Informatikai és Hírközlési Minisztérium Oktatási Minisztérium Apache Php Mysql Fazekas Mihály Gyakorlóiskola
  Bejelentkezás
Üdvözöljük a Matematika portálon!  
Kubatov Antal: Azok a csodálatos érintőnégyszögek

Azok a csodálatos érintőnégyszögek[1]

Összeállította: Kubatov Antal, Kaposvár

A Nagy Károly Matematikai Diáktalálkozón (Komárom, 2005) elhangzott előadás anyaga

Az ábrákat Véges Márton, a html és doc változatokat Herber Máté készítette

Feladatok


1. Feladat.

Egy négyszögbe négy kört írtunk oly módon, hogy mindegyik pontosan két másik kört érint kívülről, s mindegyik érinti a négyszög két szomszédos oldalát is. Mutassuk meg, hogy ha a négyszög érintőnégyszög, akkor valamely két szemközti kör sugara megegyezik! MEGOLDÁS

2. Feladat. Egy trapézt az alapokkal párhuzamos szakaszokkal három trapézra bontottuk úgy, hogy mindegyikbe írható kör. Mekkora a középső trapézba írható kör sugara, ha a két szélsőbe írt kör sugara ill. ? MEGOLDÁS

3. Feladat. Igazoljuk, hogy ha az  négyszög érintőnégyszög, akkor az  és  háromszögekbe írt körök érintik egymást! MEGOLDÁS

4. Feladat. A  csúcsú szög szárait érintő  körön kijelöltünk két átellenes pontot, -t és --t, melyek különböznek az érintési pontoktól. A  körhöz a  pontban húzott érintő a szög szárait a  és a , a  egyenest pedig az  pontban metszi. Bizonyítsuk be, hogy ! MEGOLDÁS

5. Feladat. Egy háromszög egyik oldala egyenlő a másik két oldal összegének harmadával. Bizonyítsuk be, hogy az eredeti háromszögbe és a középháromszögbe írt körök érintik egymást! MEGOLDÁS

6. Feladat. Adott egy nem trapéz húrnégyszög. Szemközti oldalainak meghosszabbításainak metszéspontja legyen  ill. . A -nél és -nál lévő szögek szögfelezői messék a húrnégyszög oldalait ,  ill. ,  pontokban. Mutassuk meg, hogy  négyszög érintőnégyszög! MEGOLDÁS

7. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy egy konvex  szögből az átlókkal levágott  négyszög közül legfeljebb  lehet érintőnégyszög! MEGOLDÁS

8. Feladat. Az  húrnégyszög átlóinak metszéspontját jelölje , s ennek az oldalakra vonatkozó tükörképei legyenek ,, ill. . Mutassuk meg, hogy  négyszög érintőnégyszög! MEGOLDÁS

9. Feladat.Mutassuk meg, hogy ha a satírozott négyszögek érintőnégyszögek, akkor az  négyszög is az! (lásd 14. ábra). MEGOLDÁS

14. ábra

10. Feladat. Mutassuk meg, hogy ha a satírozott négyszögek érintőnégyszögek (lásd 16. ábra) és , akkor  négyszög is érintőnégyszög!

MEGOLDÁS

16. ábra

11. Feladat. Jelölje az  súlypontját , két súlyvonalát  és . Bizonyítsuk be, hogy az  egyenlőszárú, ha  négyszög érintőnégyszög!

MEGOLDÁS

12. Feladat.Bizonyítsuk be, hogy az  (nem trapéz) négyszög akkor és csak akkor érintőnégyszög, ha ! ( az  és  meghosszabbításainak metszéspontja,  pedig a másik két oldal meghosszabbításainak metszéspontja.). MEGOLDÁS

13. Feladat. Egy konvex négyszög szemközti oldalai meghosszabbításainak met­széspontjain keresztül húzzunk egy-egy egyenest, melyek az eredeti négyszöget négy kisebb négyszögre vágják. Bizonyítsuk be, hogy ha kör írható valamely két szemközti kis négyszögbe, akkor az eredeti négyszög is érintőnégyszög. MEGOLDÁS

14. Feladat. Az  érintő trapéz (), átlóinak metszéspontja . Jelölje  ebben a sorrendben az    és  háromszögekbe írt körök sugarát. Mutassuk meg, hogy ekkor ! MEGOLDÁS

15. Feladat. Adott az , s annak  oldalán két belső pont,  és  (). Tekintsük az  és  háromszögekbe írt körök közös külső érintőit; ezek metszéspontját jelölje . Mutassuk meg, hogy az  és a  háromszögekbe írt körök –  oldaltól különböző – külső érintője illeszkedik az  pontra. MEGOLDÁS

16. Feladat. Az  érintőnégyszög beírt köre az oldalakat négy pontban érinti, a szomszédos oldalakon levő érintési pontokat összekötjük. Így a négyszög minden csúcsánál keletkezik egy kis háromszög. Megrajzoljuk ezeknek a beírt köreit. Tekintsük a szomszédos csúcsokhoz tartozó kis köröknek az oldalegyenesektől különböző külső érintőit. Tudjuk, hogy ez a négy egyenes egy négyszöget zár közre. Mutassuk meg, hogy a négyszög rombusz! MEGOLDÁS

17. Feladat. Egy nem trapéz négyszög oldalainak meghosszabbításai messék egymást a  ill.  pontokban. Mindkét ponton keresztül két-két egyenest húzunk, melyekkel a négyszöget 9 négyszögre bontjuk. Tudjuk, hogy a csúcsok melletti négy négyszög közül három érintőnégyszög. Mutassuk meg, hogy akkor a negyedik is az! MEGOLDÁS

 

[1] A cím utalás Gerőcs László nagysikerű "Azok a csodálatos húrnégyszögek" című könyvére (Műszaki Kiadó, 1999)

 



Kiemelt támogatónk 2006-ban:
Tigra Computer
Támogatóink 2003-ban:
Oktatási Minisztérium
Powered by:
Apache + Php + Mysql
Kapcsolat
hraskoa@fazekas.hu
Copyright © 2004-2010 Fazekas Mihály Fővárosi Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium. Served by pingvin.