200
37 93 843 541 96 801 219
38 93 302 601 96 582 240
39 92 701 660 96 342 259
40 92 041 717 96 083 281
41 91 324 768 95 802 300
42 90 556 816 95 502 319
43 89 740 863 95 183 339
44 88 877 916 94 844 361
45 87 961 978 94 483 387
46 86 983 1 051 94 096 420
47 85 932 1 130 93 676 454
48 84 802 1 212 93 222 492
49 83 590 1 293 92 730 530
50 82 297 1 369 92 200 568
51 80 928 1 437 91 632 601
52 79 491 1 500 91 031 632
53 77 991 1 561 90 399 664
54 76 430 1 623 89 735 702
55 74 807 1 692 89 033 749
56 73 115 1 764 88 284 804
57 71 351 1 836 87 480 867
58 69 515 1 908 86 613 934
59 67 607 1 980 85 679 1 005
60 65 627 2 048 84 674 1 079
61 63 579 2 113 83 595 1 150
62 61 466 2 172 82 445 1 219
63 59 294 2 228 81 226 1 293
64 57 066 2 281 79 933 1 378
65 54 785 2 333 78 555 1 479
66 52 452 2 382 77 076 1 593
67 50 070 2 425 75 483 1 714
68 47 645 2 460 73 769 1 842
69 45 185 2 486 71 927 1 977
70 42 699 2 502 69 950 2 118
71 40 197 2497 67832 2247
72 37 700 2 471 65 585 2 362
73 35 229 2 442 63 223 2 483
74 32 787 2 420 60 740 2 626
75 30 367 2 411 58 114 2 802
76 27 956 2 500 55 312 3 069
77 25 456 2 431 52 243 3 208
78 23 025 2 356 49 035 3 340
79 20 669 2 275 45 695 3 460
80 18 394 2 184 42 235 3 560
81 16 210 2 083 38 675 3 634
82 14 127 1 971 35 041 3 675
83 12 156 1 846 31 366 3 675
84 10 310 1 708 27 691 3 626
85 8 602 1 557 24 065 3 523
86 7 045 1 396 20 542 3 362
87 5 649 1 227 17 180 3 142
88 4 422 1 054 14 038 2 868
89 3 368 882 11 170 2 547
90 2 486 715 8 623 2 192
91 1 771 559 6 431 1 820
92 1 212 420 4 611 1 450
93 792 300 3 161 1 102
94 492 204 2 059 793
95 288 130 1 266 538
96 158 78 728 340
97 80 43 388 198
98 37 21 190 106
99 16 10 84 51
100 6 6 33 33

Tanulságos az adatokat grafikonon is megnézni.

Halandósági  görbe

Életbiztosításban használt alapfogalmak

Technikai kamat (i): az a kamat, amellyel a biztosító számol, hogy azt minimálisan el fogja érni.
Várható élettartam (ex): az x éves egyének még várhatóan ennyi évet élnek.
Legfontosabb közülük az x = 0 eset, amit születéskor várható élettartamnak hívnak.

Ezt nemzetközi összehasonlításban is fontos vizsgálni (az EU ötödik összehasonlító adata), de sokatmondó lehet egy országra nézve az idősora is.

Születéskor várható átlagos élettartam alakulása Magyarországon
Év férfiak nők
1985 65,09 73,07
1986 65,3 73,21
1987 65,67 73,74
1988 66,16 74,03
1989 65,44 73,79
1990 65,13 73,71
1991 65,02 73,83
1992 64,55 73,73
1993 64,53 73,81
1994 64,84 74,23
1995 65,25 74,5
1996 66,06 74,7
1997 66,35 75,08
1998 66,14 75,18
1999 66,32 75,13

Grafikusan ez a következőt jelenti:

Nemzetközi összehasonlításban sem állunk e téren túl jól.

SZÜLETÉSKOR VÁRHATÓ ÉLETTARTAMOK EGYES ORSZÁGOKBAN
Ország Férfiak Nők
India 62,5 71,5
Törökország 65 69,6
Románia 66,1 73,7
MAGYARORSZÁG 66,3 75,1
Bulgária 67,1 74,9
Kína 68,6 71,5
Lengyelország 68,8 77,5
Szlovákia 69 77
Csehország 71,4 78,1
Dánia 73,8 79,3
Finnország 73,8 81
Ausztria 74,3 80,8
Nagy-Britannia 74,7 80,2
Franciaország 74,8 82,7
Hollandia 75,3 81,2
Görögország 75,9 81,2
Japán 77 83,4
Ausztrália 77,2 83,2
Svájc 79 82,1

Ez egy 40 országot tartalmazó lista részlete, ahol Magyarország a férfiak között a 6. legrosszabb eredményt, a nők közt a 9.-et érte el. A teljes lista három legjobbja valóban Svájc, Japán és Ausztrália.

Azt gondolom, az alacsony várható élettartam és a szülések csökkenő számát tekintve nem is lehet váratlan a népesség számának alakulása.

Most térjünk rá az életbiztosítási alapbiztosítások áttekintésére.

Életbiztosítások alaptípusai

Kockázati életbiztosításnak hívjuk azt a biztosítást, amelyben a szerződésben megjelölt személy megkapja a biztosítási összeget (amelyre a szerződés szólt), ha a biztosítási tartam alatt a biztosított meghal, de kifizetés nélkül szűnik meg, ha a biztosított megéri a tartam végét.

Elérési életbiztosítás olyan biztosítás, amelynél a biztosított (vagy akit megjelöl) megkapja a biztosítási tartam végén a biztosítási összeget, amelyre a szerződés szólt, ha él, de kifizetés nélkül szűnik meg, ha a tartam alatt a biztosított meghal.
A vegyes életbiztosítás ugyan nem alaptípus, hiszen egy kockázati és egy elérési biztosítás együttese, de ez az egyik leggyakoribb biztosítástípus. Tehát ha a biztosított a tartam alatt meghal, akkor a haláleset után (most a számítás egyszerűsítése céljából az év végén), ha nem, akkor a tartam végén fizeti ki a biztosítási összeget.

Járadékbiztosítás olyan biztosítás, amely a megkötésekor befizetett összeg függvényében meghatározott ideig (akár élethosszig) éves (vagy havi) előre meghatározott összegű kifizetést teljesít, ha a biztosított még él. (Felfogható tehát elérési biztosítások sorozataként.)

Díjkalkuláció alapelve

A díjszámítás alapja az ekvivalencia elv, ami azt mondja ki, hogy
A bevételek várható értékének jelenértéke = a kiadások várható értékének jelenértékével.

A díjkalkulációt általában érdemes 1 egységnyi összegre végezni, hiszen S  egységnyi összegre az 1 egységnyire fizetendő díj S-szerese jön ki.

Egyszeri díjas életbiztosítások

Jelölések, alapösszefüggések:

A:   a biztosítás egyszeri díja
n:  a biztosítás tartama
v:  diszkonttényező (=1/(1+i) , ahol  a technikai kamat)

Megélési és halálozási valószínűségek:

px,1 =  lx+1 / lx       és         qx,1 = dx / lx = ( lx – lx+1 ) / lx
px,n =  lx+n / lx       és         qx,n = ( lx – lx+n  ) / lx

4. példa

Mekkora a valószínűsége annak, hogy egy 40 éves férfi 3 éven belül meghal?

Megoldás

1-89740/92041= 0,0250 =2,5%

5. példa

Mekkora a valószínűsége annak, hogy egy 40 éves férfi még 8 évig él, de azután két éven belül meghal?

Megoldás

(82297-79491)/87961=2806/87961=0,0319 ≈ 3,2 %

Egyszerűsítő feltevések:
- Egyszeri díjas biztosítás ⇒ teljes díj a tartam elején a biztosítóhoz befolyik
- Mindenki január 1-jén született
- Minden kifizetés az év végén történik (= mindenki december 31-én halt meg)

A kockázati életbiztosítás egyszeri díja

Ha az x éves egyén n évre köt biztosítást, akkor az ekvivalencia-egyenlet szerint a díj:

6. példa

Egy 40 éves férfi 1 000 000 Ft-ot szeretne kapni, ha 10 éven belül meghal. Mennyi a biztosítás nettó egyszeri díja, ha a technikai kamat 5%? 

Megoldás

Whole life biztosítás: a biztosítási összeget az ügyfél halálakor kell kifizetni (azaz élethosszig szóló biztosítás).

Az elérési életbiztosítás díja

Ha az x éves egyén n évre köt biztosítást, akkor az elérési biztosítás ekvivalencia-egyenlete:

7. példa

Egy 40 éves férfi 10 év múlva 100 000 Ft-ot szeretne kapni, ha még él. Mennyi a biztosítás nettó egyszeri díja, ha a technikai kamat 5%?

Megoldás

Ez egy elérési biztosítás, ennek díja =100 000Ft diszkontált értéke szorozva a megélés valószínűségével, azaz

A vegyes életbiztosítás díja = az elérési díj + a kockázati díj

 A technikai kamat jelentőségére az alábbi táblázattal kívánok rámutatni.

A technikai kamat és a díj összefüggése

(30 éves belépési kor, 10 éves tartam, 1000 000 Ft biztosítási összeg)

Látható, milyen erős díjcsökkentő tényező, ezért a teljesíthetetlen ígéretek megelőzése érdekében maximális mértékét a pénzügyminiszter határozza meg, ill. módosítja.

Egyszeri díjas, azonnal induló életjáradék díja

Jelölje  ax az azonnal induló, éves kifizetésű, az év elején fizető életjáradék-biztosítás egyszeri díját, amely évi  1 Ft járadékot fizet a biztosított haláláig.
(a biztosított belépési kora x )

Ekkor az ekvivalencia-egyenlet:

Például ha egy 60 éves férfi évi 10 000 Ft-ot szeretne kapni haláláig, akkor 3,5%-os technikai kamat mellett, ennek a nettó díja 113 380 Ft. Ha azonban egy férfi 30 éves korában köti azt a járadékbiztosítást, amely csak 60 éves korától fizeti a 10 000 Ft-ot az előző feltétellel, akkor csak 31 345 Ft-ot kell befizetnie.

A biztosítás díja rendszeres díjfizetés esetén

- Az évenkénti díjfizetés felfogható úgy, mintha az ügyfelek járadékot fizetnének a biztosítónak a díjfizetés tartama alatt.
- Ezért a rendszeres díjfizetés mellett fizetendő díjat egy tetszőleges biztosításnál úgy kapjuk az egyszeri díjból, hogy elosztjuk a járadéktényezővel, amelyet abból számolhatunk ki, hogy az egyszeri díjat hány évi díjfizetés mellett fizetjük majd ki.

A nyugdíjról

Ha az eddigieket végiggondoljuk, a nyugdíj nem más, mint egy elérési biztosítás a nyugdíjkorhatárig, onnan pedig egy azonnal induló, élethosszig tartó járadékbiztosítás.

A nyugdíjrendszerek közötti egyik alapvető különbség, hogy milyen módszerrel valósítják meg, hogyan érik el, hogy a nyugdíj folyósításához szükséges pénzeszköz rendelkezésre álljon.

A nyugdíjrendszerek egy lehetséges csoportosítása a következő:

Felosztó-kirovó rendszer
Az az évi befizetések teremtik meg az az évi kifizetések fedezetét. A befizetések nagyságát úgy állapítják meg, hogy az éppen fedezze a tárgyévi kifizetéseket. Meg kell jegyezni, hogy a valóságban ez meglehetősen nehéz, hiszen csak év végére lesz pontosan ismert a tárgyévi kifizetések nagysága, ráadásul a  járulékkulcsot sem lehet évente módosítani. Így aztán az ilyen rendszerekben képződhet valamennyi tőke, kellemetlenebb esetekben hiány az adott év folyamán. A magyarországi társadalombiztosítási rendszer ilyen elven működik, és évek óta hiány képződik a rendszerben.

Terminális tőkefedezeti rendszer
A befizetés akkor történik, amikor a kifizetés elkezdődik, így a befizetés pontosan olyan mértékű, hogy egy összegben megteremti a teljes kifizetés várható fedezetét. (Pl. valaki évjáradékot vásárol egy biztosító intézettől.)

Iniciális tőkefedezeti rendszer
A rendszerbe történő belépéskor egyösszegű befizetés teremti meg a későbben (pl. nyugdíjba vonuláskor) kezdődő kifizetések várható fedezetét.

Rendszeres hozzájáruláson alapuló tőkefedezeti rendszer
A belépéstől a nyugdíjba vonulásig rendszeresen befizetett hozzájárulás teremti meg az összes későbbi várható kiadás fedezetét. ( Magán-nyugdíjpénztár)

Ez ennek a témának néhány bevezető gondolata.

Kérdéseivel, megjegyzéseivel bátran keressen meg a következő e-mail címen: <simonj@fazekas.hu>

Kiemelt támogatónk 2006-ban:
Tigra Computer
Támogatóink 2003-ban:
Oktatási Minisztérium
Powered by:
Apache + Php + Mysql
Kapcsolat
hraskoa@fazekas.hu
Copyright © 2004-2010 Fazekas Mihály Fővárosi Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium. Served by pingvin.