Informatikai és Hírközlési Minisztérium Oktatási Minisztérium Apache Php Mysql Fazekas Mihály Gyakorlóiskola
  Bejelentkezás
Üdvözöljük a Matematika portálon!  
Sorminták, frízek

SORMINTÁK, frízek

Készült a Közoktatási Modernizációs Közalapítvány támogatásával

Korábbi cikkünkben (Rózsaablakok és társaik [2]) az eltolás nélküli diszkrét egybevágósági transzformációk csoportjaival találkozhattunk.

E cikkünkben az egyetlen eltolást tartalmazó diszkrét egybevágóságokkal, ezek csoportjaival, a frízcsoportokkal foglalkozunk. Ennek során belátjuk, hogy pontosan hétféleképpen lehet olyan (végtelen) sormintákat, azaz frízeket alkotni, amelyek egy motívum (végtelen sok) ismétlésével állnak elő.

A hét frízcsoportnak megfelelő sormintákat az olvasó is gyárthat a Kiss Marcell diák által készített interaktív weboldalon.

A szakirodalomban e hét frízcsoport jelölésére egy négy karakterből álló betű-, illetve számsorozat szolgál, amelyben az első helyen mindig a p áll. A második jegy m vagy 1 aszerint, hogy a csoportban van -e T eltolásra merőleges tengelyű tükrözés, vagy sem. A harmadik karakter is ugyanígy m vagy 1, avagy a annak megfelelően, hogy a csoport tartalmazza a Teltolással párhuzamos tengelyre tükrözést, vagy sem, illetve csúszástükrözést. ( A betű-, illetve számsor első betűje a p az angol pattern a.m.:minta, mintázat szóból ered.)

Az egyetlen T eltolás generálta, azaz az eltolás egészszámú többszöröseiből származó

p111 jelű csoport elemeit a { T i }

tartalmazza, ahol iZ és Ti a T -nek i-szeresét jelöli.

A csoport egy reprezentánsa az egyetlen L-ből eltolással nyert

...LLL...

sorozat.

1. Tétel:

Ha egy frízcsoport tartalmaz pont körüli (valódi) forgatást, akkor az csak a centrális tükrözés (félfordulat) lehet.

Bizonyítás:

Az O pont körüli φ(≠ 2πn, n ∈ N)-szögű elforgatás a ponthalmazt önmagába viszi, tehát a T eltolás φ-szögű T * elforgatottja az O pont körül elforgatottat (vagyis az eredeti alakzatot) önmagába viszi. Mivel a frízcsoportba csak egyetlen eltolás lehetséges, így a T * csak a T-vel ellentett -T eltolás lehet, azaz φ=π.

Állításunkat másképpen is igazolhatjuk: Ha a T eltolás mellett az F(O;φ) O pont körüli, φ -szögű forgatás is eleme a frízcsoportnak, úgy a

T-1 F-1 T F is eleme a csoportnak.

Ez az elem-eltolás, mert φ+(-φ)=0 , amint azt a Sík egybevágóságai és a tengelyes tükrözések [1.] című cikk 10. tételéből tudjuk.

Vizsgáljuk meg, hogy a fenti csoportelem mibe viszi az O (forgásközép) pontot.

Mivel F(O)=O,T F(O)=O' (1. ábra),F -1(TF(O))=F -1(O')=O* és T -1(O*)=O2.

Az OO2 eltolás a frízcsoport egyetlen eltolása kell legyen, ezért OO2 || OO', vagyis φ=0 vagy φ=π .

1. ábra
2. Tétel: A T eltolás forgáscentrumot forgáscentrumba visz. Ugyanis a T eltolás alakzatunkat önmagába viszi és az alakzat szimmetriaközepét az eltolt alakzat szimmetriaközepébe, vagyis az eredeti alakzat szimmetriaközepébe viszi.
3. Tétel: A félfordulatok közepe csak a T k adta Ok , vagy az ezek szakaszait felező pont lehet.
Bizonyítás: Ha a T az O szimmetriacentrumot O1 -be, T k az O-t Ok-ba (k ∈ Z) viszi, úgy ezek mindegyike szimmetriacentrum. Az ezeket önmagukba vivő félfordulatok közepe azonban csak egy (O;Ok) szakasz felezőpontja lehet, ami vagy egy Oj centrum, vagy egy OjOj+1 szakasz felező pontja, a Kj (2. ábra).
2. ábra

Az alapeltoláson kívül a csak félfordulatot (középpontos tükrözést) tartalmazó

p112 jelű frízcsoport elemeit a { T i ; OT i }

szolgáltatja, ahol O az O közepű félfordulat. (Az [1.] 7., 8. és 10. TÉTELéből következik, hogy a felsorolt elemek (egybevágóságok) szorzata is eltolás, vagy pontra tükrözés.)

A csoportot jól képviseli az egyetlen N-ből képzett (két félfordulatal generálható) sorozat:

...N N N...
4. Tétel: Ha a frízcsoportban tengelyes tükrözés is van (az egyetlen T alapeltoláson kívül), akkor az csak a T -re merőleges vagy a T -vel párhuzamos tengelyre tükrözés lehet.

Bizonyítás: Az eltolás, illetve a tengelyszimmetria miatt, a T alapeltolás tengelyes tükörképe a T * is olyan eltolás, amely a ponthalmazt önmagába viszi. Ám frízcsoportunkban csak a T alapeltolás (illetve egész többszöröse) létezik, így T * egyállású kell legyen a T -vel, ami akkor és csak akkor teljesül, ha a tengely merőleges a T-re, vagy párhuzamos a T-vel.

A két tengelynek pontosan egyikét tartalmazó frízcsoportok a

p1m1, a p1a1, illetve a pm11

jelűek, amelyeket a

...DDD..., a ...bpbpbp..., illetve az ...AAA...

betűsorozatok képviselik. Halmazelemeiket pedig rendre egy eltolás, egy (vízszintesre) tükrözés; egy csúszástükrözés, aminek kétszeri egymást követő alkalmazása adja az alapeltolást, illetve két (függőlegesre) tükrözés generálja.

A két szomszédos függőleges ( -re merőleges) tengelyre tükrözés szorzata csakis a lehet a frízcsoportbeliség és a [1.] 3. TÉTELe miatt, így ezek egymástól a hosszának a felére vannak.

3. ábra

Ha a frízcsoportban mindkét tükrözés jelen van, úgy a pmm2 három tükrözéssel, illetve a pma2 jelű egy tükrözéssel és egy fél fordulattal (3. ábra) generált, a

...HHH... illetve a ...V Λ V...

jelcsoport képviselte frízek adódnak. (Az utóbbiban az eltolást a két szomszédos centrumra tükrözés szorzata adja, míg eme eltolás felének és a vele párhuzamos tengelyre tükrözésnek az egymásutánja egy csúszástükrözést. Ugyanitt a két egymásra merőleges a,b tengelyre tükrözés szorzata adja a félfordulatot.

A már többször idézett [1.] tételeiből azonnal következik, hogy a felsorolt struktúrák (p1m1, p1a1, pm11, pmm2, pma2) valóban csoportok, mivel az őket generáló transzformációk szorzata nem vezet ki a halmazból.

Az is nyilvánvaló, hogy az egyetlen eltolást tartalmazó diszkrét egybevágósági csoportok bármelyike az előbb nyert hét fríz egyikével azonos, hiszen az egyetlen eltolás, a csak erre merőleges illetve ezzel párhuzamos tengelyre tükrözés illetve a középpontos tükrözések ( mint az egyetlen, pont körüli elforgatás) vagyis az egyenest önmagába vivő (diszkrét) egybevágóságai másként nem állnak elő.

Pogáts Ferenc

Kiemelt támogatónk 2006-ban:
Tigra Computer
Támogatóink 2003-ban:
Oktatási Minisztérium
Powered by:
Apache + Php + Mysql
Kapcsolat
hraskoa@fazekas.hu
Copyright © 2004-2010 Fazekas Mihály Fővárosi Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium. Served by pingvin.