Informatikai és Hírközlési Minisztérium Oktatási Minisztérium Apache Php Mysql Fazekas Mihály Gyakorlóiskola
  Bejelentkezás
Üdvözöljük a Matematika portálon!  
A szépség matematikája

A szépség matematikája

Készült a Közoktatási Modernizációs Közalapítvány támogatásával.

Amióta az ember színre lépett és rácsodálkozott a világra, tudattalanul vagy tudatosan érzékelte és felhasználta a megtapasztalt szimmetriát.

Az élővilág egyedeinek nagy hányada valamilyen szimmetriára szerveződött. A biológia és ezen belül a botanika számos illusztrációval szolgál mind a sík(ok)ra, tengely(ek)re, mind a forgatási szimmetriával rendelkezőkről. Ennek okait illetően van néhány spekulatív(?) elmélet, amely a helyváltoztatást, a mozgást tartja a szimmetriák eredőjének. Véleményünk szerint - ha egyáltalán - ez csak az egyik lehetséges ok. Szerepet kellett kapnia a közegnek, a közegellenállásnak és a gravitációnak is.

Mivel magyarázzuk a halak, a madarak áramvonalas felépítését, a csillagok, a Nap, a bolygók gömb alakját?

Az élő szervezeteknek nem csak a mozgás során kell az egyensúlyt biztosítaniuk az adott közegben a maguk számára, hanem a helyben maradáskor is. Talán ez magyarázza a fák törzsének (és lombkoronájuk) hengerszimmetriáját, amely forma nem csak az egyensúlyt hivatott megteremteni, hanem a heves szelekkel szemben is ez a felület biztosítja a legnagyobb ellenálló képességet.

A környezethez való alkalmazkodás pedig a szervezetet mind a külső, mind a belső felépítésben egyaránt optimális (ez általában mindig valamilyen módon szimmetrikus) elrendezésre sarkallja.

Mivel a természetben szereplők ki vannak téve az állandóan és szeszélyesen váltakozó külső, és ebből eredő belső hatásoknak, változásoknak, szemben az emberi elme alkotta ideákkal, ezért a természeti jelenségek szimmetriái sohasem a skatulyázásuknak megfelelő geometriai szimmetriák tökéletes példányai.

Nem mellesleg jegyezzük meg, hogy az évezredek óta legtökéletesebbnek tartott formák, mint a kör, a gömb csak az ember tudatában létező alkotások, amelyeknek érzékszerveinkkel megtapasztalható földi mása nincs, és soha nem is lesz.

A legtökéletesebb szerszámgépekkel formált gömb felülete erős nagyítás alatt mindig "ragyavert".

Egyébiránt egy alakzat gömbiségét csak méréssel tudjuk ellenőrizni, márpedig a mérés mindig pontatlan.

A π vagy a "gyök 2" távolságot lehetetlen kimérni, hiszen a mérés eredménye mindig csak (néhány tizedesnyi) racionális szám (véges tizedes tört ) lehet.

Az emberiség a természettől ellesett szimmetriát és az ebből eredő optimális helyzetet, állapotot tarthatja harmonikusnak, szépnek (noha vannak ettől merőben eltérő kultúrák is!), és teremtményeiben, alkotásaiban igyekszik ezt rögzíteni, örökíteni, gazdagítani, s még a tudatosan vállalt antiszimmetriával vagy asszimmetriával is a szimmetriát szolgálja.

Minden kedves, honlapunkra kíváncsi Látogatónkat arra bíztatjuk, hogy saját kutakodásaival, ötleteivel, eredményeivel is gazdagítsa ismereteinket azzal is, hogy megosztja annak örömét velünk!

Az alábbiakban tantárgyi bontásban, illetve az integratív szerepű Kultúrtörténet fejezetekben nyitunk ablakot, ajtót a szépség, a harmónia matematikájának, hol részletesebb, gazdagabb illusztrációval, hol éppen ezek hiányával és mindenkor kimondva, vagy kimondatlanul: felhívást "keringőre".

Ajzószernek néhány, a szimmetriát speciálisan és/vagy általánosan tárgyaló forrás:


D. Hilbert & S. Cohn - Vossen: Szemléletes geometria, GONDOLAT, Bpest, 1982.

H. Steinhaus: Matematikai kaleidoszkóp, GONDOLAT, Bpest, 1984.

H. S. M. Coxeter: A geometriák alapjai, Műszaki Könyvkiadó, Bpest, 1973.

Hargittai István, Hargittai Magdolna: Szimmetriák a felfedezésben, Vince Kiadó Kft, 2003.

Hargittai Magdolna, Hargittai István: Képes szimmetria, GALENUS, Bpest, 2005.

Pogáts Ferenc: A sík egybevágóságai és a tengelyes tükrözések, Honlapunkon

Pogáts Ferenc: Rózsaablakok és társaik, Honlapunkon

Pogáts Ferenc: Sorminták, frízek, Honlapunkon

Történelem, Kultúrtörténet I. (betűtörténet, betűművészet (kalligráfia))

A történelem előtti idők csontokra, agyarakra és barlangok falára karcolt, rajzolt jelek, ábrák az írás szerepét töltötték be, s e jelekből fejlődtek ki az írásrendszerek.

Egymást követő évezredek, évszázadok formálták az egymással kereskedelmi vagy nem éppen ily békés foglalatosságok révén kapcsolatba került népek írásrendszerét.

1. ábra
2. ábra
3. ábra

E tényt jól mutatja harmadik táblázatunk, s egyszersmind azt is, hogy az írást hordozó anyag, a kő, a lágyabb agyag (viasz), majd a pergamen és a papirusz, és az írást az anyagra vivő eszköz mennyire formálta a betűk alakját.

Következő ábránk már a tiszta hangírást örökítő klasszikus ABC, amely az i.e. IV. században rögzült.

A latin betűket az i.e. VI. században vették át a rómaiak, kis eltéréssel a görög ABC-től.

4. ábra

Azóta a nyugati civilizáció számtalan írásművésze formálta, alakította többé-kevésbé megtartva az eredeti betűformák tengelyes, illetve középpontos szimmetriáját.

5-6. ábra

A kb. 60 000 kandzsi között alig néhány van, amely majdnem szimmetrikus.

Az írásjelekben a szimmetria feltűnő hiánya nem csak az íráshordozó selyem, illetve papír erős nedvszívó hatásának, az írószerként használt, a tusba mártott ecset hajlékonyságának a következménye, hanem a nyugati kultúráktól eltérő szemléletnek is, amely a harmóniát, a szépséget nem feltétlenül a szimmetriában keresi.

7. ábra

(Kandzsi: az időszámításunk előtt 2600 évvel Kínában kialakult írásrendszer alapeleme. Képírás (ideografikus írás), egy-egy kandzsi egy-egy fogalmat jelent. Az elmúlt évezredek során mintegy 60 000 kandzsi keletkezett, ezekből ma egy művelt kínai cca. 10 000 jelet ismer.

Japán Kínától a Kr. u. 6. században vette át ezt az írásrendszert. A japán iskolarendszerből kikerülőktől mintegy 2 000 kandzsi ismeretét követelik meg.)

Források

www.google.com

Szántó Tibor: A betű, Akadémiai Kiadó, Budapest, 1968.

K. G. Henshall: A Guide to Remembering Japanese Characters, CH. E. TUTTLE Company, Tokyo, Japan

Német nyelv és irodalom: Palindrom szavak, mondatok.

(A palindrom olyan szó, vagy mondat, amelyet balról jobbra vagy jobbról balra olvasva ugyanazt olvassuk.)

Palindrom szavak:

BUB, EBBE, EGGE, NEBEN, STETS, NENNEN, RETTER, RENTNER, LAGERREGAL, DIENSTMANNAMTSNEID.

Palindrom mondatok:

Die liebe Tote, Beileid!
Ein Esel lese nie.
Ein Neger mit Gazelle zagt im Regen nie.
Er habe nie eine Bahre.
Gin, oh, neuen Honig.
Na, Fakir, Paprika-Fan?
Nie Wein.
Nie, Erika, fette Fakire ein!
Nur du Gudrun!

Kutathatók: további szavak, mondatok, képversek.

Angol nyelv és irodalom

Palindrom szavak:

gag, pap, noon, radar, rotor, racecar, malayalam (az indiai Kerala államban beszélt nyelv).

Palindrom mondatok:

Campus motto: bottoms up, Mac!
Madam, I'm Adam.
Never odd or even.
Warsaw was raw.
Race fast safe car.
A Toyota.
Satan, oscillate my metallic sonatas.
I prefer Pi.

Kutathatók: további szavak, mondatok, képversek.

Francia nyelv és irodalom

Palindrom szavak:

non, ici, elle, erdre, rever, Laval, Noyon (városok).

Palindrom mondatok:

Eh, ça va la vache?
Engage le jeu que je le gagne!
La mariée ira mal.
Suce ses écus.
Elu par cette crapule.
Esope reste ici et se repose.

Kutathatók: további szavak, mondatok, képversek.

Latin nyelv és irodalom

Palindrom szavak:

ibi, summus, oro, tenet, non.

Palindrom mondatok:

Ave, Eva!
Roma tibi subito motibus ibit amor.
(Quintilianus)
Si bene te tua laus taxat, sua laute tenebis.
(Plinius)
Si se mente reget non tegeret Nemesis.
Et tiger non regit te.
Sum summus mus.

És a csodálatos, mágikus, párja nincs:

S A T O R
A R E P O
T E N E T
O P E R A
R O T A S

(a.m.: Arepo a magvető irányítja Rotas (nevű) szolgáját)

amely palindrom e formában az átlókra is, a középpontra is szimmetrikus abban az értelemben, hogy a hely tükörképén ugyanaz a betű áll.

Képversek:

8. ábra
9. ábra
10. ábra

Olasz nyelv és irodalom

Palindrom szavak:

alla, otto, osso, ebbe.

Palindrom mondatok:

Oracolo caro.
Otto l´ ateo poeta lotto.
I nasi sani.
Angela, la fata, fa la legna.
Autore, ero tua.
Ai lati d´ Italia.

Spanyol nyelv és irodalom

Palindrom szavak:

ojo, oro, aca, reconocer.

Palindrom mondatok:

O rey, o joyero.
Sometamos o matemos.
La ruta natural.
Sé verlas al revés.
Amo la pacifica paloma.
Amigo, no gima.
Anita lava la tina.
Mal si le das la fe falsa del Islam.
Alli por la tropa portado, traido a ese paraje de maniobras, una tina como
capitán usar boina me dejara, pese a odiar toda tropa por tal ropilla.

Kutathatók: további szavak, mondatok, képversek.

Magyar nyelv és irodalom

A palindrom szavak és mondatok tükörszimmetriáin túl még a barokk korból való képversek után a legújabb kor magyar költőinek (Babits Mihály, Kassák Lajos, Radnóti Miklós, Nagy László részben a barokk geometrikus küllemű, részben Guillamme Apollinaire nyomán a szürrealizmus felé hajló) művei a vizualitás segítségével adtak szimmetriába foglalt keretet mondandóiknak. Érdekes lenne annak vizsgálata, hogy a választott forma mennyiben segíti a tartalmat.

Palindrom szavak:

Aba, bab, báb, bob, eke, jaj, kék, pap, sas, ürü, arra, erre, abba, ebbe, enne, inni, olló, dagad, görög, kajak, kelek, kerek, körök, konok, tehet, temet, magam, lepel, sebes, seres, kannak, mellem, láttál, ebédébe, eledele, trágárt, egészsége, mesélésem, salátatálas.

Palindrom mondatok:

Óh, a tahó!
Szárad a darázs.
Ah, tán nátha?
Goromba rab morog.
Erőszakos kannak sok a szőre.
Keresik a tavat a kis erek.
Régi pap ígér.
Csak a mama makacs.
Rám német nem lel, elmentem én már.
Komor romok.

A leghosszabb:

Kis erek mentén, láp sík ölén odavan a bánya rabja: jaj, Baranyában a vadon élő Kis Pálnét nem keresik. (79 betű, Demők Béla)

Képversek:

11. ábra
12. ábra
13. ábra
14. ábra
15. ábra
16. ábra
17. ábra
18. ábra
19. ábra
20. ábra
Források

Kilián István: Vizuális költészet Magyarországon I-II., Felsőmagyarországi Kiadó-Magyar Műhely kiadó, Miskolc-Bpest, 1998.

Keresőprogramok: Google, Yahoo, Origo /képvers.

Verstan:

A magyar nyelv kötött hangsúlya, továbbá rövid és hosszú magánhangzói révén mind az ütemhangsúlyos, mind az időmértékes verselésre egyaránt alkalmas. Az ütemek szótagszáma kötött, így csak azonos szótagszámú ütemek felelhetnek meg egymásnak, legalább is a magyar versrendszerben jobbára ez a "szabály". A versek nagy többségükben azonos nagyságú ütemekből állnak, vagy szigorú sorrendiségben kell következzenek a különböző terjedelmű ütemek. Ezek miatt a kötött versformákban írottak nagyfokú belső (elsősorban eltolási) szimmetriával bírnak, amit tetézhet a verssorok végén felhangzó szavak végeinek összecsengése (végrímek).

Hat szótagos, együtemű sorokból épült József Attila: Ringató verse

Holott náddal ringat
holott csobogással,
kékellő derűvel,
tavi csókolással.

Lehet, hogy szerelme
földerül majd mással,
de az is ringassa
ilyen ringatással.

Kétütemű felezős nyolcas Petőfi Sándor: Nemzeti dala

Talpra magyar, // hí a haza!
Itt az idő, // most vagy soha!
Rabok legyünk, // vagy szabadok,
Ez a kérdés, // válasszatok!

felező hatos Petőfi Sándor: Reszket a bokor, mert

Reszket a // bokor, mert
Madárka // szállott rá.
Reszket a // lelkem, mert
Eszembe // jutottál,
Eszembe // jutottál,
Kicsiny kis // leányka,
Te a nagy // világnak
Legnagyobb // gyémántja.

A négylábú jambikus sorokra József Attila: Altatóját

Lehunyja kék szemét az ég,
lehunyja sok szemét a ház,
dunna alatt alszik a rét -
aludj el szépen, kis Balázs.

és Radnóti Miklós: Járkálj csak, halálraitéltjét választottuk

Járkálj csak, halálraitélt!
bokrokba szél és macska bútt,
a sötét fák sora eldől
előtted: a rémülettől
fehér és púpos lett az út.

Emelkedő jónikus Csokonai Vitéz Mihály: Tartózkodó Kérelemje

A hatalmas | szerelemnek
Megemésztő | tüze bánt.
Te lehetsz ír | ja sebemnek,
Gyönyörű kis | tulipánt!
Szemeid szép | ragyogása
Eleven haj | nali tűz,
Ajkaid szép | ragyogása
Sok ezer gon | dot elűz.
Teljesítsd an | gyali szókkal,
Szeretőd a | mire kér:
Ezer ambro | sia csókkal
Fizetek vá | laszodért.

Forrás

Szerdahelyi István: Verstan mindenkinek, Nemzeti Tankönyvkiadó, 1994.

Történelem

Kultúrtörténet II. (mithologia, vallási szimbólumok):

A földöntúli erőkbe, istenekbe, Teremtőbe vetett hitek, hiedelmek szülte vallások harmóniát sugallnak, hirdetnek, így jelképeik, szimbólumaik általában forgási és/vagy tengely-szimmetrikusak, lett légyen ősi, vagy újkori, eurázsiai, vagy távol-keleti.

21. ábra
forrás: http://altreligion.about.com

Feladat: Melyik jelkép melyik rozettacsoport eleme?
Források

Fürkész könyvek: Diagram csoport: Jelek és jelképek, Trivium Kiadó, 2005.

Hoppál M. - Jankovics M. - Nagy A. - Szemadám Gy.: Jelképtár, Helikon, 2004.

http://altreligion.about.com/library/glossary/blsymbols.htm

http://www.magy-art.hu/ezoteria.htm

Kultúrtörténet III. (sport és játékok):

A Világ birtokba vételének egyik kulcsa a játék. E tevékenység mind a megismerést, mind a környezetbe illeszkedést, a szocializálódást segíti, akár egyszemélyes a játék (pl: a pasziánsz, számítógépes játékok), akár kétszemélyes (pl: malom, sakk), vagy csapatjáték (labdajátékok). E játékok eszközei és táblái, terei túlnyomóan szimmetrikusak már az esélyegyenlőség miatt is.

Feladat: Keressünk középpontosan és/vagy tengelyesen szimmetrikus, kettőnél magasabb rendben szimmetrikus játékeszközöket, játéktáblákat, játéktereket, sportpályákat!
Források

Murray, H. J. R.: A History of Board Games, Oxford, 1952.

Nowak, Z.: A malomtól a góig, Budapest, 1982.

R. C. Bell: Board and Table Games

http://www.mimi.hu/jatek/index_jatek.html

Fizika-Kémia-Biológia

Számos fizikai-kémiai-biológiai jelenség, folyamat egy-egy szimmetria-csoportból való elemként mutatkozik be. A teljesség igénye nélkül sorolunk fel (és illusztrálunk) néhányat: atommodellek - atomi elektronpályák - hullámtan - harmonikus rezgések - kristályok - molekulák - kötések - sejtek - sejtcsoportosulások - virágok - szirmok - lepkék - rovarok - medúzák - tengeri csillagok - halak - madarak - emlősök.

22. ábra
23. ábra

24. ábra
25. ábra

26. ábra
27. ábra

A leghétköznapibb az u.n. kétoldali (tengelyre vagy síkra) tükrös volt, de található számos, magasabb rendű szimmetriára hajazó jelenség. Ezek felkutatására, illusztrálására bíztatjuk a honlapunkra látogatókat.

Források

Tasnádi P. - Skrapits L. - Bérces Gy.: Általános fizika I.-II.-III., Dialóg Campus Kiadó, Bpest - Pécs

Budó Á.: Kísérleti fizika I.- II. - III., Nemzeti Tankönyvkiadó, 1999.

Simonyi K.: A fizika kultúrtörténete, Akadémiai Kiadó, 1998.

Dr.Berend M. - Dr.Szerényi Gy.: Biológia I.- II., Akadémiai Kiadó, 1994.

SH atlasz, Biológia, Springer - Verlag, Budapest, 1994.

Lovas Béla: Mikroszkóp - Mikrokozmosz, GONDOLAT, Budapest, 1984.

M. Walters: Vadvirágok, Trivium Kiadó, 2005.

J. D. Watson: A kettős spirál, GONDOLAT, Budapest, 1972.

A.I. Kitajgorodszkij: Rend és rendezetlenség az atomok világában, GONDOLAT, Budapest, 1983.

Matematika

A geometria szimmetriáiról lásd a www.fazekas.hu honlapon Pogáts Ferenc három cikkét az egybevágóságról, a rózsaablakokról és a sormintákról.

További kutatásra érdemesek e téren a tapéta- és a kristály-csoportok.

Számelmélet: Az a1a2a3 ... anan ... a3a2a1 illetve az a1a2a3 … an-1anan-1 … a3a2a1 2n- illetve 2n-1-jegyű egész számokat palindrom számnak mondjuk.

Az egyjegyű 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 számok palindrom számok.

A kétjegyűek: 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99.

90-90 darab három-, illetve négyjegyű palindrom szám van:

{101,111,121,…,191,…,909,919,…,989,999}

{1001,1111,1221,…,1991,…,9009,9119,…,9889,9999}

Feladatok:

Hány n-jegyű palindrom szám van?

Ezek között hány a páros, hány a páratlan?

Van -e közöttük négyzetszám? Hány?

Van -e prím közöttük? Melyek ezek?

További kérdések a http://en.wikipedia.org/wiki/Palindromic_number honlapon találhatók.

Analízis: Számos reláció, függvény grafikonja szolgáltat mind a rozetta-csoportból, mind a fríz-csoportból való elemet.

C1 : y = x3;   y = x2/x;   y = 1/2 | x + 1 | - 1/2 | x - 1 |;   y = sgn x.

D2 : y = x2;   y = √1-x2;   y = 1/x2;   y = | x |.

D4 : y = 1/x

p112 : y = { x };   y = tgx.

pma2 : y = sin x.

28. ábra
29. ábra

Feladat: Keressünk további szimmetria-csoportbeli elemeket!

Algebra:

A H halmaz önmagával vett H×H direkt szorzatának bármely, nem üres részhalmazát, a H halmazon értelmezett relációnak nevezzük. A definició tehát a H elemeiből képzett rendezett párok halmazáról szól.

Egy reláció szimmetrikus, ha az (a, b) eleme a részhalmaznak, akkor a (b,a) is eleme.

Szimmetrikus relácók: (a megfelelő halmazokon értelmezett) egyenlőség, párhuzamosság, vérrokonság, szomszédság, stb.

Adjunk meg további szimmetrikus relációkat!

Ha egy n határozatlanú polinom határozatlanjait bárhogyan permutálva az eredeti polinomot kapjuk, akkor szimmetrikus polinomról beszélünk.

Az x1, x2, ..., xn határozatlanok k-ik elemi szimmetrikus polinomján az ezekből a határozatlanokból képzett összes k-tényezős szorzat összegét értjük.

Példa: Az a,b,c és d határozatlanok elemi szimmetrikus polinomjai:

a+b+c+d;
ab+ac+ad+bc+bd+cd;
abc+abd+acd+bcd;
abcd.

Az

f: anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 (a1 ∈ C)

reciprok polinom, ha x0-lal együtt 1/x0 is zérushelye (gyöke). Könnyű belátni, f akkor és csak akkor reciprok polinom, ha ai = an-i szimmetrikus reciprok vagy ai = -an-i antiszimmetrikus reciprok.
Feladat

a) fenti állítás igazolása;

b) Igazoljuk: ha n páratlan, akkor a reciprok polinomok szimmetrikus esetben a -1, antiszimmetrikus esetben az 1 gyöke;

c) Mutassuk meg, minden páratlan fokú reciprok polinom egy páratlan fokú és egy páros fokú reciprok polinom szorzata.

d) Bizonyítsuk be,: a páros fokú, antiszimmetrikus reciprok polinomnak mind az 1 , mind a -1 zérushelye.

Az is belátható, hogy minden párosfokú, szimmetrikus reciprok polinomegyenlet visszavezethető egy m-edfokú és m számú másodfokú egyenlet megoldására, ha n=2m.
Forrás

N. M. Gjunter - R. O. Kuzmin: Felsőbb matematikai példatár I., Tankönyvkiadó, 1951.

Szele Tibor: Bevezetés az algebrába, Tankönyvkiadó, 1975.

Fuchs László: Bevezetés az algebrába és a számelméletbe I-II., Tankönyvkiadó, 1965. (Egyetemi jegyzet)

Ének-zene(művészet)

A zene, lévén részben matematika is, számos területén mutat szimmetriát. Így mindjárt az ütem, (ritmus) az ütemfajták. Az ostinató: (dallam, illetve ritmusképlet) állandó ismétlődése is az eltolási szimmetria egy példája.

Ennek legismertebbje: RAVEL: Bolero-ja, de említhető itt a népzenéből a néhány hang ismétléséből álló dudabasszus.

A hangsorok, a strófák, a népdalainkban gyakori kvintváltás (pl.:"Érik a ropogós cseresznye…" , amely az betűkkel kifejezve tükörszimmetriát is mutat, vagy a "Hej, Jancsika, Jancsika…" kezdetű karádi (Somogy) gyűjtésű népdalban.

A kánonokban megtestesülő utánzás ugyancsak az eltolási szimmetriára ad példát. Ritka szép példány J. S. Bach egy kánonja, amelyben a második szólam az első szólam centrális tükörképét énekli.

30. ábra

Találhatunk azonban tengelyes tükrözésre is példát J. S. Bach-nál Contrapunctus-ában:

31. ábra

Feladat Keressünk további zenei illusztrációkat!

Művészettörténet

A XX. Század bővelkedett a geometrikus mintákat megjelenítő festők, szobrászok műveiben.

P. Mondrian, M. C. Escher, V. Vasarely és követőik, A. J. Maillol, H. Moore munkái kínálják a szimmetriát keresők számára a szebbnél-szebb példákat.

Kedvcsinálónak álljon itt egy M. C. Escher: Circle with Butterflies vízfestmény.

32. ábra

Közlekedés

Bőséges tárházai a szimmetriáknak a KRESZ-táblák, a közlekedéshez tartozó térképjelek, a közlekedési eszközök homlokrajzai, az autómárkák logói, a kerekek dísztárcsái, a sínpályák, talpfák, oszlopsorok.

33. ábra

34. ábra

Nemzeti jelképek

A különböző nemzeti címerek és zászlók közül keressük meg a tengelyesen és/vagy középpontosan tükröseket!

Népművészet

A népi kézműipari termékek sokasága használja fel mind a forgási, mind a tengelyes tükrözési szimmetriákat, az eltolási szimmetriák mellett. A fazekasság festett tányérjainak, korsóinak a kerek, illetve téglalap alakú abroszok, terítők, kendők közepének, és/vagy szegélyeinek a díszítése mind kiválóan alkalmas akár a rozetta-, akár a fríz-csoportok egy-egy képviselőjének megjelenítésére.

Forrás

Lengyel Györgyi: Keresztszemes kézimunkák, Kossuth Könyvkiadó, 1981.

Balassa I. - Ortutay Gy.: Magyar néprajz, Corvina, 1980.

Hofer T. - Fél E.: Magyar népművészet, Budapest, 1977.

Kerekes Katalin: Ornamentális csoportok a magyar népművészetben, Szakdolgozat, ELTE, TFK, 1980.

Hargittai István - Lengyel Györgyi: A hét egydimenziós szimmetria-tércsoport magyar hímzéseken, Magyar Tudomány, 1994.

Építészet

Az ember környezet és térformáló szenvedélye, akarata a jövő alakítására hozta létre a lakótereket, épületeket, a kultikus építményeket, a tudatosan tervezett és épített, szépített épületeket. A különböző korok más-más viszonya a természethez, a társadalmi rétegekhez alakította, határozta meg a kor jellegzetes formanyelvét.

Az európai kultúrkör építészete mind az épület alaprajza, mind a külsejének tagozódása (oszlopok, pillérek párkányok), homlokzata és ennek díszítése (ornamentikája), mind a vasművesség munkái, mint a kerítések, a kapuk, erkélyek, lépcsők korlátai, ablakrácsok, zárak címerei rendre a különböző szimmetriák egy-egy művészi megvalósítása, nem szólva a belső terek dísziről, pl. a mennyezetrózsákról, a falakon végigfutó párkánydíszekről, frízekről.

Magyarország ezer éves történelme során számos esetben vált birodalmak csataterévé, és ez a tény az amúgy nem túl gazdag építészeti emlékek pusztulásával, eltűnésével járt.

Román stílusú, Szent István korából származó bazilikáknak csak alapfal maradványai maradtak fenn. Késő román stílusú a Bélapátfalvai cisztercita apátsági templom. A németországi Mainz, Speyer, Aachen és Worms székesegyházai, az oroszországi Vlagyimir Uszpenszkij székesegyháza és a francia Cluny bencés apátsága építészeti tanulmányozása felfedi a kor szellemét, viszonyát a harmóniához. Megjelennek a templomok bejárata fölötti rózsaablakok, a Cn vagy a D2n rozetta-csoportok képviselőiként.

A gótika jellegzetes, égbe törő katedrálisainak alaprajza, boltozatai, főhomlokzata, a román félkörívet felváltó, a falak teherbírását kedvezőbben befolyásoló csúcsívek, a kőrácsok (mérművek) alapvetően geometrikus szerkesztésűek.

37a. ábra

37b. ábra: A Szent Péter Bazilika néhány terve;
Bramante, Michelangelo és Raffaello tervei, illetve a bazilika jelenlegi alaprajza Maderno-féle bővítéssel és a Bernini által tervezett térrel.

37c. ábra: Gótikus ajtódíszek

Hazánkban a Nyírbátori Református Templom, Sopronban a bencés templom szerényebb képviselői e stílusnak. Külföldön a párizsi Notre Dame, a reimsi, chartresi, a roueni katedrálisok és a bécsi Szent István dóm a legismertebb alkotások.

A reneszánsz a soproni Storno házon hagyta a névjegyét, míg arany Prágát a Vencel térrel, Velencét a Szent Márk katedrálissal ajándékozta meg. Nagy szerepet kap a szimmetria, nagyobbat, mint a korábbi korokban, hiszen már nem csak az épület, hanem a hossztengelyébe épített kert vagy park is tükörszimmetrikus, de ezen túlmenően már városok tervezéséhez is a diéder-csoport egyike szolgál mintául.

38a. ábra: Város és háztervek

38b. ábra: A Fertődi Eszterházy kastély és a ???? templom

38c. ábra: Ablakrácsok és kulcspajzsok

38d. ábra: A Milánói Dóm

A barokk építészet, amely a XVII. század elején kopogtatott és hozzávetőleg a XVIII. század végéig uralkodott, az ellenreformáció hivatalosan is követett művészeti irányzata.. A hivalkodó pompa, a harsány teltség kívül-belül a színpadias hatáskeltés eszközei, amelyeket a szándékolt és öröklött szimmetria fog szoros keretbe. A térformálás is a reprezentatív épület vagy épületegyüttes fontosságát, nagyságát hivatott emelni. (Róma: Piazza del Popolo, Piazza di S. Pietro, Piazza di Spagna a spanyol lépcsővel). A Mária Terézia korára jellemző a magyar arisztokrácia építő kedve, s ez országszerte sok-sok szép épületben öltött testet. A magyar barokk szolidabb küllemével nem kevésbé hivalkodó, mint külföldi példái: Budapesten a Szervita téri Szt. Anna templom, a Városház utcai Pesti Invalidusok háza (ma: a Budapesti Önkormányzat épülete), a ferences templom a Ferenciek terén, Fertődön az Eszterházy kastély (a legnagyobb magyar barokk kastély, rokokó belsőkkel), Tihanyban az Apátsági templom és kolostor.

39a. ábra: Klasszicista épületek tömegvázlatai

A hortobágyi 9 lyukú híd
A debreceni Nagytemplom
és az Orvosi Egyetem
Az Esztergomi Bazilika
A párizsi Diadalív
A versaillesi palota
39b. ábra

Dísz az Esztergomi Bazilika kapuzatán
 
39c. ábra

A barokk túlzásait elvető, vele szemben ellenséges neoklasszikus építészet az egyenes vonalakban látja ókori mintára a monumentalitást, és az ezzel járó nyugalmat. Visszatér a hosszúság-szélesség arányban az aranymetszet (aurea sectio), mint a legkívánatosabb, legharmonikusabb arány. A debreceni Nagytemplom, a Deák téri evangélikus templom, a Lánchíd, a Nemzeti Múzeum, az egri Székesegyház a legszebb hazai példák, míg külföldön a berlini Brandenburgi Kapu, és a londoni Szt. Pál székesegyház kívánkozik ide.

40. ábra
Eklektikus tér
Milleneumi emlék
Későeklektikus lakóház
Várkerület tér 59., Sopron

A klasszicizmust megunó és felváltó romantikus majd eklektikus építészet a nagymérvű kötöttséget feloldani hivatott festőibb tömegelrendezést, változatosabb térformálást kínált. Budapest, a Király u. 47. alatti házzal, a IX., Bakáts téri római katolikus templommal, Fót az ugyancsak római katolikus templommal az előbbire, a Hősök tere, a Milleniumi Emlékmű, a Várkert-bazár, az Operaház, az ELTE Múzeum krt. 4. sz. alatti épülete, a Vár, a Halászbástya, a Mezőgazdasági Múzeum, a VII. kerületi Rózsák terén a Szt. Erzsébet templom pedig az utóbbira nyújt szemrevaló példákat.

Iparművészeti Múzeum,
Budapest
Lakó és üzletház,
V. ker. Martinelli tér 5., Budapest
Magas házak alaprajzi típusai
Modern épülettömegalakítások
41a. ábra

Az Eiffel torony
A Szegedi Dóm (Album!)
41b. ábra

Budapest, Károly körút 26. lépcsőháza
41c. ábra

Az ipar, a kereskedelem, a kommunikáció rohamos fejlődése a XIX. század végétől az építészetben is rövid életű, de markáns nyomokat hagyott az utókorra. Az új anyagok, a vas, az acél, a beton, az alumínium, az üveg kitágították az építészet lehetőségeit.

A szecesszió (Jugendstil) Duna parti Gresham palotája, a Szervita tér 3. sz. épülete, az V. kerületi Anker-köz sarkán álló Anker palota, a kecskeméti Cifra-ház, a Magyarországon is rövid pályát befutó irányzat képviselői, mert a szerkezet helyett az épület külsejével, ruházatával (népi ihletésű, főként növényi motívumok) bajlódik.

A funkcionalizmus az ipari kultúrát az általános kultúra részeként, az építészetet a többit összefoglaló művészetként határozta meg. A homlokzat stíluskényszere alól az építészeti alaprajzok felszabadításával vívta harcát a szabadságért.

Frízcsoportok La Corbusier házterveiben (Pessac)
házsor
ikerház
műteremlakások
házsor
42a. ábra

42b. ábra
42c. ábra

W. Gropius Bauhausa, Le Corbusier Viers une architecture c. könyve volt a legnagyobb hatással a modern irányzatokra.

Hazánkban a modern stílust a XX. század közepéig számos épület képviseli. Időbeli sorrendben néhányuk: V. kerület Szabadság tér Tőzsdepalota (ma MTV székház), a Magyar Nemzeti Bank épülete, XIV. kerület Állatkert épületei, II. kerület Városmajori r.k. templom, III. kerület Bécsi úti Árpád Gimnázium, II. kerület Mechwart téri Országos Statisztikai Hivatal, VIII. kerület József krt. 86. sz. bérház.

Feladatjavaslatok:

A felsorolt és fel nem sorolt építészeti stílusok forma (stílus) jegyei, alaprajzukban, homlokzatukban, külső-belső díszítményeikben.

Környezetünkben, külföldi utazásaink során talált épületek, díszítmények, terek szimmetria-csoportbeliségének helye, stílusának, korának meghatározása, honlapunkra eljuttatása.

Források:

Gerő László: Az építészeti stílusok, GONDOLAT, 1972.

Végh János (szerk.): Gótikus stílus, Vince Kiadó, 2000.

L. March - Ph. Staedman: Geometria az építészetben, Műszaki Könyvkiadó, 1975.

Wassel Zsuzsanna: Rózsaablakok, Szakdolgozat, ELTE, TFK, Matematika, 2005.

http://www.magyartemplomok.hu

http://www.artlex.com/ArtLex/Rf.html, rosette címszó alatt.

Ajánlott még:

Joe Chiffriller: Tips and tricks to Gothic Geometry, New York Carver Publications,
http://www.newyorkcarver.com/geometry/geometry.htm

A szerzők köszönetet mondanak munkájukhoz való értékes hozzájárulásukért a Fazekas Mihály Fővárosi Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium Antal Márk, Lerch Lívia, Okányi András 7. b., Kiss Marcell 8. d., Székely Tímea 9.a., Szabó Bálint 9.b. osztályos tanulóinak, valamint Breinich Miklósné, Horváth Andrea az iskola ének-zene, Hraskó András matematika tanárának, és Kerekes Katalin, Wassel Zsuzsanna ELTE, TFK matematika szakos volt hallgatójának.

A szerzők hálásak honlapunkat megkereső és azt észrevételeikkel, javaslataikkal, a témában elért eredményeikkel gazdagító Olvasóinknak, Szerzőinknek.

Budapest, 2005. május 26.

Jakucs Erika (jerika@fazekas.hu)
Pogáts Ferenc (pogaf@freemail.hu)

Kiemelt támogatónk 2006-ban:
Tigra Computer
Támogatóink 2003-ban:
Oktatási Minisztérium
Powered by:
Apache + Php + Mysql
Kapcsolat
hraskoa@fazekas.hu
Copyright © 2004-2010 Fazekas Mihály Fővárosi Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium. Served by pingvin.