Informatikai és Hírközlési Minisztérium Oktatási Minisztérium Apache Php Mysql Fazekas Mihály Gyakorlóiskola
  Bejelentkezás
Üdvözöljük a Matematika portálon!  
Az elemi síkgeometria és a kúpszeletek elméletének egy kapcsolatáról

Reiman István

Az elemi síkgeometria és a kúpszeletek elméletének egy kapcsolatáról

A cikk az AB Aegon biztosító támogatásával jött létre.
Az animációkat Kalló Bernát készítette

A kúpszeletek elméletének szinte minden lényeges összefüggése levezethető B. Pascal (1623-1662) egy tételéből, amely igazában az ideális (végtelen távoli) térelemekkel kibővített síkon, az ún. projektív síkon hatásos. A bővítés úgy történik, hogy a sík minden, párhuzamos egyenesekből álló sugársorához hozzárendelünk egy ideális pontot, amely rajta van a sugársor összes egyenesén; egy ideális pontot tehát a sík egy egyenesével (és a vele párhuzamos egyenesek bármelyikével) adhatunk meg. Egy közönséges pontot egy ideális ponttal úgy kötünk össze, hogy a ponton át párhuzamost húzunk az ideális pontot megadó egyenessel. A sík ideális pontjainak a halmaza a sík ideális (végtelen távoli) egyenese; ez köti össze a sík bármely két ideális pontját.

A következőkben hatszögnek nevezünk egy megadott sorrendű hat pontból álló alakzatot, a pontok a hatszög csúcsai (közöttük nem lehet három különböző egy egyenesen). A csúcsokat az 1, 2, ..., 6 számokkal jelöljük, a szomszédosakat összekötő egyenesek a hatszög oldalai.

A fenti értelemben vett hatszög Pascal-féle (P-hatszög), ha az 12 és 45 egyenesek X metszéspontja, a 23 és 56 egyenesek Y metszéspontja és a 34, 61 egyenesek Z metszéspontja egy egyenesre illeszkednek (P-egyenes). A hatszög csúcsai és oldalai között ideálisak is lehetnek.

1a. ábra. A kép animációt rejt!

Pascal tétele (P-tétel) ma használatos formájában a következő:

1. tétel Hat pont akkor és csakis akkor van egy kúpszeleten, ha az általuk meghatározott hatszög P-hatszög.

Itt megengedjük két szomszédos csúcs egybeesését is; a két egybeeső csúcs összekötő egyenesének ebben az esetben a pontbeli kúpszeletérintő számít (egy, két vagy három egybeesés lehetséges). A P-tétel bizonyítására számos módszer ismeretes, egyik pl. megtalálható Hajós György: Bevezetés a geometriába c. könyvében.

A P-hatszög négy alapvető típusa (az egybeeséseket tekintve) az 1a-1d. ábráinkon látható.

Szövegdoboz:  

1b. ábra
Szövegdoboz:  

1c. ábra
Szövegdoboz:  

1d. ábra
1a. ábra
1b. ábra
1c. ábra

A következőkben felhasználjuk, hogy a projektív síkon az ellipszisnek nincs ideális pontja, a parabolának egy van (ez a tengely pontja és ebben a pontban az ideális egyenes érinti a parabolát), a hiperbolának két ideális pontja van, ezekben az érintők az aszimptoták. Alapvető tulajdonsága a kúpszeleteknek, hogy 5 ponton át (3 nincs egy egyenesen) pontosan egy kúpszelet megy. Pontegybeesések esetén négy pont és egyikben az érintő vagy adott három pont esetén kettőben az érintő egyértelműen meghatározzák a kúpszeletet. Az 1a-1c ábrák úgy is olvashatók, hogy ezekben az esetekben hogyan lehet a kúpszelet egy hatodik pontját megszerkeszteni.

Még egy gyakran használt fogalom:

a sík négy pontja (három nincs egy egyenesen) ún. teljes négyszöget alkot, a pontok a négyszög csúcsai, két csúcs összekötő egyenese a négyszög oldala (6 van!), két oldal szemközti, ha nincs közös csúcsa, a szemközti oldalak metszéspontjai a négyszög átlóspontjai (3 van), két csúcs által meghatározott szakasz felezőpontját az oldal felezőpontjának mondjuk.

Az elemi geometriai kapcsolatok vizsgálatát kezdjük egy speciális teljes négyszöggel:

egy (nem derékszögű) háromszög három csúcsa és magasságpontja ortocentrikus (magasság­pontos) pontnégyest alkot,

Szövegdoboz:  

2. ábra
2. ábra

bármely három alkotta háromszögnek ui. a negyedik magasság­pontja. Jól ismert, hogy ennél a négyszögnél az oldalfelező pontok és az átlóspontok (a ma­gas­ságok talppontjai) egy körön vannak; nálunk ezt a kört Feuerbach-körnek (F-körnek) nevezik (2. ábra). Megfigyelhetjük, hogy az ortocentrikus pontnégyes mind a négy három­szögének azonos az F-köre, mindegyik sugara a köré írt kör sugarának a felével egyenlő.

Az F-körök ábráját figyelmesen szemlélve felmerül bennünk, hogy hogyan változik az ábra, ha a D pontot elmozdítjuk. A 3. ábrán elvittük a D-t a magasságpontból, és most úgy tűnik, hogy a jelölt pontok egy ellipszisen vannak. Ha D a háromszög súlypontja, egy sok nevezetes tulajdonsággal rendelkező ellipszist, a Steiner-ellipszist kapjuk. Legyen most D a háromszö­gön kívül, itt úgy látszik, hogy a 9 pont egy hiperbolán van. Ezek a sejtések a kúpszeletek el­méletének egy mélyebb tételével valóban igazolhatók.

Szövegdoboz:  

3. ábra
Szövegdoboz:  

4. ábra
3. ábra
4. ábra
Lásd a képekhez tartozó animációt

Egy teljes négyszög csúcsain átmenő kúpszeletek halmazát speciális kúpszeletsornak nevez­zük.

Itt a kúpszeletek közé számítjuk a két egyenesből álló ún. elfajult kúpszeleteket is, ezek középpontja a két egye­nes metszéspontja.

A kúpszeletsor egyedei (a négy alappont kivételével) egyrétűen fedik le a síkot; elméletük alapvető tétele szerint a kúpszeletsor egyedeinek a középpontjai egy kúpszeleten, az ún. középponti kúpszeleten vannak, ez átmegy a teljes négyszög hat oldalfelező pontján is. Meg fogjuk mutatni, hogy

5a. ábra. Lásd az animációt is!

2. tétel a) az ortocentrikus pontnégyesen átmenő kúpszeletek derékszögű hiperbolák[1] (az elfajult kúpszeleteken kívül) és
b) középponti kúpszeletük a pontnégyes F-köre.

A 2. tétel a) részének bizonyítása[2] Már szemléletesen is nyilvánvaló, hogy a pontnégyesen konvex görbe (ellipszis, parabola) nem mehet át, tehát csak hiperboláról lehet szó. Hogy minden rajta átmenő hiperbola derék­szögű, azt a P-tétellel igazoljuk. Megadunk egy hiperbolát az 1234 ortocentrikus pont­négyes­sel és egy 5-ös ideális ponttal (5. ábra), és megszerkesztjük azt a P-hatszöget (az 1a. ábra típu­sát), amelynek az 56 egyenese az ideális egyenes. Először az 12 és 45 egyenesek X met­szés­pont­ját, majd a 23 és 56 egyenesek Y (ideális) metszéspontját jelöljük meg; a P-egyenes az XY egyenessel azonos, ezt a 34 és 61 a Z pontban metszi, 61 kijelöli a 6-ost tartalmazó aszimp­tota irányát. Ez merőleges az 5-ös irányára, azaz a 4X egyenesre, mivel X az 1Z4 háromszögben magas­ságpont. Az 1234 pontokon átmenő hiperbola ezért derékszögű.

Szövegdoboz:  

5. ábra
5. ábra

E tétel megfordíthatóságának bizonyítása előtt a derékszögű hiperbola néhány érdekes tulaj­don­ságára hívjuk fel a figyelmet. Láttuk már a derékszögű hiperboláknak az ortocentrikus pontnégyesekkel való kapcsolatát, erre utal a következő észrevétel is:

1. Lemma a derékszögű hiperbolába írt minden háromszög magasságpontja is a hiperbolán van.

Ennek igen egyszerű a bizonyítása: minden derékszögű hiperbola egyenlete az aszimptoták koordinátarendszerében az egység megfelelő választása mellett xy = 1 alakú, legyen három pontja: A(a,1/a), B(b,1/b), C(c,1/c). A szokásos iskolai módszerekkel számolva a magasságpont koordinátáira (-1/abc,-abc) adódik, ami nyilván kielégíti a hiperbola egyenletét. Eredményünkből az is kiolvasható, hogy a görbék közül csak a derékszögű hiperboláknak van meg ez a tulajdonsága.

A továbbiakban felhasználjuk a következő segédtételt:

2. Lemma a hiperbola bármely két pontján átmenő egyenesnek az aszimptotától a hiperboláig terjedő szakasza mindkét aszimptota esetén ugyanakkora.

Szövegdoboz:  

6. ábra
6. ábra. Lásd az animációt is!

Ennek bizonyítására nézzük a következő (1c. típusú) P-hatszöget (6. ábra): a hatszög két egybeeső csúcsa az egyik aszimptota 1,2 érintési pontja, másik egybeeső csúcspárja a másik aszimptota 4,5 érintési pontja, a pontok természetesen ideálisak, két közönséges pontja pedig 3 és 6, Az 12 és 45 egyenesek metszéspontja a hiperbola O középpontja, a 23 és 56 metszéspontja Y, a 34 és 61 metszéspontja Z. O, Y, Z a P-egyenesen vannak; a 3Y6Z négyszög paralelogramma, középpontja K és K3 = K6. A párhuzamos szelők tételéből KY:YO = K3:3B = K6:6A, s mivel K3 = K6, ezért ebből 3B = 6A, amivel állításunkat minden hiperbolára igazoltuk.

Ábránkról leolvasható a következő szerkesztés:

1. Szerkesztés ha adott a hiperbola két aszimptotája és egy pontja, akkor a ponton átmenő tetszőleges egyenesen a pont-aszimptota távolságnak a másik aszimptotától való felmerésével az egyenesen újabb hiperbolapont szerkeszthető.

Megjegyzés: itt nem használtuk ki a hiperbola merőleges voltát.

Még egy fontos hiperbola-szerkesztés olvasható le a 6. ábráról:

2. Szerkesztés ha adott a derékszögű hiperbola O középpontja és két pontja, pl. 6 és 3, akkor a 36 szakasz K felezőpontja körül KO sugárral szerkesztett kör a 36 egyenesből az aszimptoták A, ill. B pontját metszi ki,

tehát az aszimptoták egyszerűen szerkeszthetők. Itt felhasználtuk, hogy a derékszögű hiperbolát középpontja és két pontja egyértelműen meghatározza.

A hiperbolaszelő tulajdonságából következik (továbbá abból, hogy a hiperbolát egy aszimptotája és három pontja egyértelműen meghatározza), hogy

3. Lemma (T-feladat) ha egy háromszög oldalegyeneseit egy a egyenessel elmetsszük és a metszéspontokat a háromszög megfelelő oldalfelező pontjára tükrözzük, akkor a tükörképek egy b egye­nesen lesznek (ti. a másik aszimptotán),

ezt T-feladat néven fogjuk még említeni.

Most bebizonyítjuk, hogy

4. Lemma a derékszögű hiperbolába írt háromszög F-köre tartalmazza a hiperbola középpontját (7. ábra).

7. ábra. Lásd még az animáció-t!

A beírt háromszög csúcsai: A, B, C, oldalfelező pontjai: X, Y, Z, a hiperbola középpontja O. Az AC egyenes az aszimptotákat a P1, P2, a BC egyenes a Q1, Q2 pontokban metszi. A szelők előbb igazolt tulajdonságaiból következik, hogy X, Y, Z a szelőszakaszokat is felezi, és Thalész tétele alapján állíthatjuk, hogy az α-val, ill. β-val jelölt szögek egymás közt egyenlők. Állításunk igazolására elegendő megmutatnunk, hogy OYXZ húrnégyszög, azaz YOZ ∠  + YXZ ∠ = 180°. A külsőszög-tételből P1P2Q2 ∠ = 90° + β és YCZ ∠ = 90° + β +α. Mivel XYCZ paralelogramma, YXZ ∠ = YCZ ∠ = 90° + α + β, és minthogy YOZ ∠ = 90° + β, YOZ ∠ + YXZ ∠= 180°, ABC F-köre tartalmazza O-t. Ezzel igazoltuk, hogy az ortocentrikus pontnégyeshez tartozó középponti kúpszelet az F-körrel azonos.

A 7. ábra alapján megadhatjuk a T-feladat egy nehezebb változatának a megoldását: egy adott háromszöghöz szerkesszünk meg egy a egyenest úgy, hogy ennek az oldalegyenesekkel képezett metszéspontjait az oldalfelező pontokra tükrözve a tükörképek az a-ra merőleges b egyenesen helyezkedjenek el. (A megoldást szolgáltató derékszögű hiperbola középpontját a háromszög F-körén kell választanunk.)

A projektív geometria egy mélyebb tétele szerint

Segédtétel tetszőleges teljes négyszög csúcsain megy át derékszögű hiperbola.

A bizonyítottak szerint ezért a csúcsokból képezhető négy háromszög F-köreinek át kell menniük a hiperbola középpontján, ezért minden négyszögnél a négy F-kör egy ponton megy át. (Ennek elemi bizonyítása nem túl egyszerű). Szokás ezt a közös pontot a négyszög F-pontjának nevezni. Viszont ennek az észrevételnek a felhasználásával meg tudjuk szerkeszteni a négy ponton átmenő derékszögű hiperbola középpontját és segédtételünk alapján az aszimptotáit is. Az aszimptoták egyébként megoldást adnak a következő nehéz feladatra: egy tetszőleges négyszöghöz szerkesszünk olyan egyenest, hogy a négyszög oldalegyeneseivel képezett metszéspontjait a megfelelő oldalfelező pontokra tükrözve a tükörképek egy egyenesen helyezkedjenek el.

Segédtételünk alapján kimondhatjuk a következőket:

3. Tétel Szerkesszünk köröket egy tetszőleges teljes négyszög oldalfelező pontjai körül, amelyek átmennek a négyszög F-pontján és jelöljük meg minden oldalon a felezőpontja körül rajzolt kör két metszéspontját. Az így nyert 12 pont hatosával egy-egy egyenesen helyezkedik el, ez a két egyenes merőleges egymásra és átmegy az F-ponton (lásd a 8a. ábrát).

Szövegdoboz:  

8a. ábra
8a. ábra. Animáció!
Az ABCD teljes négyszög oldalfelező pontjai FAB, FAC, FAD, FBC, FBD, FCD, az ezek köré írt F-en átmenő körök kAB, kAC, kAD, kBC, kBD, kCD.

Ez tulajdonképpen előző észrevételünk átfogalmazása.

Az előbbi tétel bizonyítása még egyszerűsítve sem túl könnyű:

Feladat Az ABC háromszög magasságpontja D, AB felezőpontja F. Az AC, BC, DA, DB, DC szakaszok felezőpontja körül rendre szer­kesszünk olyan kört, amely átmegy F-en, és jelöljük meg a kör metszéspontjait a középpontot tartalmazó egyenessel. Bizonyítsuk be, hogy az így kapott 10 pont két, az F-en átmenő egymásra merőleges egyenesen van (8b. ábra).

Szövegdoboz:  

8b. ábra
8b. ábra

A fenti tételek egy részének az igazolása igen leegyszerűsödik, ha a szóban forgó négyszögek csúcsai egy körön vannak, tehát egy kör és egy derékszögű hiperbola metszéspontjai. Ismere­tes, hogy ha egy ABC háromszög csúcsaiba a köré írt kör középpontjából rendre az a, b, c vektorok mutatnak, akkor súlypontjának helyvektora (a+b+c)/3, az F-kör középpontja (a+b+c)/2 és a magasságponté a+b+c (|a| = |b| = |c| = R, a köré írt kör sugara). Ennek felhasználásával könnyen megmutathatjuk, hogy a húrnégyszög F-pontjának helyvektora

(a+b+c+d)/2. Mivel pl. az ABC háromszög F-körének középpontjába az (a+b+c)/2, a húrnégyszög F-pontját az ABC F-pontjával összekötő vektor (a+b+c+d)/2-(a+b+c)/2 = d/2 és |d/2| = R/2, a részháromszögek pontjai R/2 távolságra vannak a húrnégyszög F pontjától,

ezért mind a négy háromszög F-köre átmegy a négyszög F-pontján. Ez azt is jelenti, hogy a részháromszögek F-köreinek középpontjai egy R/2 sugarú körön vannak, ezt a négyszög F-körének nevezik. A húrnégyszög F-pontja a csúcsain átmenő derékszögű hiperbola középpontja. F szerkesztése egyszerű, mert a négyszög köré írt kör középpontjának a súlypontra (helyvektora (a+b+c+d)/4, egyébként a középvonalak metszéspontja) vonatkozó tükörképe.

Ha a húrnégyszög csúcsait az F pontra tükrözzük, a részháromszögek magasságpontjait kapjuk, hiszen F helyvektora (a+b+c+d)/2, ami éppen a d és a+b+c számtani közepe. Mivel F a hiperbola középpontja és így D tükörképe is a hiperbolán van, azt kapjuk, hogy minden részháromszög magasságpontja is rajta van a hiperbolán (ezt egyébként már igazoltuk). A tükrözés egybevágóság, tehát egy tetszőleges húrnégyszög részháromszögeinek magasság­pontjai az eredetivel egybevágó négyszög csúcsai. Megjegyezzük, hogy az F pont jellemző tulajdonsága még az is, hogy bármely oldalfelező ponttal összekötve a szemközti oldalra merőleges egyenest kapunk.

(Ábráinkon az egyszerűség kedvéért a vizsgált alakzatot a hiperbola egyik ágán vettük fel, bizonyításaink lényegtelen változtatásokkal azonban akkor is érvényesek, ha azok két különböző ágon helyezkednek el.)

Végezetül itt található egy animáció, amely a cikk sok állítását egyszerre szemlélteti.


[1] Derékszögű hiperbola: olyan hiperbola, amelynek két aszimptotája egymásra merőleges

[2] A 2. tétel b) része a később következő 4. Lemma igazolásával lesz bizonyítva.

Kiemelt támogatónk 2006-ban:
Tigra Computer
Támogatóink 2003-ban:
Oktatási Minisztérium
Powered by:
Apache + Php + Mysql
Kapcsolat
hraskoa@fazekas.hu
Copyright © 2004-2010 Fazekas Mihály Fővárosi Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium. Served by pingvin.