Informatikai és Hírközlési Minisztérium Oktatási Minisztérium Apache Php Mysql Fazekas Mihály Gyakorlóiskola
  Bejelentkezás
Üdvözöljük a Matematika portálon!  
Rózsaablakok és társaik

Rózsaablakok és társaik

Készült a Közoktatási Modernizációs Közalapítvány támogatásával (2004. október)

Egy ponthalmazt (alakzatot) önmagába vivő egybevágóságok csoportot alkotnak, azaz két ilyen egybevágóság egymásutánja (szorzata) is egybevágóság és asszociatív (vagyis, ha α, β és γ egybevágóságok, akkor γ(βα) = (γβ)α), továbbá minden egybevágóságnak van inverze, ami szintúgy egybevágóság és a képalakzatot viszi a tárgyalakzatba, no meg van un. egységelem: az identitás, amely minden pontot helyben tart.

A fenti csoportot az alakzat szimmetria-csoportjának nevezzük. Ez lehet folytonos vagy diszkrét.

Folytonos: ha az alakzat bármely P pontjának, amely a transzformációknak nem fixpontja, bármely környezetében van a P-nek tőle különböző képe. Ilyen pl. a körlemez középpontja körüli - tetszőleges szögű - forgatások csoportja.

Diszkrét: ellenkező esetben, vagyis, ha a P pontnak van olyan környezete, amelyben

P -nek egyetlen, tőle különböző képe sincs. Lásd: a körnek középpontja körüli, a 2π/n (n∈N) szög egész többszörösével történő elforgatásai.

Egy alakzat diszkrét szimmetria-csoportját ornamentális (díszítő) csoportnak is mondjuk.

Az eltolás nélküli ornamentális csoport a rozetta (rózsaablak) csoport. Különböző rozetta csoportoknak megfelelő díszítéseket az olvasó is gyárthat a Kiss Marcell diák által készített interaktív weboldalon.

A sík egybevágóságainak vizsgálata nyomán (Lásd: A sík egybevágóságai és a tengelyes tükrözések c. cikket (I.)) belátjuk, hogy a rozetta-csoport elemei között csak egyetlen pont körüli forgatások, mégpedig a 2π/n szög egész többszöröseivel történő forgatások szerepelhetnek, továbbá, ha a csoport tartalmaz tengelyes tükrözést, akkor a tengely az előbbi forgásközéppontra illeszkedik.

1. Tétel: Ha a csoport tartalmaz pont körüli forgatást, akkor az csak a pont körüli 2π/n szöggel, illetve ennek egész többszöröseivel történő forgatás lehet.
Bizonyítás: Legyen P1 a forgás középpontjától különböző pont és a forgás egymásutáni alkalmazásával adódó - tőle különböző - képei rendre: P2, P3, . . . , Pn. (A csoport diszkrét, tehát egy tetszőleges pontjának csak véges sok képe lehet.)

Nyilvánvaló, hogy Pn képe a P1 lesz, mivel egy-egy forgás során P1 a P2-be, P2 a P3-ba, . . . , Pn-1 a Pn-be megy. Ezért egy-egy forgás a teljes szög n-ed részével történik, azaz, ha O a forgás közepe, úgy

P1OP2∠ = 2π / n = PkOPk+1∠ ( 1≤ k ≤ n és n+1=1 )

2. Tétel: A rozetta-csoportnak nincs két (különböző) középpont körüli valódi forgatása.
Bizonyítás: Indirekt úton okoskodunk. Tegyük fel, hogy az F1 az O1 pont körüli φ1 szögű, és az F2 egy O2 pont körüli φ2 szögű elforgatás eleme a rozetta-csoportnak.

Ekkor a csoportok eleme az F2-1F1-1F2F1 forgatások szorzata is, ami mint a már hivatkozott cikkben is láttuk, forgatás - mégpedig a forgatások szögének összegével történő forgatás - vagy eltolás.

Mivel a φ1+ φ2 + (-φ1) + (-φ2 )=2πk, k φ N , ezért a csoport fenti eleme vagy az identitás, vagy egy (nem triviális) eltolás.

Ha az F2-1 F1-1 F2 F1 az identitás, akkor minden pont fixpont.

Legyen P az a pont, amelyet az F1 forgatás O2-be visz. Így P képe az O2 ,

azaz F1(P)=O2.

Ezért F2(F1(P))=F2(O2)=O2 ,

és ezt az F1 inverze a P-be viszi, vagyis

F1-1(F2(F1(P)))=F1-1(O2)=P.

1. ábra

Ezzel F2-1(F1-1(F2(F1(P))))=F2-1(P)=P*φP (1. ábra), mivel φ2 nem a 2π egész többszöröse, tehát a P nem fixpont, így az F2-1F1-1F2F1 nem az identitás, ezért csakis eltolás lehet, ami ellentmond az eltolás-nélküliségnek.

Következmény: Ha a rozetta-csoport nem tartalmaz tengelyes tükrözést,akkor az ilyen csoport elemei csak egyetlen pont körüli k•2π/n szögű elforgatások lesznek, amelyben 0≤ k ≤ n-1 egész és n ≥ 1 egész.

Nyilvánvaló, hogy az (an+k)•(2π/n) elforgatás (a ∈ N ) azonos a k(2π/n) szögű elforgatással, így a csoportnak n darab eleme van: F, F2 , F3 , . . . , Fn =I, ahol F a középpont körüli (2π/n)-szögű elforgatás, és Fk a k(2π/n) szögű elforgatás, míg I az identikus leképezés.

E csoport az n-ed rendű forgáscsoport vagy az n-edrendű svasztika nevet viseli. (A csoport az un. n -edrendű ciklikus csoport egy képviselője.) Jele: Cn .

Korábban beláttuk, hogy, ha egy csoport elemei között vannnak tengelyes tükrözések, akkor egyrészt a tengelyek között nem lehet két párhuzamos, hiszen az ezekre történő tükrözések egymásutánja eltolás, így tehát a tengelyek páronként metszik egymást, másrészt a páronkénti metszésből adódóan ugyanazon a ponton kell valamennyi tengelynek átmennie.

Ellenkező esetben ugyanis, ha van három egymást páronként különböző pontban metsző egyenesre tükrözés a csoportban, akkor ezek szorzata egy valódi csúszástükrözés is eleme a csoportnak és ennek kétszer egymásutáni alkalmazása eltolást adna, mivel

(cba)(cba)=(cb)(ac)(ba)=(cb)(ca)(ba)=c(bc)a(ba)=c(cb)a(ba)=(cc)(ba)(ba)= 4AB

2. ábra

(Felhasználtuk a leképezések asszociatív és a merőleges egyenesekre való tükrözések szorzatának kommutatív voltát.)

3. Tétel: Ha a rozetta-csoport tartalmaz pont körüli forgatáson kívül tengelyes tükrözést is, akkor a tengely illeszkedik a forgásközéppontra.
Bizonyítás: Indirekt gondolkodunk. Tegyük fel, hogy az O közepű φ ( ≠ 2πn) szögű F forgatás O közepe nem illeszkedik a t tengelyre tükrözés egyenesére
3. ábra

Mivel t az alakzat szimmetria-tengelye, ezért O-nak erre való tükörképe az O' a képalakzatnak is (tehát az eredeti alakzatnak) forgásközepe.

Ez pedig ellentmond 2. Tételünknek.

A fenti állítást úgy is igazolhatjuk, hogy a korábban is említett cikk 2. és 9. tétele szerint

F( O ; φ )= ba (3. ábra),

tehát mind a tF = tba , mind az Ft = bat a csoport eleme, és 3 egyenesre tükrözés szorzata csúszástükrözés, amely a mi esetünkben valódi, hiszen

a ⊥ t és a ∩ b = O, ami nem illeszkedik t-re.

Fenti tételeinkből, és a már idézett cikkben foglaltakból következik a

4. Tétel: 1.) Tengelyes tükrözéseket tartalmazó rozetta-csoportnak a Cn csoport valódi

részcsoportja;

2.) A tengelyes tükrözések tengelyeinek páronkénti hajlásszöge kπ/n

0≤ k ≤ n-1, k ∈ N ;

3.) A tengelyes tükrözéseket is tartalmazó, D2n -nel jelölt diéder-csoport

(n ≥ 2 esetén a szabályos n-szög szimmetriacsoportja) elemeit a Cn csoportot generáló F(0; 2π/n) forgatás egymásutánjai, az Fi (0; i2π/n) 1≤ i ≤ n forgatások és a t tengelyre tükrözéssel adódó t Fi tengelyes tükrözések adják, azaz a

D2n={Fi ; t Fi }

diédercsoportnak 2n eleme van.

Ugyanis a korábbi cikkünkben foglalt 2. Tétel miatt

tFi = t(tti) = ti , ahol a ti az a tengely, amelyet az O pont körüli iπ/n szögű forgatás visz a t tengelybe.

Hasonlóan

Fj t = (tj t) t = tj , ahol a tj a t-nek O körüli j π/n-szögű elforgatottja.

A D2n-ben tehát n darab pont körüli forgatás és n darab tengelyre tükrözés található.

Összefoglalva: A rozettacsoport tehát vagy a pont körüli forgatásokból álló Cn csoport,

vagy a Cn-t valódi részcsoportként tartalmazó, az előbbi elemein kívül

tengelyes tükrözéseket is tartalmazó D2n csoport.

Pogáts Ferenc

Kiemelt támogatónk 2006-ban:
Tigra Computer
Támogatóink 2003-ban:
Oktatási Minisztérium
Powered by:
Apache + Php + Mysql
Kapcsolat
hraskoa@fazekas.hu
Copyright © 2004-2010 Fazekas Mihály Fővárosi Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium. Served by pingvin.