Informatikai és Hírközlési Minisztérium Oktatási Minisztérium Apache Php Mysql Fazekas Mihály Gyakorlóiskola
  Bejelentkezás
Üdvözöljük a Matematika portálon!  
A Feuerbach-tétel elemi bizonyítása

A FEUERBACH-TÉTEL ELEMI BIZONYíTÁSA

(Wolfgang Kroll)

1. BEVEZETÉS

Karl Wilhelm Feuerbach (1800-1834) 22 éves korában rájött egy tételre, amely - ahogy azt H. Eves megjegyezte - "a modern háromszög-geometria legszebb tétele, melyet több mértantudós is felfedezett". Ez azt mondja ki, hogy egy háromszög kilencpontos köre a háromszög beírt körét és a három hozzáírt kört is érinti. (1. ábra). Elég meglepőnek tunik ez a kapcsolat a háromszög hat nevezetes köre közül öt között, és igen meglepő a Feuerbach-tételre talált bizonyítások száma is. Ezek közül még az elemi bizonyítások is igényelnek némi tudást, olyannyira, hogy ma középiskolában normális esetben nem kerülhetnek elő. Ezenkívül sok bizonyításnak az a hátránya, hogy külön csak a tételért készültek, s így nem adnak mélyebb betekintést az összefüggésekbe. Ezen bizonyításokban hiányoznak azok az összekötő lépések is, melyek kellő egyszerűséggel szemléltetnék az összefüggéseket, de ugyanakkor a gondolatmenet irányát is pontosan mutatják.

A következőkben ismertetett bizonyítás egy olyan "összekötő lépés" felfedezésén alapul, mely szerint három egyszerű módon minden háromszöghöz hozzárendelhetők olyan körök, melyek a beírt körrel és a kilencpontos körrel együtt egy pontban metszik egymást.*1 A bizonyítás egészen kevés lépésből áll, ezek követése érdekében elég csak ismerni a háromszög szögeiről szóló legegyszerűbb tételeket. Ugyanezen ismeretek szükségesek a bizonyítás második feléhez is, melyben megmutatjuk, hogy a beírt kör és kilencpontos kör még érintik is egymást ebben a pontban

1. ábra

1.ábra

*1 Minden érintő körhöz tartozik egy hasonlóan definiálandó körhármas a megfelelő tulajdonságokkal, de ebbe most nem megyünk bele részletesebben.

2. A MAGASSÁGVONALAK TALPPONTJAINAK KÖRE

A beírt kör három érintési pontja alkotja a DEF háromszöget, mely "önmaga mellett" meghatározza az AEF, BDF és CED háromszögeket. Ugyanígy a magasságvonalak H1, H2, H3 talppontjai is meghatározzák az AH3H2, BH1BH3, CH2H1 ("társ-vagy mellék") háromszögeket. Ezen háromszögek most következő vizsgálatakor megállapítjuk hogy az utóbbi háromszögek beírt körének középpontja az előbbiek magasságpontja.*2

Ha bizonyítani akarjuk ezt a tényt, akkor automatikusan a körökre kell gondolnunk, melyek a következőkben főszerepet fognak játszani. De ezen motiváció nélkül közvetlenül is eljuthatunk a megoldáshoz, ha elsősorban a beírt kör I középpontját a háromszög csúcsival összekötő szakaszok köré írt köröket szemléljük (2. ábra). A lerajzolt esetben szemmel látható, hogy a beírt kör D és E érintési pontja, ezenkívül az I pontból a CH3 magasságvonalra bocsátott merőleges talppontja is rajta van az IC szakasz köré írt körön. Toljuk el ezt a kört a CH3 magasságvonallal párhuzamosan úgy hogy I pont egybeessen F ponttal, az MC középpont az M3 pontba kerüljön, a kör átmenjen a H3 magasságvonal-talpponton, az E és a D pont I1 ill. I2 pontba kerüljön, melyek a kör r sugarának távolságával fekszenek AB oldalra merőlegesen a D és az E pontok alatt. Az így eltolt K3 kört az AB oldalhoz tartozó magasságvonal-talppont körnek nevezzük Ennek megfelelően meghatározhatjuk a K1 és K2 magasságvonal-talppont köröket is. A K beírt kör és a KF kilencpontos kör is biztosan "magasságvonal-talppont kör", mely elnevezésben egy olyan kifejezéshez vezető összefüggés áll, melyet a következőkben nem csak felületesen fogunk igazolni.

2.ábra

*2 Ebben a magasságvonalak talppontjai által meghatározott háromszög tulajdonságaira láthatunk egy sajátos analógiát, mely szerint a magasságvonalak felezik a magasságvonalak által meghatározott háromszög szögeit.

3. A BEíRT KÖRHÖZ RENDELT HATSZÖG

Most van nagy jelentősége, hogy a fent bevezetett I1, I2 pontokat az eltolástól függetlenül is meghatározhatjuk. Mivel EI1=IF és EI1 párhuzamos IF-el, ugyanis az IEI1F négyszög rombusz (3. ábra), ezért II1 merőleges EF-re és EF felezi II1 szakaszt. Ennélfogva az I1 pont az I pont EF szakaszra tükrözött tükörképe, és természetesen rajta van az AI szögfelezőn is, és ez ugyancsak merőleges az EF szakaszra. Az I1, I2, és I3 pontokat ilyen módon határozhatjuk meg. Ezután jönnek a K1, K2 és K3 magasságvonal-talppont körök, melyek azon oldalhoz tartozó magasság talppontján mennek keresztül, amellyel "szemben" vannak.

3.ábra

Az I1FI2DI3E hatszög egyenlő szárú és középpontosan szimmetrikus. A következőkben különösen a szögeire lesz szükségünk, melyeket máris megadunk. Látható, hogy AIE∠ = 90° - α/2, tehát

(1) FEI = FEI1 = EFI = EFI1 = DI3I2 = α/2.

Ennek megfelőlen folytatva:

(2) FDI = FDI2 = DFI = DFI2 = EI3I1 = β/2,

(3) DEI = DEI3 = EDI = EDI3 = FI1I2 = γ/2.

4. A METSZÉSPONTTÉTEL

Rajzoljunk egy hegyesszögű háromszögbe*3 K1, K2, K3, K és KF köröket megfelelő pontossággal, s így meglepően azt fogjuk tapasztalni, hogy az összes kör egy S pontban metszi egymást. Ezt a kerületi és középponti szögek tételének segítségével könnyen bizonyíthatjuk. Mindenekelőtt meghatározzuk az S pontot mint pl. a K1 és a K3 kör metszéspontját. (4. ábra). A kerületi szögek tételét a K1 és a K3 alkalmazva azt kapjuk hogy

(4) DSI2 = DI3I2 = α/2,

(5) FSI2 = FI1I2 = γ/2,

Az (1) és a (3) összegzése után következik:

(6) DSF = α/2 + γ/2 = FED

A DF húr körüli K beírt kör és a DSF szög kapcsolatából valamint abból, hogy az E és az S pontok a húr ugyanazon oldalán vannak, az következik hogy az S pont is a beírt kör egy pontja.

4.ábra

Annak bizonyítása hogy az S pont a KF kör eleme is, teljesen hasonló. Ehhez arra az ismert tényre támaszkodunk, hogy a magasságvonalak talppontjai által meghatározott H1H2H3 háromszögben a szögekre a következő összefüggés teljesül:

H1H2B = 90°- β = H3H2B *4

Ebből következik hogy (4. ábra):

(7) H1SI2 = H1DI2 = BCH3 = 90°- β = H1H2B

(8) H3SI2 = H3FI2 = BAH1 = 90°- β = H3H2B

Ehhez felhasználjuk még azt a tényt hogy DI2 párhuzamos CH3-mal ill. FI2 párhuzamos AH1-gyel. Ebből az összegzés után megkapjuk hogy

(9) H1SH3 = H1H2H3

A kerületi szögek tételéből adódóan ez azt jelenti, hogy H1H3 húr a KF kilencpontos kör húrja, s így az S pont is a H2 ponttal együtt a KF körön van.

Már csak azt kell bebizonyítani, hogy S rajta van K2-n, bár erre a tényre a következőkben nincs szükségünk. Az előzőekből egyébként érthető, hogy minden következtetés érvényben marad, ha a pontokat és a köröket szabályosan kicseréljük. Következésképpen mind az öt kör az S pontban metszi egymást.

*3 Az állítás egyenlő szárú háromszögre is igaz, de akkor túl triviális.

*4 H1 és H2 pontok az AB szakasz Thalész-körén vannak, tehát a kerületi szögek tétele alapján H1H2B = H1AB = 90°- b. Hasonlóan bizonyíthatjuk a második állítást is.

5. AZ ÉRINTŐ TULAJDONSÁG LEVEZETÉSE

A bizonyítást két meghatározott szög egyenlősége alapján vezetjük le és arra az egyszerű tényre támaszkodunk, hogy az 5. ábrán látható két kör két metszéspontjából húzott két-két sugár páronként két egyenlő nagyságú szöget képez. Mi most először csak a K beírt kört és a K3 magasságvonal-talppont kört szemléljük (6a.ábra). Ezek definíciója szerint IF, MCM3 és CH3 párhuzamos egymással, következésképpen:

(10) M3FI = M3MCI = H3CI = BCI - H3CB = γ/2 - (90°- β) = 90° - α/2 - β/2 - (90°- β) = (β -α)/2.

5.ábra

Az 5. ábrán látható két kör szimmetriájának alapján megkapjuk az első szöget:

(11) d = M3SI = <(β -α)/2.

Hasonlóan járunk el a második szög bizonyításakor is. Ennél most a K kört kicseréljük a KF kilencpontos körre (6b.ábra). Ez átmegy a C' és a H3 pontokon, M középpontja a CH3 szaksz felezőmerőlegesén fekszik, és mivel C'H'3 párhuzamos CH3 szakasszal, ezért először is az következik, hogy

(12) MH3C = MC'H'3 = A'C'H'3 ACM

6.b ábra

Ha a C'B'A' szög = β, akkor a középponti szögek tétele alapján C'MA' = 2β. Az ACM egyenlő szárú háromszög alapszöge A'C'M = 90°- β. Azzal együtt, hogy A'C'H'3 = 90° - α, ebből az következik, hogy

(13) MH3C = 90°-α - (90°- β) = β - α

6.a ábra

Végül a 6a. ábrából láthatóan felírhatjuk azt az összefüggést, hogy IFM3 = M3H3C = d, ahol M3 az FH3 szakasz felezőmerőlegesén fekszik, s így megkapjuk az eredményt a második szögre a (11) összefüggésel:

(14) e = M3SM = M3H3M = MH3C ' M3H3C = (β - α) - (β - α)/2 = (β - α)/2 = d.

Az M3SI szög és az M3SM szög megegyeznek és az M3S szakasz ugyanazon oldalán fekszenek, így az S, I és M pontok egy egyenesbe esnek. Ez azt jelenti, hogy a K beírt kör és a KF kilencpontos kör az S pontban érintik egymást.

6. BEFEJEZŐ MEGJEGYZÉSEK

A konfiguráció pontosabb vizsgálatakor további összefüggésekre akadhatunk. Ezekben még azok a pontok is szerepelnek, melyekben a kilencpontos kör a magasságpontokat metszi, mégpedig a H magasságpont által meghatározott magasságvonal-darabok - AH, BH, CH - felezőpontjaiban. Hasonló módszerekkel, mint eddig, megmutathatjuk hogy ezek a metszéspontok rajta vannak az SI1, SI2, SI3 egyeneseken. Ezek az egyenesek a DEF háromszög megfelelő oldalait további három pontban metszik, melyek ugyancsak rajta vannak egy egészen más egyenesen, mely még nem játszik kiemelkedő szerepet a háromszög-geometriában. Ez név szerint az ABC háromszög beírt és körülírt körének középpontjait összekötő UI szakasz egyenese. Az SI1, SI2 és SI3 szakaszokról valóban kiderült hogy az UI szakasznak a DEF háromszög oldalaira tükrözött tükörképei, tehát ezen tulajdonság segítségével az S pont közvetlenül megszerkeszthető.

Még sok további összefüggést is felfedezhetünk, ha az ábrákat a megfelelő módon általánosítjuk, de ez jelen írás keretibe már nem fér bele. Mindenesetre a K1, K2, K3 magasságvonal-talppont körök a probléma kulcsának bizonyulnak.

Fordította: Szöllősi Annamária és Fésűs Szilvia

Ábrák: Andorka György

Kiemelt támogatónk 2006-ban:
Tigra Computer
Támogatóink 2003-ban:
Oktatási Minisztérium
Powered by:
Apache + Php + Mysql
Kapcsolat
hraskoa@fazekas.hu
Copyright © 2004-2010 Fazekas Mihály Fővárosi Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium. Served by pingvin.