Informatikai és Hírközlési Minisztérium Oktatási Minisztérium Apache Php Mysql Fazekas Mihály Gyakorlóiskola
  Bejelentkezás
Üdvözöljük a Matematika portálon!  
Városok Viadala 1980-97

Városok Viadala  1980-97.

1997 őszétől a feladatok ezen a linken érhetők el.

JUNIOR  1980.

1. (1.)         Egy kör kerületén piros és kék pontok vannak.  Kijelölhetünk egy új piros pontot, miközben két szomszédja színt vált.  Ki is vehetünk egy meglévő piros pontot, szomszédai ekkor is átszíneződnek.  Igazoljuk, hogy ha kezdetben két piros pont volt, akkor nem juthatunk a fenti lépésekkel olyan helyzetbe, hogy két kék legyen.

(K. Kazarnovskij)

2.(2.)         Egy n×n-es számtáblázatban minden sor különböző (legalább egy helyen eltérnek).  Mutassuk meg, hogy eltávolítható egy oszlop úgy, hogy a megmaradt táblázatban se legyen két azonos sor.

(A. Andjans)

3.(3.)         Keressük meg a  2,3,4, … ,102  számok mindazon  a1,a2, … ,a101 sorrendjeit,  melyekre minden k esetén ak osztható k-val.
4.(4.)         Az ABCD konvex négyszög minden oldalát N egyenlő részre osztottuk.  A szemközti oldalak megfelelő osztópontjait összekötjük, így N2 darab kis négyszöget kaptunk.  Kiválasztunk közülük N darabot úgy, hogy közülük semelyik kettő se legyen azonos sávban.  (Sáv:  Tekintsünk egy szemköztes oldalpáron két-két megfelelő, szomszédos osztópontot.  Az összekötő szakaszok között elhelyezkedő n darab kis négyszög alkot egy sávot.)  Igazoljuk, hogy a kiválasztott négyszögek területének összege az ABCD négyszög területének N-ed része.

(A. Andjans)

5.(5.)         Egy egységnégyzet belsejében van véges sok szakasz, melyek összhossza 18.  A szakaszok végpontjai lehetnek a négyzet határán és ezek is a szakaszokhoz tartoznak.  Mindegyik párhuzamos a négyzet valamely oldalával és metszhetik is egymást.  A négyzetet a szakaszok tartományokra bontják.  Mutassuk meg, hogy van a négyzetben olyan tartomány,  melynek területe legalább 0.01.

(A. Berzinsh)

SENIOR  1980.

Az 1-2. és 4-5. feladatok azonosak a juniorokéval.

3.(6.)         Adott a három dimenziós térben 30 darab nem nulla vektor.  Mutassuk meg, hogy van köztük kettő, melyek szöge kisebb 45°-nál.

JUNIOR 1981.

1.(7.)         Keressük meg a következő egyenlet egész megoldásait, ahol k 1-nél nagyobb egész: .

( 3 pont)

2.(8.)         Legyen M egy véges síkbeli pontrendszer.  Nevezzük a sík egy O pontját M majdnem-középpontjának, ha elvehető M-ből egy pont úgy, hogy a maradék O-ra középpontosan szimmetrikus.  Hány majdnem-középpontja lehet egy véges pontrendszernek a síkon?  Mutassunk erre példát is.                                                                          

(V. Prasolov,  7 pont)

3.(9.)         Az ABCD húrnégyszög átlói merőlegesek, köréírt körének középpontja O.  Igazoljuk, hogy az AOC töröttvonal a négyszög területét felezi.                                

(V. Varvakin,  5 pont)

4.(10.)         64 asszonyság mindegyikének van egy pletykája.  Telefonálgatnak egymásnak és kicserélik az összes általuk ismert pletykát.  Minden hívás pontosan 1 órás.  Mennyi idő kell ahhoz, hogy mindenki minden pletykát megtudjon?                                  

(A. Andjans,  8 pont)

5.(11.)         A végtelen síkon két játékos a következőt játssza.  Van 51 bábu: 50 bárány és egy farkas.  Az X játékos a farkassal lép, az Y a bárányok közül valamelyikkel.  Minden lépés iránya tetszőlegesen választható, de hossza legfeljebb egy méter lehet.  A játékosok felváltva lépnek.   Igaz-e, hogy a farkas mindig elkaphat legalább egy bárányt, ha X kezd?                 

(16 pont)

SENIOR 1981.

1.(12.)         Két testet felületszomszédosnak nevezünk, ha nincs közös belső pontjuk és van egy-egy lapjuk, melyek közös része egy sokszög.  Lehetséges-e, hogy 8 tetraéder közül bármely kettő felületszomszédos?                                                                                 

(A. Andjans, 7 pont)

2.(13.)         A végtelen síkon két játékos a következőt játssza.  Van k+1 bábu: k darab bárány és egy farkas.  Az X játékos a farkassal lép, az Y a bárányok közül valamelyikkel.  Minden lépés iránya tetszőlegesen választható, de hossza legfeljebb egy méter lehet.  A játékosok felváltva lépnek.   Igaz-e, hogy k minden értékéhez létezik olyan kezdő elrendezés, melyből indulva  a farkas sohasem kaphat el  bárányt, ha X kezd?                                                            

(10 pont)

3.(14.)         Igazoljuk, hogy minden pozitív valós szám felírható 9 olyan szám összegeként, melyeknek (tízes számrendszerbeli alakjában) csak kétfajta jegye lehet,  0 és 7.   

(E. Turkevich,  5 pont)

4.(15.)         K asszonyság mindegyikének van egy pletykája.  Telefonálgatnak egymásnak és kicserélik az összes általuk ismert pletykát.  Minden hívás pontosan 1 órás.  Mennyi idő kell ahhoz, hogy mindenki minden pletykát megtudjon? 
a)  K=64.    b)  K=55.   c)  K=100.

(A. Andjans,  5+7+12 pont)

5.(16.)         Egy végtelen négyzethálós lapon hat mezőt az ábra szerint kijelöltünk.

Néhány mezőre figurákat tettünk.  Ezek helyzete megváltoztatható:  ha egy figura mezőjének felső és jobb oldali szomszédja üres,   akkor a figurát levehetjük, miközben az említett két mezőre egy-egy új figurát helyezünk.  Szeretnénk a kijelölt mezőkről eltávolítani a figurákat.  Lehetséges-e ez, ha:
a)         kezdetben hat figura van, minden kijelölt mezőn egy?
b)         kezdetben egy figura van a bal alsó sarokmezőn?

(M. Kontsevics, 8+8 pont)

JUNIOR 1982.

1.(17.)         Határozzuk meg mindazon természetes számokat, melyek 30-cal oszthatók és pontosan 30 osztójuk van.                                                                                 

(M. Levin, 5 pont)

2.(18.)         Egy négyszög minden oldala és átlója rövidebb 1 méternél.  Igazoljuk, hogy letakarható egy 0.9 méter sugarú körrel.

(5 pont)

3.(19.)         Legyen {ak}  1-nél nagyobb különböző pozitív egészek végtelen sorozata.  Mutassuk meg, hogy van 100 olyan elem, melyre ak>k.      

(A. Andjans, 6 pont)

4.(20.)         Egy országban 101-nél több város van.  A fővárost 100 másik várossal köti össze közvetlen légijárat.  Minden más város pontosan 10 másikkal áll közvetlen légikapcsolatban.  (Ez a viszony két város között kölcsönös.)  Tudjuk, hogy bármely városból bármely másikba eljuthatunk, esetleg átszállásokkal.  Mutassuk meg, hogy a főváros járatainak fele megszüntethető úgy, hogy továbbra is bármely városból bármely másikba eljuthassunk, esetleg átszállásokkal.

(IS. Rubanov,  8 pont)

5.(21.)         Az

sorozat elemeiből kiválasztható-e olyan számtani sorozat
a)         mely 5 elemű;               b)  5-nél több elemű (ha igen,  akkor hány elemű)?

(G. Galperin, 3+2 pont)

SENIOR 1982.

1.(22.)         a)  Legyenek x1, x2 , … , xk pozitív számok (k legalább 3).  Igazoljuk, hogy
.
b)  Mutassuk, meg, hogy az egyenlőtlenség minden k esetén éles, azaz 2 a jobb oldalra írható legnagyobb szám, melyre az egyenlőtlenség a változók minden értéke mellett teljesül.

(A. Prokopiev,  4+3 pont)

2.(23.)         Egy négyzetet k2 darab egyforma kis négyzetre osztunk.  Egy töröttvonal áthalad minden kis négyzet középpontján, közben önmagát  esetleg metszheti.  Legalább hány szakaszdarabból áll a töröttvonal?                                                                     

(A. Andjans,  14 pont)

3.(24.)         Legyen {ak}  1-nél nagyobb különböző pozitív egészek végtelen sorozata.  Mutassuk meg, hogy van végtelen sok olyan elem, melyre ak>k.                                

(A. Andjans, 3 pont)

4.(25.)         A P(x) polinom főegyütthatója 1.  Természetes számoknál a helyettesítési értékei felveszik az összes 2m alakú számot (m is természetes).  Igazoljuk, hogy a polinom elsőfokú.

(8 pont)

Az 5. feladat megegyezik a juniorokéval. Értéke itt 2+1 pont.

JUNIOR 1982-83. ősz

1.(26.)         Egy pakliban lévő 32 kártyát színek szerint egyesével sorba raktunk:  makk, zöld, piros, tök, makk, zöld, piros, tök, stb.  Valaki leemeli a pakli egy részét, megfordítja és a megmaradt rész két lapja közé teszi.  Most a tetejéről  leemelünk 4 lapot, majd újra 4-et, újra 4-et, s így tovább.  Bizonyítsuk be, hogy minden ilyen 4-esben négy különböző szín lesz.

(A. Merkov, 12 pont)

2.(27.)         Sorbaállítunk néhány tárgyat, melyek pirosak vagy kékek.  Mindkét szín előfordul.  Tudjuk, hogy bármely két tárgy, melyek között pontosan 10, vagy 15 másik tárgy van, azonos színű.  Legfeljebb hány elemből állhat a sor?                                                            

(7 pont)

3.(28.)         Legyenek m, n, k 1-nél nagyobb pozitív egészek.  Bizonyítsuk be, hogy végtelen sok megoldása van a következő egyenletnek:  m!n!=k! .

(7 pont)

4.(29.)a) Egy kört 10 pont 10 egyenlő ívre oszt.  Páronként összeköti őket 5 húr.  Található-e köztük mindig két egyenlő hosszú húr?
b) Egy kört 20 pont 20 egyenlő ívre oszt.  Páronként összeköti őket 10 húr.  Bizonyítsuk be, hogy van köztük két egyenlő hosszú húr.

(VV. Proizvolov,  7+12 pont)

JUNIOR 1982-83. tavasz, első forduló

1.(30.)         Valaki 3.5 órát gyalogolt.  Bármely egy órás időtartam alatt 5 kilométert tett meg.  Igaz-e, hogy átlagsebessége 5 km/h?                                                 

(NN. Konstantinov, 8 pont)

2.(31.)a)  Egy szabályos 4k szöget paralelogrammákra darabolunk.  Igazoljuk, hogy legalább k darab téglalap lesz köztük.
            b)  Határozzuk meg az a,-részben említett téglalapok összterületét, ha a 4k szög oldalhossza x.

(VV. Proizvolov,  11+2 pont)

3.(32.)         Svambrániában N város van, bármely kettő közt vezet út.  Az utak nem metszik egymást. Ahol találkozásuk lenne, ott az egyik út felüljárón vezet át az alatta levő másik oldalára.  Egy gonosz varázsló egyirányúsítja az utakat úgy, hogy ha valaki elindul egy városból, soha ne térhessen oda vissza.  Bizonyítsuk be a következőket:
a)         Az adott egyirányúsítást a varázsló megteheti.
b)         Lesz olyan város, amelyből bármelyik városba eljuthatunk és olyan is, amelyet nem hagyhatunk el.
c)         Egy és csak egy olyan út van, mely érinti az összes várost.

(LM. Koganov,  3+1+5 pont)

4.(33.)         Az M és K számok jegyei ugyanazok, csak más sorrendben.  Bizonyítsuk be, hogy:
a)         2M és 2K jegyeinek összege ugyanannyi.
b)         M/2 és K/2 jegyeinek összege ugyanannyi, ha M és K is páros.
c)         5M és 5K jegyeinek összege ugyanannyi.

(AD. Lisitszkij,  4+4+2 pont)

5.(34.)         Egy billiárdasztal derékszögű háromszög alakú, minden csúcsnál egy-egy lyukkal.  A háromszög egyik szöge 30°.  Egy golyót a 30°-os csúcsnál lévő lyuktól ellökünk a szemközti oldal felezőpontja felé.  Igazoljuk, hogy 8 ütközést követően a golyó a 60°-os csúcsnál lévő lyukba gurul.

(6 pont)

JUNIOR 1982-83. tavasz,  második forduló

Az 1-3. feladatok megegyeznek az első forduló feladataival.
4.(35.)         A végtelen négyzethálós papíron ketten játszanak.  Az első játékos beszínez egy még be nem színezett rácspontot pirosra, a második egyet kékre, s így tovább felváltva.  Az első játékos célja, hogy legyen 4 piros pont, melyek négyzetet alkotnak, ahol a négyzet oldalai rácsegyenesek.  A második játékos célja ennek megakadályozása.  Győzhet-e az első játékos?

(DG. Azov,  18 pont)

5.(36.)         Mutassuk meg, hogy 17 különböző természetes szám közül kiválasztható  öt úgy, hogy vagy egyikük osztja a másik négy mindegyikét, vagy  egyik sem osztja semelyik másikat.    

 (18 pont)

SENIOR  1982-83. ősz

1.(37.)         Bizonyítsuk be, hogy minden 1-nél nagyobb egészre .                

(VV Kisil,  15 pont)

2.(38.)         Létezik-e olyan (nem feltétlenül konvex)  poliéder, melyben az élek teljes listája a következő:  AB, AC, BC, BD, CD, DE, EF, EG, FG, FH, GH, AH.

 (8 pont)

3.(39.)         Egy papírcsíkra egymás után 60 jelet írtak, mindegyik O, vagy X.  Ezután a csíkot feldaraboljuk úgy, hogy mindegyiken a jelsorozat szimmetrikus legyen.  Például: O,  XX, OXXO,  XOX, stb. 
a)         Mutassuk meg, hogy így felvághatjuk 25-nél kevesebb darabra.
b)         Adjuk meg a jelek olyan sorozatát, mely esetén legalább 15 darabra kell vágni.
c)         Próbáljuk meg a (b)-beli korlátot javítani.

(12+12+?  pont)

4.(40.)         a)  Legyen egy  szabályos n-szög belső pontja M, ennek az oldalegyenesekre eső merőleges vetületei K1, K2, … , Kn.  Bizonyítsuk be, hogy

ahol O az n-szög középpontja.
b)         Legyen M egy szabályos tetraéder belső pontja, indítsunk M-ből vektorokat az oldallapokra eső merőleges vetületekhez.  Mutassuk meg, hogy ezen vektorok összege

ahol O a tetraéder középpontja.

(VV Prasolov,14+14 pont)

5.(41.)         Egy város metróhálózatának terve egy önmagát metsző zárt görbe, többszörös kereszteződések nélkül.  Mutassuk meg, hogy az alagút megépíthető úgy, hogy a szerelvény felváltva haladjon át a kereszteződéseken alul,  ill. felül.                                                  

(12 pont)

SENIOR  1982-83. tavasz,  első forduló

1.(42.)         Egy kör mentén elhelyeztük 1-től 1000-ig a számokat.  Mutassuk meg,  hogy páronként összeköthetők a számok 500 egymást nem metsző húrral úgy, hogy minden húr végpontjainál levő számok különbsége 750-nél kisebb abszolútértékű legyen.

(AA. Razborov,  14 pont)

2.(43.)         Az ABC háromszög AB, BC, CA oldalain találhatók rendre a P, M, K pontok.  AM, BK és CP egy ponton mennek át, továbbá a

összeg nullvektor.  Bizonyítsuk be, hogy ekkor P, M, K  az oldalak felezőpontjai.              

(8 pont)

3.(44.)         Svambrániában N város van, bármely kettő közt vezet út.  Az utak nem metszik egymást. Ahol találkozásuk lenne, ott az egyik út felüljárón vezet át az alatta levő másik oldalára.  Egy gonosz varázsló egyirányúsítja az utakat úgy, hogy ha valaki elindul egy városból, soha ne térhessen oda vissza.  Bizonyítsuk be a következőket:
a)         Az adott egyirányúsítást a varázsló megteheti.
b)         Lesz olyan város, melyből bárhova eljuthatunk és olyan is, melyet nem hagyhatunk el.
c)         A varázsló N! módon valósíthatja meg tervét.                       

(LM. Koganov,  2+1+4 pont)

4.(45.)         Néhány fiú körben ül.  Mindenkinél van páros sok cukorka.  Egy jelre mindenki a nála levő cukorkák felét átadja a jobb oldali szomszédjának.  Ha ezután valakinek páratlan sok  lenne, kap egyet a kör közepén levő kupacból. Az eljárást tovább ismételgetjük.  Mutassuk meg, hogy előbb-utóbb minden fiúnál ugyanannyi cukor lesz.                        

(A. Andjans,  7 pont)

5.(46.)         Egy szabályos k-szög belsejében választunk egy olyan pontot, melynek merőleges vetületei az oldalak belső pontjai.  A vetületek az oldalakat 2k kis szakaszra vágják.  Számozzuk meg sorban 1-től 2k-ig a szakaszokat.  Igazoljuk, hogy a páratlan sorszámú szakaszok összhossza egyenlő a páros sorszámúakéval.                             

(A. Andjans,  6 pont)

SENIOR  1982-83. tavasz,  második forduló

Az 1-3.  feladatok megegyeznek az első forduló 1-3. feladataival.
4.(47.)         a)         A végtelen négyzethálós papíron ketten játszanak.  Az első játékos beszínez egy még be nem színezett rácspontot pirosra, a második egyet kékre, s így tovább felváltva.  Az első játékos célja, hogy legyen 4 piros pont, melyek négyzetet alkotnak, a négyzet oldalai rácsegyenesek.  A második játékos célja ennek megakadályozása.  Győzhet-e az első játékos? 
b)         Mi lesz kérdésünkre a válasz, ha a második játékos minden alkalommal két rácspontot is beszínezhet?

(DG. Azov,  12+30 pont)

5.(48.)         Egy szabályos n-szög k csúcsát kiszínezzük.  A színezést majdnem egyenletes-nek nevezzük, ha teljesül a következő:
Legyen M a sokszög m darab, szomszédos csúcsának a halmaza, ugyanilyen halmaz legyen N is.  Az M-ben és N-ben levő beszínezett csúcsok száma tetszőleges m-re legfeljebb eggyel térhet el.
Mutassuk meg, hogy minden n, k számpárra (n ≥ k) létezik majdnem egyenletes színezés és ez elforgatás erejéig egyértelmű.

(M. Kontsevics,  30 pont)

JUNIOR  1983-84.  ősz

1.(49.)         Az ABCD négyzet belsejében található az M pont. Bizonyítsa be, hogy az ABM, BCM, CDM és DAM háromszögek súlypontjai egy négyzetet határoznak meg. 

 (V. Prasolov, 4 pont)

2.(50.)         Keressük meg az összes olyan k természetes számot, ami előállítható két 1-től különböző relatív prím összegeként.

(8 pont)

3.(51.)         Szerkesszünk négyszöget, ha adottak az oldalai és az átlók felezőpontjait összekötő szakasz.                                                                                           

(IZ. Titovich,  12 pont)

4.(52.)         a1, a2, a3, …  egy természetes számokból álló monoton növekvő sorozat.  Minden k-ra teljesül, hogy

Keressük meg a100-at.

(A. Andjans,  12 pont)

5.(53.)         Egy N×N-es sakktáblán N2 darab lovat helyeztünk el.  Lehetséges-e olyan átrendezés, hogy bármely két figura, ami ütésben áll, az átrendezés után szomszédos mezőkön legyenek (azaz a mezőknek legalább egy határos pontja legyen)?  Vizsgáljunk meg két esetet: a)  N = 3;  b) N = 8.                                                                                   

(S. Stefanov,  2+12 pont)

JUNIOR  1983-84.  tavasz, első forduló

1.(54.)         175 mütyűr drágább, mint 125 bigyó, de olcsóbb, mint 126 bigyó. Igazoljuk, hogy nem vásárolhatunk 3 mütyűrt és 1 bigyót   80 forintért.

(S. Fomin, 3 pont)

2.(55.)         Az ABCDE konvex ötszögben AE = AD,  AB = AC, és a CAD szög egyenlő az AEB és az ABE szögek összegével. Bizonyítsuk be, hogy a CD szakasz az ABE háromszög AM súlyvonalának kétszerese.

(3 pont)

3.(56.)         Tekintsük egy N×N-es négyzetrács szélén levő 4(N-1) négyzetet.  Beírható-e  4(N-1) szomszédos egész  úgy az egyes mezőkbe, hogy minden az átlókkal párhuzamos oldalú téglalap sarokmezőiben levő számok összege ugyanannyi legyen?  Maga a két átló is elfajult téglalapnak számít, itt a kérdéses összeg a két mezőben álló számok összege.  Vizsgáljuk meg a következő eseteket:  a)   N=3;   b)  N=4;   c)  N=5.

(VG. Boltyanszkij, 2+3+4 pont)

4.(57.)         Az N természetes szám számjegyeinek szorzatát jelölje P(N). Számjegyeinek összegét jelölje S(N). Hány megoldása van az alábbi egyenletnek:
P(P(N)) + P(S(N)) + S(P(N)) + S(S(N)) = 1984.

(4 pont)

5.(58.)         Adott egy végtelen négyzethálós lap, egy egységnyi oldalú négyzetekkel. Két négyzet közötti távolságot úgy határozzuk meg, mint a legrövidebb út hossza az egyik ilyen négyzetből a másikba, ha úgy haladunk közöttük, mint a sakkban a bástya. Határozza meg a legkevesebb színt, amelyikkel kiszínezhető a lap (minden négyzet egyszínű) oly módon, hogy minden négyzetpár, amelyek között a távolság hat egységgel egyenlő, más színű.
Adjon egy példát a színezésre és bizonyítsa be, hogy kevesebb színnel a kívánt cél nem érhető el!

(AG. Pechovskij,  IV. Itenberg,  8 pont)

JUNIOR  1983-84.  tavasz, második forduló

1.         Megegyezik az első forduló 5. feladatával.

2.(59.)         Egy tánccsoportban 15 fiú és 15 lány egymással párhuzamosan sort alkot, vagyis 15 pár alakul. Egyik párban sem több a fiú és a lány közötti magasságbeli különbség 10 centiméternél. Bizonyítsuk be, hogy ha a fiúk és a lányok mindkét sorban nagyság szerint csökkenő sorrendben állnának, akkor a magasságbeli különbség minden újonnan alakult párban legfeljebb 10 centiméter lenne.

(AG. Pechovskij, 8 pont)

3.         Megegyezik az első forduló 3. feladatával. 

4.(60.)         Mutassa meg, hogyan lehet szétvágni egy egyenlő szárú derékszögű háromszöget hozzá hasonló háromszögekre oly módon, hogy bármely két ilyen háromszög különböző méretű.                                                                                                        

(AV. Savkin,  12 pont)

5.(61.)         Két pár szomszédos természetes szám (8, 9) és (288, 289) a következő tulajdonságokkal rendelkezik: mindegyik párban, mindegyik számban, mindegyik prímtényező legalább a második hatványon szerepel.  Bizonyítsuk be, hogy végtelen sok ilyen pár van.                                                                                                    

(A. Andjans,  12 pont)

SENIOR 1983-84. ősz

1.(62.)         Adott az ABCD négyzet CB és CD oldalán M és K pont,  melyekre a CMK háromszög kerületének hossza a négyzetoldal kétszeresével egyezik meg.  Mekkora az MAK szög?                                                                                                                       

(7 pont)

2.(63.)         Tekintsük az összes 9-jegyű számot,  melyeknek számjegyei valamilyen sorrendben a számok 1-től 9-ig.  Két ilyen szám egymás „párja”, ha összegük 987654321.
a) Bizonyítsuk be, hogy legalább 2 ilyen számpár van!  ((a,b) és (b,a) egy párnak számít)
b) Bizonyítsuk be, hogy a párok száma páratlan szám!

(G. Galperin,  14 pont)

3.(64.)         Az ABC háromszög körülírt körének középpontja,  O, a háromszögön belül helyezkedik el.   O-ból merőlegeseket bocsátunk az oldalakra, ezek meghosszabbítva a köréírt kört K, M, P pontokban metszik. Bizonyítsuk be,  hogy

ahol I a háromszög beírt körének középpontja.

 ( V. Galperin,  10 pont)

4.(65.)         a1, a2, a3 ... egy monoton növekvő, természetes számokból álló sorozat. Tudjuk, hogy minden k-ra

Határozzuk meg a1983-at!

 (A. Andjans,  8 pont)

5.(66.)         Adva van egy minden irányban végtelen sakktábla,  ezen bizonyos mezők halmazát jelölje A.   Egy-egy királyt helyezünk el minden olyan mezőre, mely nem tartozik A-hoz.  A királyokat a következőképpen mozgathatjuk: minden mozgatás során vagy helyben maradnak, vagy egy olyan szomszédos mezőre lépnek, amit esetleg a lépés végrehajtása előtt egy másik király foglalt el.  Minden mezőn csak egy király állhat.  Létezik-e olyan k szám, melyre k mozgatás után minden mezőn állni fog egy király, ha
a) A olyan mezők összessége, melyek koordinátái 100-zal oszthatók. ( A mezőket egy függőleges és egy vízszintes számegyenes által meghatározott, egész számokból álló számpár egyértelműen meghatározza.)
b) A olyan mezők összessége, amelyeket 100 tetszőlegesen megadott királynő üt illetve lefed.
Megjegyzés: Ha  A-t 1 mező alkotja, akkor  k=1, és az eljárás a következő: a mezővel egy sorban lévők közül a baloldaliak egyet jobbra lépnek.

(9+5 pont)

SENIOR  1983-84.  tavasz, első forduló

1.(67.)         175 mütyűr drágább, mint 125 bigyó, de olcsóbb, mint 126 bigyó. Igazoljuk, hogy nem vásárolhatunk 3 mütyűrt és 1 bigyót  (a) 80 forintért;  (b)  100 forintért.

                                                                                                                     (S. Fomin, 2+3 pont)

2.(68.)         Egy tetszőleges tetraéder alapjának csúcsaiból húzzuk meg a 2-2 magasságvonalat az oldallapok háromszögeiben.  Az egy oldallapon levő két talppont meghatároz egy egyenest. Bizonyítsuk be, hogy van olyan sík, mely mindhárom ilyen egyenessel párhuzamos.

(I. F. Sharygin, 9 pont )

3.(69.)         Egy négyzetrácsos, 29×29-es méretű papírból a rács mentén 99 db 2×2-es négyzetet vágtunk le.  Bizonyítsuk be, hogy még legalább 1 db 2×2-es négyzet levágható a lap maradék részéből.

 (S. Fomin,  4 pont)

4.(70.)         Adott egy növekvő f függvény, melyre  f : [0,1] → [0,1]. Bizonyítsuk be, hogy  minden pozitív egész n-re a függvény grafikonja lefedhető n db 1/n2 területű téglalappal, melyeknek oldalai a koordinátatengelyekkel párhuzamosak. f(x) folytonos függvény az intervallumon belül, és a téglalapokhoz kerületük is hozzátartozik.

( A. Andjans,  8 pont)

5.(71.)a)     Egy 20×20-as négyzethálós lap minden négyzetén áll egy figura. Bálint mond egy d számot, és Márton átállítja a figurákat úgy, hogy minden figura legalább d távolsággal mozduljon el eredeti helyéről, és minden mezőre pontosan 1 figura kerüljön. ( A távolság a négyzetek középpontjai közt mérendő.)  Milyen d-re valósítható ez meg?
b)         Mi a válasz, ha a lap mérete 21×21-es?                        
(Adjuk meg a maximális d-t,  mutassunk egy megfelelő mozgatást, és igazoljuk, hogy nincs ennél nagyobb d, amelyre a mozgatás kivitelezhető.)

( S.S. Krotov, Moszkva, 4+4 pont)

SENIOR  1983-84.  tavasz, második forduló

1. Megegyezik az első forduló 5. feladatával.

2.         Megegyezik az első forduló 2. feladatával. 

3.(72.)         Egy mindkét irányban végtelen hosszú folyosó egyik oldalán végtelen sok szoba helyezkedik el. A szobák egymást követő egész számokkal vannak megszámozva, és minden szobában van egy zongora. A szobákban véges sok zongorista él.  (Egy szobában akár több is.) Minden nap két szomszédos szobában lakó zongorista ( pl. a k-adik és a k+1-edik ) megelégeli a másik gyakorlását, és a k-1-edik illetve a k+2-edik szobába költöznek át. Igazoljuk, hogy véges számú nap elteltével abbahagyják a költözködést. 

( V. G. Ilichev, 12 pont )

4.(73.)         Megegyezik az első forduló 4. feladatával.  (Nem kell feltenni a folytonosságot.) 
5.(74.)         Legyen p(n) egy n természetes szám partícióinak száma természetes számok összegére. A partíciók diverzitásán azt értjük, hogy hány különböző számot tartalmaznak a partíciók. Legyen q(nn összes partíciója diverzitásának összege. ( Pl. p(4) = 5, hiszen a 4-nek 5 db. partíciója van:  4,  3+1,   2+2,   2+1+1,   1+1+1+1;  és q(4) = 1 + 2 + 1 + 2 + 1 = 7. ) Bizonyítsuk be, hogy minden természetes n-re:
a) q(n) = 1+p(1)+p(2)+p(3)+...+p(n-1),                                                                   
b)

( A. V. Zelevinsky, Moszkva, 9+3 pont)

JUNIOR   1984-85.  ősz, első forduló

1.(75.)         Az ABC háromszögben a B-nél lévő szög szögfelezője az AC oldalt D pontban metszi, a C-nél lévő szög szögfelezője az AB oldalt E pontban metszi. A két szögfelező O pontban metszi egymást és az OD és OE szakaszok hossza megegyezik. Bizonyítsuk be, hogy vagy a BAC szög 60°-os, vagy az ABC háromszög egyenlőszárú.

(6 pont)

2.(76.)         Egy falut négyzet alakúra terveztek és 9 háztömbből áll, melyeknek oldalai d hosszúságúak.  A háztömböket 3×3-as alakzatban építették és mindegyiküket egy beton járda veszi körül. Elindulunk a falu egyik sarkából. Melyik az a legkisebb távolság, amit meg kell tennünk, hogy visszatérjünk a kiindulási pontba, ha azt akarjuk, hogy minden járdán legalább egyszer végighaladjunk?                                                                     

(Moszkvai folklór, 6 pont)

3.(77.)         Keressük meg a 

egyenlet összes megoldását, ha n és x egész szám. Bizonyítsuk be, hogy több megoldás nincs.

(4 pont)

4.(78.) Egy téglalapba egy négyszöget írtunk be, melynek csúcsai a téglalap különböző oldalain találhatók. Bizonyítsuk be, hogy a beírt négyszög kerülete nem kisebb mint a téglalap átlójának a kétszerese.

(V.V. Proizvolov,  8 pont)

5.(79.) Bizonyítsuk be, hogy 18 egymást követő háromjegyű szám között van legalább egy, amely osztható jegyeinek az összegével.

(6 pont)

JUNIOR   1984-85.  ősz, második forduló

Az 1-2. feladatok megegyeznek az első fordulóbeliekkel.

3.(80.)         M egy síkbeli véges ponthalmaz, semely három pontja sincs egy egyenesen. Néhány pontpár közti szakaszt behúztunk, de egyik pontból sem indul egynél több. Ha létezik AB és CD egymást metsző szakasz, akkor ezt a két szakaszt elhagyjuk s helyettük behúzzuk az AC és BD szakaszokat.  Ha van további metszéspont, ismét lecseréljük a szakaszokat. Lehetséges-e ezt a cserélgetést végtelenségig folytatni?                                                      

 (V. E. Kolosov, 6 pont)

4.(81.)         Hat zenész muzsikált egy zenei fesztiválon. Minden koncerten néhányan zenéltek, amíg a többiek közönségként hallgatták őket. Legalább hány koncert volt, ha mindenki meg tudta hallgatni a többieket?                                                                     

(Kanadai feladat, 12 pont)

5.(82.) Camelot szigetén 13 szürke, 15 barna és 17 karmazsin színű kaméleon van. Ha két különböző színű kaméleon találkozik, akkor mindkettőnek a színe a harmadik színre változik (pl. ha egy szürke és egy barna színű kaméleon találkozik, akkor mindkettőnek a szine karmazsin színre változik). Lehetséges-e, hogy egy idő után minden kaméleon egyforma színű lesz?                                                                                                           

(V.G. Ilichev, 12 pont)

JUNIOR 1984-85.  tavasz, első forduló

1.(83.) Az ABC háromszögnek egy súlyvonala, egy szögfelezője és egy magassága egy belső O pontban metszi egymást. A szögfelezőnek az a szakasza, amelyik összeköti az O pontot a csúccsal, ugyanolyan hosszú, mint a magasságnak az a szakasza, amelyik összeköti az O pontot a háromszög megfelelő csúcsával. Bizonyítsuk be, hogy a háromszög szabályos.        

(3 pont)

2.(84.)         Rendelkezésünkre áll 68 érme, amelyek közül semelyik kettő sem egyforma tömegű. Mutassuk meg, hogyan lehet 100 méréssel megtalálni a legkisebb és a legnagyobb tömegű érmét  egy kétkarú mérleg segítségével.

(S. Fomin, Leningrad, 5 pont)

3.(85.)         Keressük meg  az 



egyenletrendszer összes valós megoldását.

(A. Aho, J. Hopcroft, J. Ullman ötlete alapján, 5 pont)

4.(86.)         Három szöcske egy egyenes vonalon helyezkedik el. Minden másodpercben az egyikük ugrik egyet. Minden ugrásnál az egyik szöcske átugrik egy másik szöcskét (de nem mind a kettőt). Bizonyítsuk be, hogy 1985 másodperc után a szöcskék nem kerülhetnek vissza a kiinduló helyzetbe.

(Leningrádi Matematikai Olimpia, 5 pont)

5.(87.)         Egy adott sorozatnak minden elemét (a második elemtől kezdve) úgy kapjuk meg, hogy összeadjuk az előtte lévő elemet a számjegyeinek összegével. A sorozatnak az első eleme 1. Szerepel-e a sorozatban a 123 456?

(S. Fomin, 5 pont)

JUNIOR  1984-85.  tavasz, második forduló

1.(88.)         Egy háromszög oldalai a, b és c, γ a c oldallal szemközti szög. Bizonyítsuk be, hogy

(V. Prasolov, 5 pont) 

2.(89.)         Az A szám egészrésze I(A) a legnagyobb egész szám, amelyik nem nagyobb mint A.  Az A szám törtrésze, F(A), megadható az A - I(A) fejezéssel.
a)         Adjunk  példát olyan A számra, amelyre teljesül a következő:
F(A) + F(1/A) = 1.
b)         Lehet-e  az a)-ban kapott A racionális szám?

(I. Varge, 3+5 pont)

3.(90.)         Egy osztályba 32 diák jár.  Alkottak 33 klubot, mindegyikben 3 fővel.  Nincs két klub, melyek tagsága azonos lenne.  Igazoljuk, hogy van két klub, melyeknek pontosan egy közös tagja van.                                                                                                                                  

(8 pont)

4.(91.)         Egy négyzetet 5 téglalapra osztottunk szét úgy, hogy a 4 csúcsa 4 olyan téglalaphoz tartozik, melyeknek a területe egyenlő. Az ötödik téglalapnak nincs közös pontja a négyzet oldalaival (lásd az ábrát).

Bizonyítsuk be, hogy az ötödik téglalap négyzet.

(5 pont)

5.(92.)         Egy 10×10-es táblázatba beírtuk a 0, 1, 2, 3,. . ., 9 számokat úgy, hogy mindegyik szám 10-szer szerepel.
a)         El lehet rendezni ezeket a számokat úgy, hogy minden oszlopban, vagy minden sorban   legfeljebb 4 különböző szám legyen?
b)         Bizonyítsuk be, hogy létezik olyan sor vagy oszlop, amelyik több mint 3 különböző számot tartalmaz.

(L. D. Kurlyandchik,  6+6 pont)

SENIOR  1984-85.  ősz,  első forduló

1.(93.)         Az ABCDEF konvex hatszögben a következő szakaszpárok párhuzamosak: AB és CF;  CD és BE;  EF és AD... Igazoljuk, hogy az ACE és BDF háromszögek területei egyenlők.

(5 pont)

2.(94.)         Azonos a juniorok 2. feladatával.  Itt 5 ponot ér.
3.(95.)         Az ABC háromszög B és C csúcsánál 40°-os szög van.  Legyen D a B-ből induló szögfelező és AC közös pontja.  Igazoljuk, hogy BD+DA=BC.

(5 pont)

4.(96.)         Bizonyítsuk be, hogy 18 egymást követő háromjegyű szám között van legalább egy, amely osztható jegyeinek az összegével.

(5 pont)

5.(97.)         Camelot szigetén 13 szürke, 15 barna és 17 karmazsin színű kaméleon van. Ha két különböző színű kaméleon találkozik, akkor mindkettőnek a színe a harmadik színre változik (pl. ha egy szürke és egy barna színű kaméleon találkozik, akkor mindkettőnek a szine karmazsin színre változik). Lehetséges-e, hogy egy idő után minden kaméleon egyforma színű lesz?

(V.G. Ilichev, 12 pont)

SENIOR  1984-85.  ősz,  második forduló

1.         Azonos az első forduló 1. feladatával.

2.(98.)         Az  a1, a2, … , a100 számok 1-100-ig az egészek valamilyen sorrendben.  Definiáljuk a bi számokat: 
.
Mutassuk meg, hogy az így kapott száz szám 100-as maradékai között lesz 11 különböző.

(L. D.  Kurliandcsik,  10 pont)

3.(99.)         Egy szabályos tízszög  minden átlóját meghúztuk.  Minden csúcshoz és az átlók minden metszéspontjához odaírunk egy “+1”  számot.  Egy lépésben egy tetszőleges oldal, vagy átló mentén megváltoztathatom az összes szám előjelét.  Elérhetjük-e, hogy minden szám “-1”  legyen?                                                                                                                  

(10 pont)

4.(100.)         Hat zenész muzsikált egy zenei fesztiválon. Minden koncerten néhányan zenéltek,  a többiek pedig közönségként hallgatták őket. Legalább hány koncert volt, ha mindenki meg tudta hallgatni a többieket?                                                        

(Kanadai feladat, 10 pont)

5.(101.)         Egy 7×7-es táblára 16 darab 1×3-as lapot és egy 1×1-est tettek átfedés nélkül.  Mutassuk meg, hogy az 1×1-es lap vagy a középső, vagy a tábla szélén van.

(10 pont)

SENIOR  1984-85.  tavasz,  első forduló

1.(102.)         Az ABCD négyszögben AB=BC=d,  a B-nél levő szög 100°, a D-nél levő pedig 130°. Mekkora  a BD átló?                                                                                                        

(4 pont)

2.(103.)         Az 1,2,…,1985 számokból legfeljebb hányat választhatunk ki úgy, hogy semely két kiválasztott különbsége se legyen prím?                                                                       

(6 pont)

3.(104.)         Legyenek a, b, c valós számok.  Tudjuk, hogy a+b+c>0,  bc+ca+ab>0  és abc>0.  Igazoljuk, hogy mindhárom szám pozitív.

(6 pont)

4.(105.)         Egy egyenes mentén van három szöcske.  Minden másodpercben egyikük átugorja valamelyik másikat,  de egyszerre nem ugornak át soha kettőt.  Igazoljuk, hogy 1985 ugrás után  nem lehetnek a kiindulási helyzetben.

(Leningrád városi versenyéről,  4 pont)

5.(106.)         Egy négyzetet 5 téglalapra osztottunk szét úgy, hogy a 4 csúcsa 4 olyan téglalaphoz tartozik, melyeknek a területe egyenlő. Az ötödik téglalapnak nincs közös pontja a négyzet oldalaival (lásd az ábrát).

Bizonyítsuk be, hogy az ötödik téglalap négyzet.

(4 pont)

SENIOR 1984-85. tavasz, második forduló

1.(107.)         Igazoljuk, hogy egy egységkocka tetszőleges síkra eső merőleges vetületének területe ugyanakkora számértékű, mint a kocka vetületének hossza a síkra merőleges egyenesre.

  (6 pont)

2.(108.)         Az O középpontú kör sugara másodpercenként 360/n fokot fordul el, ahol n pozitív egész.  A kiindulóhelyzetben legyen a sugár OM0.  Egy másodperc múlva legyen OM1,  újabb két másodperc múlva (azaz indulástól kezdve 3 másodperc múlva)  OM2,  újabb három másodperc múlva (azaz indulástól kezdve 6 másodperc múlva)  OM3, …stb.  Mely n számok esetén osztják a kört n egyenlő részre az M0, M1, …, Mn-1 pontok? 
a)   A 2 hatványai mind ilyen számok-e?
b)   Van-e olyan n, amelyik nem 2 hatványa?

(V.V. Proizvolov,  4+4 pont)

3.(109.)         Egy osztályba 32 diák jár.  Alkottak 33 klubot, mindegyikben 3 fővel.  Nincs két klub, melyek tagsága azonos lenne.  Igazoljuk, hogy van két klub, melyeknek pontosan egy közös tagja van.

(6 pont)

4.(110.)         Az R sugarú félkör nem takarható le az F konvex alakzattal.  Lehetséges-e, hogy F-nek két egybevágó példányával letakarható egy R sugarú kör?   Mi a helyzet, ha F konkáv?

 (N.B. Vasziljev,  A.G. Samosvat,  8 pont)

5.(111.)         Egy négyzetet téglalapokra vágtunk.  Néhány téglalap “láncot”  alkot,  ha a négyzet valamelyik oldalát az arra eső merőleges vetületeik lefedik és ez a lefedés egyrétegű.  Azaz nincs olyan egyenes, mely a négyzet másik oldalával párhuzamos és a “lánc” két téglalapját is átszelné. 
a) Mutassuk meg, hogy bármely két téglalaphoz hozzávehető néhány, melyekkel együtt láncot alkotnak.
b) Oldjuk meg a problémát térben,  kockát téglatestekre vágva.  (A lánc vetülete most valamelyik élet fedi egyrétegűen.)     

(A.I. Goldberg,  V.A. Gurevics,  12+12 pont)

JUNIOR 1985-86. ősz

1.(112.)         Egy bajnokságon nyolc futballcsapat vesz részt. Minden egyes csapat pontosan egyszer játszik minden csapattal, nincsenek döntetlenek. Bizonyítsa be, hogy a bajnokság végén lehet találni négy csapatot (legyenek A, B, C és D) úgy, hogy A legyőzte  B-t, C-t és D-t, B csapat C-t és D-t, C pedig D-vel játszott meccsén diadalmaskodott!

 (3 pont)

2.(113.)         A macska-egér játék során a macska az egeret üldözi az A, a B, illetve a C labirintusban.
 A B   C






A macska a K pontból indul, az egyik K-val szomszédos pontba lép egy ábrabeli vonalon haladva. Ezután az M pontban kezdő egér mozog ugyanezen szabály szerint, majd ismét a macska következik és így tovább. Ha a macska és az egér bármikor egy helyen tartózkodik, a macska felfalja az egeret. Létezik-e a macska számára nyerő stratégia, amelynek segítségével biztosan elkapja az egeret A, B, illetve C esetben?     

    (A. Szoszinszkij,  A:1 pont, B:3 pont, C:1 pont)

3.(114.)         Egy osztály minden egyes tanulója a következő feladatot kapja:

„Vegyünk két koncentrikus, 1 és 10 egységnyi sugarú kört! A kisebbik körhöz húzzunk három érintőt, melyeknek A, B és C metszéspontjai a nagyobbik kör belsejében vannak. Mérjük meg ABC háromszög S területét és az S1, S2, S3 körcikkszerű, A, B, C csúcsú területeket is, majd számítsuk ki S1+S2+S3S értékét.”
Igazolja, hogy minden tanuló ugyanazt az eredményt kapja!

(A.K.Tolpygo,  4 pont)

4.(115.)           Két játékos egymással sakkozik órákat használva (ha az egyik játékos lépett, megállítja a   saját óráját és elindítja ellenfeléét).  Amikor a játékosok befejezték negyvenedik lépésüket,  mindkét óra 2 óra 30 percet mutatott.  Bizonyítsa, hogy a játék során volt olyan pillanat, amikor az egyik óra 1 perccel és 51 másodperccel mutatott kevesebbet a másiknál!
Kijelenthető-e továbbá, hogy a két óraállás közötti különbség valamikor pontosan két perc volt?

(S. Fomin, Szentpétervár, 4 pont)

5.(116.)         Két ember fej vagy írást játszik egy-egy pénzérmével. Az egyik tízszer, a másik tizenegyszer dobja föl a sajátját. Mekkora annak a valószínűsége, hogy a második érem esetén többször lesz az eredmény fej, mint az elsőnél? (Azok számára, akik nem járatosak a valószínűségszámítás rejtelmeiben, a kérdést az alábbi formában is feltehetnénk: „Vegyük az összes olyan 21 jegyű számot, amelyeknek minden számjegye 1 vagy 2. Az esetek hányadrészében fordul elő a 2-es számjegy az utolsó 11 jegy között többször, mint az első 10 között?”)                                                                             

(S. Fomin, Szentpétervár, 4 pont)

6.(117.)           Az X1, X2, ... sorozatban  X1=0,5 és Xk+1=(Xk)2+Xk minden természetes k szám esetén. Adja meg az
1/(X1+1)+1/(X2+1)+...+1/(X100+1) összeg értékének egészrészét!

(A. Andjans, Riga, 10 pont)

7.(118.)         A „szupersakk” fantázianevű játékot 30x30-as táblán játsszák 20 különböző figurával. Minden figura saját szabályai szerint mozog, de egyik mezőről sem léphet húsznál több másikra. Egy figura leüt egy másikat, ha arra a mezőre lép, ahol az éppen tartózkodik. A megengedett lépések (pl m lépés előre, n lépés jobbra) nem függnek a figurák indulási helyétől.  Bizonyítsa, hogy
a) Egy figura nem tud leütni egy adott mezőn álló másikat több, mint 20 kiindulási mezőről.
b) Létezik a húsz figurának olyan elrendezése a táblán, ahol egyikük sem tud leütni egy másik figurát sem egyetlen lépésben.

   (A. K. Tolpygo, Kiev, 3+5 pont)

JUNIOR 1985-86. tavasz

1.(119.)         Az ABC háromszög A és B csúcsán keresztül egy-egy egyenest húzunk, amelyek a háromszöget négy részre (három háromszögre és egy négyszögre) osztják. A négy alakzat területe közül három egyenlő nagyságú. Bizonyítsa, hogy e három terület közül a négyszög az egyik!

(G. Galperin, A. Savin, Moszkva, 3 pont)

2.(120.)         Az N természetes szám tízes számrendszerbeli alakjában minden egyes számjegy osztja N-t  (a 0 számjegy nem fordul elő). Legfeljebb hányféle különböző számjegyből állhat N?

(S. Fomin, Szentpétervár, 6 pont)

3.(121.)         Egy város utcái háromféle irányúak és a várost egyenlő területű szabályos háromszögekre osztják. A kereszteződésekben a forgalom csak egyenesen, 120o-kal jobbra vagy balra haladhat tovább az ábrán látható módon.

Kizárólag a kereszteződésekben szabad kanyarodni. Két autó áll egy kereszteződésben.  Az egyik elindul valamelyik szomszédos kereszteződés felé, és amikor eléri, a második kocsi is kezd haladni felé. Ettől a pillanattól fogva azonos sebességgel mozognak, ám nem feltétlenül kanyarodnak ugyanarra. Előfordulhat-e, hogy valamikor találkoznak?

    (N. N. Konsztantinov, Moszkva, 4 pont)

4.(122.)         Az ABCD négyzet AB és CD oldalán rendre adottak a K és L pontok, a KL szakaszonpedig adott az M pont. Igazolja, hogy az AKM és MLC háromszögek köréírt köreinek M-től különböző metszéspontja az AC átlóra esik.

(V. N. Dubrovszkij, 5 pont)

5.(123.)         Egy bajnokság első napján a részt vevő húsz futballcsapat mindegyike egy-egy meccset játszik, majd másnap egy-egy újabb összecsapás következik. Bizonyítsa, hogy a második nap után kiválasztható tíz csapat úgy, hogy nincs közöttük kettő, amelyek már játszottak egymással.

(S. A. Genkin, 6 pont)

6.(124.)         „A sziszifuszi munka”: Egy dombra felvezető lépcső 1001 fokból áll, közülük néhányon  egy-egy kavics található. Sziszifusz felemel egy kavicsot az egyik fokról, majd a fölötte levő legközelebbi üres fokra helyezi. Ezután ellenfele, Aid egy fokkal lejjebb gurít egy kavicsot, amelynek a lépcsőfoka alatt közvetlenül üres fok következik. A lépcsőn található összesen 500 kavics a legalsó 500 lépcsőfokon helyezkedik el. Sziszifusz és Aid felváltva rakosgatják a kavicsokat, Sziszifusz lép elsőként. Célja, hogy a legfelső fokra tegye az egyik kavicsot.  Megakadályozhatja ezt Aid?              

(S. Jeliszejev, 8 pont)

7.(125.)   Egy osztályban harmincan elhatározzák, hogy meglátogatják egymást. Minden egyes diák egy este során több látogatást tehet, ám otthon kell maradnia, ha aznap vendéget vár.       Igazolja, hogyha mindenki meg akar látogatni mindenkit,
a)  négy este nem elég,
b)  öt este nem elég,
c)  tíz este elégséges,
d)  hét este is elég.

(3+3+3+3 pont)

SENIOR 1985-86.  ősz

1.(126.)         Adott egy konvex négyszög és belsejében egy M pont.  A négyszög kerülete legyen l,  átlóinak hossza e és f.  Mutassuk meg, hogy M-nek a csúcsoktól való távolságainak összege nem nagyobb, mint l+e+f.

(V. Prasolov,  3 pont)

2-3-4.  Megegyezik a juniorok 4-5-6. feladatával.  Itt csak 3-7-7 pont.

5.(127.)         a)  Az A1A2A3......An  konvex poligon belső pontja O. Tekintsük az összes AiOAj  szöget, ahol i és j két különböző egész 1 és n között.  Bizonyítsuk be, hogy ezek közül legalább n-1 nem hegyesszög.
b)         Ugyanez a probléma n csúcsú konvex poliéderre.  

(V. Boltyanszkij,  8+4 pont)

6.(128.) Az ABC háromszög A-ból induló magasságának talppontja H,  B-ből induló szögfelezőjének talppontja E.  Tudjuk, hogy a BEA szög .  Igazoljuk, hogy .

(I. Sharygin,  10 pont)

7.(129.)         A „szupersakk” fantázianevű játékot 100x100-as táblán játsszák 20 különböző figurával. Minden figura saját szabályai szerint mozog, de egyik mezőről sem léphet húsznál több másikra. Egy figura leüt egy másikat, ha arra a mezőre lép, ahol az éppen tartózkodik. A megengedett lépések (pl m lépés előre, n lépés jobbra) függhetnek a figurák aktuális  helyzetétől.  Bizonyítsa, hogy létezik a húsz figurának olyan elrendezése a táblán, ahol egyikük sem tud leütni egy másik figurát sem egyetlen lépésben.                                                                   

 (A. K. Tolpygo, Kiev, 5 pont)

SENIOR  1985-86.  tavasz

1.(130.)         Mely k természetes szám esetén veszi fel  a maximumát?

(4 pont)

2.         A juniorok 5. feladata.  Itt 4 pont.

3.(131.)         Egy tetszőleges tetraéder éleit valamilyen irányítással tekintsük hat vektorként.  Lehet-e összegük  zérus?

(4 pont)

4.(132.)         Az F függvény minden valós számon értelmezett, és minden x-re F(x+1)F(x)+F(x+1)+1=0.  Igazoljuk, hogy F nem folytonos.            

(A.I. Plotkin,  4 pont)

5.(133.)         Az ABCD paralelogramma BAD szögének felezője BC-t és CD-t rendre K-ban és L-ben metszi.  Tudjuk, hogy ABCD nem rombusz.  Mutassuk meg, hogy a CKL  háromszög köréírt körének középpontja rajta van a BCD háromszög köréírt körén.

(10 pont)

6.(134.)         Tudjuk, hogy .  Igazoljuk, hogy
.               

(L. Kurliandcsik,  8 pont)

7.         A juniorok 7. feladata.  Itt 3+2+2+3 pont.

JUNIOR  1986-87. ősz

1.(135.)         Adott két kétjegyű szám, x és y. Tudjuk, hogy x kétszer akkora, mint y. y egyik jegye az összege, másik jegye pedig a különbsége x számjegyeinek. Keressük meg x és y lehetséges értékeit, és bizonyítsuk be, hogy más megoldás nincs.                                                      

(3 pont)

2.(136.)         Az ABCD négyzet és az O kör 8 pontban metszik egymást, és így négy köríves háromszög keletkezik, AEF, BGH, CIJ és DKL háromszögek. (EF, GH, IJ és KL körívek.) Bizonyítsuk be, hogy
a)         EF és IJ ívek hosszainak összege egyenlő GH és KL ívek hosszainak összegével.
b)         Az AEF és CIJ íves háromszögek kerületeinek összege egyenlő a BGH és DKL íves háromszögek kerületeinek összegével.

(V. V. Proizvolov,  2 pont)

3.(137.)         Egy játékot ketten játszanak. Van egy téglalap alakú csokoládé, ami 60 kockából áll, 6×10-es elrendezésben. A tábla csokoládét csak a rácsvonalak mentén szabad eltörni. Az első játékos valahol eltöri a táblát, és megeszi az egyik részt. Ezután a másik játékos eltöri a megmaradt darabot, és ő is megeszi az egyik részt. Az első játékos is megismétli ezt, és így tovább. Az a játékos nyer, aki egyetlen kockát hagy meg. Ha mind a ketten jól játszanak, melyikük fog nyerni?

(S. Fomin,  4 pont)

4.(138.)         Tekintsük az 1, 2, ... , N halmaz részhalmazait! Minden részhalmazban kiszámítjuk az elemek reciprokainak szorzatát. Mennyi az így kapott szorzatok összege?

(4 pont)

5.(139.)         Keressük meg egy adott körbe írt háromszögek magasságpontjainak (a magasságvonalak metszéspontjainak) mértani helyét!

(A. Andjans,  7 pont)

6.(140.)         Egy  futballbajnokságban (minden csapat mindegyik másikkal egyszer játszik, a győzelem 2, a döntetlen 1, a vereség 0 pontot ér) 28 csapat vesz részt. A bajnokság alatt a mérkőzések több, mint 75%-a végződött döntetlennel. Bizonyítsuk be, hogy a végén volt két csapat, amelyik azonos pontszámot ért el!      

  (M. Vera, gimn. tanuló, Magyarország, 7 pont)

7.(141.)         Egy sakktábla minden mezőjét kékre vagy pirosra színeztük. Bizonyítsuk be, hogy a királynő tehet egy körutat az összes egyszínű mező érintésével! A királynő az ilyen színű mezőket többször is meglátogathatja. Más színű mezőre nem léphet rá, viszont áthaladhat felettük. A királynő vízszintes, függőleges vagy átlós irányban  tetszőleges távolságot léphet.       

(A. K. Tolpugo,  9 pont)

JUNIOR 1986-87. tavasz, első forduló

1.(142.)         Bizonyítsuk be, hogy a minden értékére .

(2 pont)

2.(143.)         Egy hegyesszögű háromszögben a magasságok talppontjai egy új háromszöget alkotnak. Tudjuk, hogy ennek a háromszögnek két oldala párhuzamos az eredeti háromszög két oldalával. Bizonyítsuk be, hogy a harmadik oldal is párhuzamos az eredeti háromszög valamelyik oldalával!

(2 pont)

3.(144.)         Van két darab háromliteres üvegünk. Az egyik 1 liter vizet, a másik 1 liter 2 %-os sóoldatot tartalmaz. Az egyik edényből át lehet önteni kívánt mennyiségű folyadékot a másik edénybe és összekeverni őket, hogy különböző összetételű sóoldatokat nyerjünk.  Ezt többször is megtehetjük. Elő lehet-e így állítani 1,5 %-os sóoldatot abban az üvegben, ami eredetileg vizet tartalmazott?

   (S. Fomin, 3 pont)

4.(145.)         Derékszögű háromszög alakú csempéink vannak, melyeknek befogói 1 illetve 2 cm hosszúak. Kirakhatunk-e egy négyzetet 20 darab ilyen csempéből?

 (S. Fomin,  3 pont)

JUNIOR 1986-87. tavasz,  második forduló

1.(146.)         Egy gép minden bedobott ötcentesért kidob öt darab egycentest, és minden egycentesért öt darab ötcentest. Lehetséges-e, hogy Péternek a gép segítségével egy idő után ugyanannyi egycentes és ötcentes érméje legyen, ha az elején egy egycentese volt?   

(F. Nazarov, Leningrádi olimpia, 1987, 3 pont)

2.(147.)         Egy nyolcszögből valamely átlójával nyolcféleképpen vághatunk le négyszöget. Lehetséges-e, hogy e nyolc négyszög közül
a)   négynek;
b)   ötnek
van beírt köre?

(P. M. Sedrakjan, Jereván, 2+2  pont)

3.(148.)         Egy 8×8-as sakktábla bal alsó sarkában levő 3×3-as négyzetben elhelyeztünk kilenc gyalogot. Bármelyik gyalog átugorhat egy másikat úgy, hogy a mellette lévő üres mezőre áll; vagyis bármelyiket középpontosan tükrözhetjük a szomszédjára. (Az ugrások vízszintesek, függőlegesek és átlósak is lehetnek.)   Ilyen lépésekkel kell áthelyezni a gyalogokat  a sakktábla egy másik sarkába (egy másik 3×3-as négyzetbe). Áthelyezhetjük-e őket
a)   a bal felső sarokba?
b)   a jobb felső sarokba?

(J. E. Briskin, 2+3 pont)

4.(149.)         Az ABC hegyesszögű háromszög A-nál lévő szöge 60°-os. Bizonyítsuk be, hogy a B-hez és C-hez tartozó magasságok által bezárt szög valamelyik szögfelezője átmegy a körülírt kör középpontján.                                          

(V. Pogrebnyak, 12 éves tanuló, Vinnitsa, 5 pont)

5.(150.)         Néhány kockát kiszíneztünk hat színnel, úgy, hogy minden kockának hat különböző színű oldala van. (A színek az egyes kockákon különféleképpen lehetnek elhelyezve.)  A kockákat úgy helyeztük el egy asztalon, hogy egy téglalapot alkossanak.  Megtehetjük, hogy kivesszük valamelyik oszlopot, elforgatjuk (az egészet együtt) a hosszanti tengelye körül, majd visszatesszük a téglalapba.  Ugyanezt megtehetjük egy sorral is.  Elérhetjük-e bármilyen kiindulási helyzetből ilyen lépésekkel, hogy az összes kocka tetején ugyanolyan szín legyen?

(D. Fomin, Leningrád, 5 pont)

SENIOR 1986-87. ősz

1.(151.)         Az ABCD trapéz átlóinak metszéspontja M.  AD és BC párhuzamosak, AB merőleges AD-re és a trapézba kör írható.  Legyen a beírt kör sugara R.  Mekkora a DCM háromszög területe?                                                 

(3 pont)

2.(152.)         Megadható-e egy olyan N szám, melyre létezik N-1 darab végtelen számtani sorozat, rendre  2, 3, 4, ... , N-1 differenciákkal, úgy, hogy minden természetes szám valamelyikben szerepeljen?     

(3 pont)

3.(153.)         Megadható-e 100 darab háromszög, melyek közül egyik sem takarható le a többi 99 segítségével?

(3 pont)

4.(154.)         Legyen N!!=N(N-2)(N-4).......5·3·1, ha N páratlan és N!!=N(N-2)(N-4).......6·4·2, ha N páros.  Például 8!!=8·6·4·2 és 9!!=9·7·5·3·1.  Igazoljuk, hogy 1986!!+1985!! osztható 1987-tel.                                                                   

(V.V. Proizvolov,  5 pont)

5.         A juniorok 6. feladata.  Itt 5 pont.

6.(155.)         Egy sakktábla mezőire ráírtuk 1-től 32-ig a számokat,  mindegyik kétszer szerepel.  Mutassuk meg, hogy kiválasztható 32 mező úgy,  hogy minden sorból és oszlopból választunk legalább egy mezőt, és a kiválasztott mezőkön különböző számok állnak.

(A. Andjans,  8 pont)

7.(156.)         Egy kör kerületén adott 21 pont.  Tekintsük az összes, két pont által meghatározott ívet. Bizonyítsuk be, hogy legalább 100 olyan ív van, amelynek középponti szöge kisebb -nál.   

(A.F.Szidorenko,   8 pont)

SENIOR 1986-87.   tavasz, első forduló

1.(157.)         Felírhatjuk-e 1986-ot 6 darab páratlan négyzetszám összegeként?      

(2 pont)

2.(158.)         A háromdimenziós térben adott az ABCD paralelogramma és az S sík.  Az A, B, C pontoknak a távolsága S-től a, b, c.  Határozzuk meg D távolságát S-től.       

(2 pont)

3.         A juniorok 3. feladat.  Itt 2 pont.

4.(159.)         Kiválasztjuk a sakktábla egyik mezőjét.  Vesszük a középpontjának a fekete mezők középpontjától mért távolságait s tekintjük ezek négyzetösszegét.  Legyen ez s.  A világos mezők középpontjaira ugyanez v.  Igazoljuk, hogy s=v.

(A. Andjans,  3 pont)

SENIOR 1986-87.   tavasz, második  forduló

1.(160.)         Legyen p(x) egész együtthatós polinom.   Tudjuk, hogy p(x)-p(y)=1, ahol x és y egészek.  Mutassuk meg, hogy x és y különbsége 1.

(3 pont)

2.(161.)         Egy egységsugarú kört lefedtünk hét darab azonos nagyságú körrel.  Bizonyítsuk be, hogy átmérőjük nem kisebb az egységnél.  

(3 pont)

3.(162.)         Egy városban egy lakástulajdonos egy napon belül csak egy másik lakástulajdonossal cserélhet lakást.  (Nem lehet több között "körbecserélés".)  Bizonyítsuk be, hogy két nap alatt tetszőleges adott állapotból tetszőleges másikba juthatunk a megengedett cserékkel.

(N.N. Konstantinov,  5 pont)

4.(163.)         Igazoljuk, hogy minden természetes n-re: .

(V. Proizvolov,  5 pont)

5.(164.)         Az ABC szabályos háromszög M belső pontjának az oldalakra eső merőleges vetületei D, E, F.  Határozzuk meg azon M-ek mértani helyét, melyekre DEF derékszögű háromszög.

   (J. Tabov,  5 pont)

6.(165.)         Két játékos játszik a 8×8-as sakktáblán.  A kezdő elhelyez egy lovat valamelyik mezőre.  Ezután felváltva lépkednek, de nem léphetnek már korábban érintett mezőre.  Aki nem tud lépni, veszt.  Melyik játékosnak van nyerő stratégiája?

(V. Zudilin, Moldova, 12 éves diák, 6 pont)

JUNIOR 1987-88.  ősz

1.(166.)         Bizonyítsuk be, hogy minden 3-hatvány utolsó előtti számjegye páros.

(V.I. Plachko, 3 pont)

2.(167.)         Határozzuk meg azon M pontok mértani helyét az ABCD rombusz belsejében, amelyekre az AMB és a CMD szögek összege 180°.

(5 pont)

3.(168.)         Egy játékban két játékos felváltva választ egyre nagyobb természetes számokat. Ha valaki az n számot választja, a következő az n+1, n+2, ..., 2n-1 számok bármelyikét választhatja. Az első szám a 2. Az nyer, aki az 1987-et választja. Ki nyer, ha mindkét játékos a lehető legügyesebben játszik?                            

(5 pont)

4.(169.)         Van egy AC ívvel, és egy ABC töröttvonallal határolt síkidom úgy, hogy az ív és a törött vonal az AC húr ellentétes oldalán helyezkedik el. Szerkesszünk egy olyan egyenest, mely az AC ív középpontján megy át, és  felezi a síkidom területét.

(5 pont)

5.(170.)         Adottak A, B és C nem negatív számok, amikről tudjuk, hogy A4 + B4+ C4 ≤ 2 (A2B2 + B2C2 + C2A2).
a) Bizonyítsuk be, hogy A, B és C egyike sem nagyobb, mint a másik kettő összege.
b) Bizonyítsuk be, hogy, A2 + B2 + C2 ≤ 2 (AB + BC + CA).
c) Következik-e az eredeti egyenlőtlenség a b)-ben lévőből?

(V.A. Senderov, Moszkva, 3+2+2 pont)

6.(171.) Van 2000 almánk, néhány kosárban elrendezve. Kivehetők kosarak, és/vagy a kosarakból almák. Bizonyítsuk be, hogy ekkor lehetséges az, hogy ugyanannyi alma lesz minden megmaradt kosárban, és legalább 100 alma marad összesen.

(Razborov, 8 pont)

7.(172.)         Három háromszögnek (egy kék, egy zöld, és egy piros) van egy közös belső pontja, M. Bizonyítsuk be, hogy kiválasztható minden háromszögből egy csúcs úgy, hogy az M pont az általuk alkotott háromszög egy belső pontja.

(Bárány Imre, Magyarország, 8 pont)

JUNIOR  1987-88.  tavasz, első forduló

1.(173.)      Januárban Kolját és Vászját húszszor osztályozták az iskolában, és mindkettő 20 osztályzatot kapott (ezek mindegyike legalább kettes volt). Kolja annyi ötöst kapott, mint Vászja négyest, annyi négyest, mint Vászja hármast, annyi hármast, mint Vászja kettest, és annyi kettest, mint Vászja ötöst. Ha mindkettőjüknek ugyanaz az átlaga, határozzuk meg, hogy Kolja hány kettest kapott.

(S. Fomin, Leningrad)

2.(174.)         Az ABCD konvex négyszögben  BC felezőpontja M, DA felezőpontja N. Az AC átló felezi MN-t. Bizonyítsuk be, hogy az ABC és az ACD háromszögek területe egyenlő.

3.(175.)a)         Egy szabályos tízszög csúcsait felváltva feketére és fehérre  festették. Két játékos a következő játékot játssza. Egymás után húznak egy átlót, mely összeköt két azonos színű csúcsot. Ezek az átlók nem metszhetik egymást. Az győz, aki az utolsó átlót behúzza. Ki nyer, ha mindkét játékos a legjobb stratégiával játszik?
b)         Válaszoljuk meg a kérdést szabályos tizenkétszög esetén.

(V.G. Ivanov)

4.(176.)         Egy sakktábla négyzeteibe beírtuk a számokat 1-től 64-ig (1-től 8-ig balról jobbra az első sorba, 9-től 16-ig balról jobbra a második sorba, és így tovább). A számok elé plusz, vagy mínuszjeleket írtunk úgy, hogy minden sorban és oszlopban 4-4 plusz és mínuszjel van. Bizonyítsuk be, hogy a leírt számok összege nulla.

JUNIOR 1987-88. tavasz,  második forduló

1.(177.)         Tudjuk, hogy a, b és c pozitív egészek. Bizonyítsuk be, hogy ha a = b + c,  akkor             a4 + b4 + c4      egy egész szám négyzetének duplája.

( 5 pont)

2.(178.)         Adott az ABC háromszög. Tükrözzük AB-re és BC-re az AC oldal egyenesét. A kapott egyenesek K-ban metszik egymást.  Bizonyítsuk be, hogy BK áthalad az ABC háromszög körülírt körének a középpontján.

(V.Y. Protasov, 5 pont)

3.(179.)         Keressük meg a következő egyenletrendszer valós megoldásait.
(x3 + x4 + x5)5 = 3x1
(x4 + x5 + x1)5 = 3x2
(x5 + x1 + x2)5 = 3x3
(x1 + x2 + x3)5 = 3x4
(x2 + x3 + x4)5 = 3x5

(L. Tumescu, Románia, 5 pont)

4.(180.)         Van egy súlykészletünk, melyben a súlyok 1 mg, 2 mg, 4 mg-osak, és így tovább, minden érték kettő-hatvány.  Lehetnek azonos tömegű  súlyok is. Egy kétkarú mérleg mindkét oldalára tettünk néhány súlyt, melyek egyensúlyban vannak. Tudjuk, hogy a bal oldalon minden súly különböző volt. Bizonyítsuk be, hogy a jobb oldalon nem volt kevesebb darab súly, mint a baloldalon.

(5 pont)

5.(181.)         Lehet-e úgy befedni egy síkot körökkel,  hogy minden ponton pontosan 1988 kör menjen át?

(N. Vasziljev, 8 pont)

6.(182.)         Vegyünk egy végtelen négyzethálós síkot, annak is csak egy negyedét.  Lehetséges-e minden négyzetbe egy természetes számot írni úgy, hogy minden sorban és oszlopban ezek mindegyike pontosan egyszer szerepeljen?

(V.S. Shelev, 8 pont)

7.(183.)         Vegyünk egy olyan szósort, melyben a szavak két fajta betűből állnak, A-ból és B-ből. Az első szó „A”, míg a második „B”. A k-ik szót úgy kapjuk, hogy a k-2-ik után írjuk a k-1-iket. (Tehát az első pár elem: „A”, „B”, „AB”, „BAB”, „ABBAB".) Létezik-e ebben a sorban egy olyan „periodikus” elem, pl. egy PPP…P formájú, ahol P egy olyan szó, mely minimum egyszer ismétlődik? (Megjegyzés: a BABBBABB PP formájú, ahol P pontosan egyszer ismétlődik.)

(A. Andjans, Riga, 8 pont)

SENIOR  1987-88.  ősz

1.(184.)         Az egységnyi oldalú ABCD négyzet A csúcsából két egyenest húzunk; az egyik felezi a BC oldalt, a másik a CD oldalt. A két egyenes által bezárt szög η. A B és D csúcsokból merőlegeseket bocsátunk az egyenesekre. Számítsuk ki a négy merőleges talppontja által meghatározott négyszög területét.                                           

(3 pont)

2.(185.)         Egy négyzet alakú, vízzel telt medence közepén van egy fiú.  Tanára, aki nem tud úszni, a medence egyik sarkánál áll. A tanár háromszor olyan gyorsan képes futni, mint ahogy a gyerek úszik, de a fiú gyorsabban fut, mint a tanár. El tud-e menekülni a fiú a tanár elől?

(5 pont)

3.(186.)         Bizonyítsuk be, hogy végtelen sok olyan természetes a és b számpár van, amelyre teljesül, hogy a² + 1 osztható b-vel, és b² +1 osztható a-val.

(5 pont)

4. (187.)        Az ABC háromszögben levő M pontból merőlegeseket bocsátunk a háromszög magasságaira. Tudjuk, hogy a háromszög csúcsait a hozzájuk tartozó magasságokon keletkezzett talppontokkal páronként összekötő szakaszok egyenlőek. Bizonyítsuk be, hogy e szakaszok mindegyike egyenlő hosszú a háromszög beírt körének átmérőjével.                 

(5 pont)

5.(188.)         Tekintsük az összes pozitív egész (A, B) számpárt, ahol B>A. Néhány párt jelöljünk feketével, míg a többit fehérrel. Meg tudjuk-e jelölni a párokat úgy, hogy bármely pozitív egész A, A+D, A+2D számhármasra, ahol D>0, teljesüljön, hogy a lehetséges számpárok (A, A+D); (A, A+2D); (A+D, A+2D)  között legyen fekete és fehér is?

(5 pont)

6.(189.)         Egy szabályos háromszöget feldarabolunk oldalaival párhuzamos egyenesekkel egyenlő oldalú, egybevágó kis háromszögekre. A háromszögek közül egy fekete, míg az összes többi fehér. Tekintünk egy egyenest, mely az eredeti háromszög oldalaival párhuzamos és átmetsz néhány kis háromszöget.  Az összes átmetszett színét kicseréljük. Mindig el tudjuk-e érni ilyen lépésekkel, hogy az összes kis háromszög fehér legyen?

(8 pont)

7.(190.)         Tekintsünk egy várost végtelen síknak, amely egyenesekkel van felszabdalva négyzetekre. Az egyenesek utcák, a négyzetek pedig háztömbök. Egy bizonyos  utcán minden századik útkereszteződésnél van egy rendőr. Valahol a városban van egy bűnöző, akinek a helyzete és a sebessége ismeretlen, és csak az utcákon mozoghat. A rendőrök célja az, hogy lássák a bűnözőt.  Tudnánk-e olyan módszert javasolni a rendőröknek, hogy céljukat elérjék?

 (A. Andjans, Riga, 8 pont)

SENIOR  1987-88. tavasz, első forduló

1.(191.)         Ki tudunk-e választani két természetes számot, m-et és n-et úgy, hogy m számjegyeinek egyik permutációja egyenlő legyen n-nel, valamint hogy m+n=999…9 teljesüljön?

2.(192.)         Két egyenlőszárú trapézt rajzolunk egy körbe úgy, hogy akármelyik trapézra teljesül, hogy valamennyi oldala párhuzamos a másik trapéz valamely oldalával. Bizonyítsuk be, hogy a trapézok átlói egyenlő hosszúak.

3.(193.)         Vegyük az összes tízjegyű számot két részhalmaz uniójának: az M részhalmaz tartalmazza az olyan tízjegyűeket, amelyek előállnak két ötjegyű szám szorzataként, az N pedig tartalmazza az összes többi tízjegyű számot.  Az N vagy az M részhalmaznak van több eleme?  

(S. Fomin)

4.(194.)         Egy végtelen sakktáblán gyalogok vannak elhelyezve úgy, hogy egy végtelen négyzethálót alkotnak: minden sor vagy oszlop, ahol van gyalog, így néz ki: egy gyalog, három üres mező, egy gyalog, három üres mező, és így tovább, oly módon, hogy csak minden negyedik soron vagy oszlopon vannak gyalogok. Bizonyítsuk be, hogy egy huszárral nem tudjuk bejárni az összes üres mezőt úgy, hogy pontosan egyszer lépünk a mezőkre.

(A. K. Tolpugo)

SENIOR  1987-88. tavasz,  második forduló

1.(195.)         Egy egyenes hat pontban metszi egy trapéz átlóit, szárait, valamint a meghosszabbított alapokat.  A metszéspontok közti  öt szakasz egyenlő. Határozzuk meg  a trapéz  alapjainak (párhuzamos oldalainak) az arányát.

(E.G. Gotman, 5 pont)

2.(196.)         Vegyünk egy végtelen négyzethálós síkot, annak is csak egy negyedét.  Lehetséges-e minden négyzetbe egy természetes számot írni úgy, hogy minden sorban és oszlopban ezek mindegyike pontosan egyszer szerepeljen?

(V.S. Shelev, 8 pont)

3.(197.)         Ismert, hogy az 1 és a 2 egy egészegyütthatós polinom gyökei. Bizonyítsuk be, hogy a polinomnak van –1-nél kisebb  együtthatója.

(5 pont)

4.(198.)         Egy kártyapakliban a kártyákon 1-30-ig szerepelnek a számok, akár ismétlődve is. Mindegyik tanuló elvesz egy  kártyát. A tanár elvégezheti a következő műveletet: felolvas egy  számokból álló listát (akár egytagú lista is lehet), majd felszólítja a tanulókat, hogy tegyék fel a kezüket, ha a számuk szerepelt a listán. Hányszor kell elvégeznie ezt a műveletet, hogy meghatározza az összes tanuló kártyáján szereplő számot? (Határozzuk meg a műveletek számát és bizonyítsuk be, hogy ez a lehető legkevesebb. Vegyük figyelembe, hogy nem feltétlenül 30 tanuló van.)

(5 pont)

5.(199.)         Egy 20x20x20-as kocka 2000 darab 2x2x1-es téglatestből áll. Bizonyítsuk be, hogy lehetséges egy tűvel úgy átszúrni a kockát, hogy az egyetlen kis téglatestet sem döf át.

  (A. Andjans, Riga, 8 pont)

6.(200.)         Vegyük a szavak egy sorozatát, ahol a szavak A és B betűkből állhatnak. Az első szó a sorozatban az A. A k-adik szó a (k-1)-edikből következik oly módon, hogy mindegyik A-t kicseréljük AAB-re, és mindegyik B-t kicseréljük A-ra. Látható, hogy így minden szó a következő szónak a kezdő része lesz. Így a szavak a következő betűsorozattal kezdődnek:
>AABAABAAABAABAAB…
a) Hol lesz a sorozatban az 1000-dik A betű?
b) Bizonyítsuk be, hogy a sorozat nem periodikus.

(V. Galperin, Moszkva, 4+4 pont)

JUNIOR 1988-89. ősz, első forduló

1.(201.)         Ismert, hogy a szőke hajú emberek aránya nagyobb a kékszeműek, mint az összes ember között. Melyik a nagyobb, a kékszeműek aránya a szőkék, vagy a kékszeműek aránya az összes ember között?

(3 pont)

2.(202.)         Egy háromszögben két magasság  nem kisebb, mint a  hozzájuk tartozó oldalak. Határozzuk meg a háromszög szögeit.

(3 pont)

3.(203.)         Mutassa meg, hogy bármely hét ( nem feltétlenül egymást követő ) természetes szám közül ki lehet választani hármat úgy, hogy összegük osztható hárommal!

(3 pont)

4.(204.)         Egy kocka minden lapját felosztottuk négy egyenlő részre, és mindegyik negyedet befestjük három rendelkezésre álló színből eggyel. A szomszédos negyedek különböző színűek. Bizonyítsa be, hogy mindhárom színt 8 negyed festésére használtuk!

(3 pont)

JUNIOR 1988-89. ősz, második forduló

1.(205.)         Egy kocka minden csúcsára írunk 1-et vagy -1-et. A kocka minden oldalára felírjuk a hozzá tartozó négy csúcson levő szám szorzatát. Lehetséges-e, hogy a tizennégy felírt szám összege 0?

(G. Galperin,  3 pont)

2.(206.)         Egy M pontot kiválasztunk az ABCD négyzet belsejében úgy, hogy MAC szög= MCD szög = x. Adjuk meg az ABM szöget!

(3 pont)

3.(207.)         Legyen a1, a2, ..., an az 1, 2, ..., n számok tetszőleges elrendezése. Legyen
S=a1/1+a2/2+...+an/n. "n" milyen értékeket vehet fel ahhoz, hogy a1, a2, ..., an összes variációjára adódó S-ek között előforduljon n-től n+100-ig minden szám?       

(3 pont)

4.(208.)a) Adott két azonos, tizennégy fogú fogaskerék. Egyiket a másikra fektetik úgy, hogy a fogaik fedik egymást ( így a fogak vetülete a vízszintes síkon egyezik ).  Négy pár összeillő fogat levágnak. Lehetséges-e mindig úgy elforgatni a két fogaskereket, hogy a közös vetületük úgy néz ki, mint egy egész fogaskeréké?  (A fogaskerekeket közös tengelyük mentén lehet forgatni, de felfordítani nem tudjuk.)
b) Válaszoljon ugyanerre a kérdésre 13 fogú fogaskerékkel és 4 levágott fogpárral!

 (3+3 pont)

5.(209.)         Egy konvex n-szöget felosztottunk háromszögekre egymást nem metsző átlókkal. A következő művelet, a peresztrojka ( újjáépítés ) megengedett: ABD és BCD közös oldalú háromszögeket helyettesíthetjük ABC és ACD háromszögekkel. P(n) jelzi a legkevesebb szükséges peresztrojka számát, mellyel bármely felosztásból bármely másikba eljuthatunk. Bizonyítsa be, hogy:
a) P(n)≥n-3,
b) P(n)≤2n-7,
c) P(n)≤2n-10,
ha n≥13.

(W.Thurston, D.Sleator,  R.Tarjan,  2+2+3 pont)

6.(210.)         Létezik-e olyan természetes szám, amely nem osztója egyetlen egy olyan természetes számnak sem, mely a tízes számrendszerben legfeljebb 1988 egyesből és tetszőlegesen sok 0-ból áll?

(8 pont)

JUNIOR 1988-89. tavasz, első forduló

1.(211.)         Az a, b, c pozitív egész számokra teljesül: a≥b≥c, és a+b+c≤1. Bizonyítsa be, hogy a2+3b2+5c2≤1!

(F.L. Nazarov,  3 pont)

2.(212.)         Az ABC háromszögben berajzoltuk az AM súlyvonalat. Lehetséges-e, hogy ABM háromszög beírt körének sugara kétszer akkora, mint az ACM háromszög beírt körének sugara?     

(D. Fomin,  3 pont)

3.(213.)         Milyen számot kell beírni a kérdőjel helyére a 888...88?999...99 számban (50 db. 8-as és 50 db 9-es), ha azt akarjuk, hogy a szám osztható legyen héttel?

(M.I. Gusarov,  3 pont)

4.(214.)         Lehet-e egy Rubik-kocka (3×3×3-as beosztású) felületén egy folyamatos vonalat rajzolni úgy, hogy minden egyes kis négyzetet egyszer keresztezünk, de a vonal nem halad át egyetlen csúcson sem?

(S. Fomin, 3 pont)

JUNIOR 1988-89. tavasz, második forduló

1.(215.)         Egy lépcsőházban 100 lépcső van. Kolja le szeretne menni a lépcsőkön úgy, hogy felváltva le-, és felugrik a lépcsőkön. A lépcsőfokok száma, melyeken keresztül tud ugrani 6  (azaz 5 fölött átugrik, és a hatodikra érkezik), 7 vagy 8. Nem szeretne kétszer ugyanarra a lépcsőfokra érkezni.  Le tud így jönni a lépcsősoron?

  (S. Fomin, 3 pont)

2.(216.)         Egy sakktáblán áll egy gyalog. Két játékos felváltva mozgathatja úgy, hogy mindig nagyobb távolságot kell megtennie, mint az előző lépésben. Egy játékos akkor veszít, ha már nem tud lépni. Ki nyer, ha mindketten a lehető legjobb stratégiát választják? (A gyalogot mindig a négyzet közepére teszik. )

(F.L. Nazarov,  3 pont)

3.(217.)         ABCD és PQRS konvex négyszögek rendre papírból, ill. kartonból készültek. Akkor "felelnek meg" egymásnak, ha a következő két állítás egyszerre igaz:
I) A kartonnégyszöget rá tudjuk fektetni a papírnégyszögre úgy, hogy a csúcsai egy-egy oldalán vannak a papírnégyszögnek, és
II) Ha ezután a papírnégyszög négy le nem takart háromszögét rá tudjuk hajtani a kartonra úgy, hogy teljesen lefedi.
a) Bizonyítsa be, hogy ha a négyszögek megfelelnek egymásnak, akkor a papírnégyszögnek vagy van egy párhuzamos oldalpárja, vagy merőlegesek az átlói.
b) Mutassa meg, hogy ha ABCD egy paralelogramma, akkor mindig lehet készíteni egy négyszöget kartonból úgy, hogy megfeleljenek egymásnak.

(N.Vasziljev,  2+3 pont)

4.(218.)         Bizonyítsa be, hogy ha k egy pozitív páros szám, akkor fel lehet írni a számokat 1-től (k-1)-ig olyan sorrendben, hogy nincsenek olyan egymást követő számok, melyeknek összege osztható k-val.

(5 pont)

5.(219.)         Legyen N darab vektor közös kezdőpontja egy kör középpontja, végpontjaik pedig a kört N egyenlő körívre osztják fel. A vektorok közül néhány piros, néhány kék.  Kiszámoljuk az összes olyan szög összegét, melyeket egy kék és egy piros vektor határoz meg (a szöget az óramutató járásával ellentétesen, a pirostól a kékig mérjük), és elosztjuk a szögek számával. Mutassa meg, hogy a szögek átlaga, melyet így mértünk, 180°!

(V. Proizvolov, 7 pont)

6.(220.)a) Bizonyítsa be, hogy ha 3n db csillagot elhelyezünk 3n mezőn egy 2n×2n-es táblán, akkor el lehet távolítani n sort és n oszlopot úgy, hogy minden csillagot kivettünk!
b) Mutassa meg, hogy el lehet helyezni 3n+1 csillagot a 2n×2n-es táblán úgy,  hogy miután bárhogy eltávolítottunk n sort és n oszlopot, legalább egy csillag mindig megmarad.

(K.P. Kohas, 4+4 pont)

SENIOR 1988-89.  ősz, első forduló

1.(221.)         Van-e olyan 2-hatvány, hogy a számjegyeket újrarendezve egy másik 2-hatványt kapunk?

(3 pont)

2.(222.)         Legyen N az ABC háromszög magasságpontja. Bizonyítsuk be, hogy az ABN, ACN és BCN háromszögek köré írt körök egyenlő sugarúak.

(3 pont)

3.(223.)         Bizonyítsuk be, hogy egy poliéder minden csúcsához hozzáírhatunk egy természetes számot úgy, hogy minden azonos élen lévő csúcspár esetében a hozzáírt számok nem relatív prímek (azaz van 1-nél nagyobb közös osztójuk) és minden közös él nélküli csúcs-párnál levő számok relatív prímek (megjegyzés: végtelen sok prímszám van).

(3 pont)

4.(224.)         Egy négyzethálós füzet egy lapján minden kis négyzetet kifestettünk, amihez 23 színt használtunk.  Egy színpárt akkor nevezünk jónak, ha vannak ilyen színekkel festett szomszédos négyzetek. Legalább hány jó pár van?

(3 pont)

SENIOR 1988-89.  ősz, második forduló

1.(225.)         Szeretnénk egy sakktáblán megjelölni minél kevesebb mezőt úgy, hogy
a) semelyik két megjelölt négyzetnek sincs közös oldala vagy közös csúcsa, és
b) bármely jelöletlen négyzetnek van közös oldala vagy csúcsa legalább egy megjelölt négyzettel.
Add meg a megjelölt négyzetek olyan konkrét konfigurációját, amelyek kielégítik a)-t és b)-t, és mutasd meg, hogy kevesebb számú megjelölt négyzet nem lesz elég.

   (A. Andjans, 3 pont)

2.(226.)         Bizonyítsuk be, hogy a2pq + b2qr + c2rp < 0, ahol a, b és c egy háromszög oldalai és
p + q + r = 0.                                                                                             

(J. Mustafaev, 3 pont)

3.(227.)         Adott az 1, 2,…, n egész számok egy olyan sorrendje, hogy ha k, 1 < k < n egész szám nem az első , akkor a k + 1 vagy a k – 1 egész számok egyike k-t megelőzi. Az 1, 2,…, n egész számok hány sorrendje elégíti ki ezt a feltételt?

 (A. Andjans, 4 pont)

4.(228.)         Egy országban 1988 város és 4000 út található (minden út két várost köt össze). Bizonyítsuk be, hogy van egy zárt útvonal, ami legfeljebb 20 városon halad át.

(A. Razborov, 6 pont)

5.         A juniorok 6. feladata.  Itt 7 pont.

6.(229.)         M az ABCD téglalap belső pontja és S a területe.  Bizonyítsuk be, hogy
S < AM·CM + BM·DM.

(I. J. Goldsheyd, 7 pont)

SENIOR 1988-89.  tavasz, első forduló

1.(230.)         Az a, b, c és d pozitív számok eleget tesznek a következő feltételeknek: a < b < c < d  és a + b + c + d ≥ 1. Bizonyítsuk be, hogy a2 + 3b2 + 5c2 + 7d2 ≥ 1.

(3 pont)

2.(231.)         Az ABCD trapézba  kör írható be. Bizonyítsuk be, hogy a szárakra mint átmérőkre emelt körök  érintik egymást.

   (D. Fomin, 3 pont)

3.(232.)         Keressünk 6 olyan különböző pozitív egész számot, hogy bármely kettő szorzata osztható legyen az összegükkel.

   (D. Fomin, 3 pont)

4.         A juniorok 4. feladata.  Itt 3 pont.

SENIOR  1988-89. tavasz, második forduló

1.(233.)         Keressünk két olyan hatjegyű számot, melyeket ha egymás mögé írunk, akkor olyan  tizenkét jegyű számot kapunk, ami osztható a két eredeti szám szorzatával. Keressük meg az összes ilyen  számpárt.

 (M. N. Gusarov, 3 pont)

2.(234.)         Az ABC háromszög belsejében levő M pontra teljesül, hogy BMC szög = 90° + ½ BAC szög, és az AM egyenes átmegy a BMC háromszög köré írt kör középpontján. Bizonyítsuk be, hogy M az ABC háromszög beírt körének középpontja.

(4 pont)

3.(235.)         Adott a következő 1000 lineáris függvény :  fk(x) = pkx + qk,  k = 1, 2,…, 1000.  Keressük az  f(x) = f1(f2(f3…f1000(x)…)) összetett függvény helyettesítési értékét az x0 helyen.  Segítségünkre van tetszőlegesen sok számolómester.   Mindegyiknek adhatunk két számot és ők ezekkel végrehajtanak akármilyen aritmetikai műveletet, majd közlik az eredményt.  Mi mondjuk meg nekik a kiinduló számaikat és azt is, hogy mit csináljanak velük.  Egy lépésben egyszerre dolgozhatnak többen is. Bizonyítsuk be, hogy legfeljebb 30 lépésben elvégezhető a számolás. (Az első lépésben használhatjuk a p1,p2 …p1000, q1,q2 …q1000, x0 számokat, a későbbiekben az újonnan legyártottakat is.)

(S. Fomin, 5 pont)

4.(236.)         Egy 11 fős klubnak van egy bizottsága. A bizottság minden ülésén újjáalakul, az új tagság egy főben tér el az előzőtől (vagy egy új taggal bővül, vagy egy taggal csökken). A bizottságnak mindig legalább 3 tagja van és a klub alapszabálya szerint bármely stádiumban a bizottságnak különböznie kell minden korábbi stádium bizottságától. Lehetséges-e, hogy bizonyos idő után a bizottság minden lehetséges összetétele már előfordult?

   (S. Fomin, 6 pont)

5.(237.)         Adott N darab egyenes (N > 1) a síkon, melyek közül semelyik 2 nem párhuzamos és semelyik háromnak nincs közös pontja. Bizonyítsuk be, hogy az ezen vonalak által meghatározott sík minden régiójához ki lehet jelölni egy nem 0 egész számot, amelynek abszolút értéke nem haladja meg N-et, úgy hogy a számok összege az adott vonalak bármelyikének bármely oldalán 0-val egyenlő.

  (S. Fomin, 7 pont)

6.(238.)         Adott 101 téglalap, oldalaik hossza 101-nél kisebb egész számok. Bizonyítsuk be, hogy ezen 101 téglalap között van 3 olyan, mondjuk A, B és C, hogy A belefér B-be, B belefér C-be.                                                                                                    

(N. Sedrakyan, 7 pont)

JUNIOR,  1989-90.  ősz,  első forduló

1.(239.)         Három futó X, Y és Z versenyt futottak.  Z beragadt a rajtnál, és utolsóként kezdett el futni,  Y másodikként rajtolt. A verseny során Z hatszor cserélt helyet más versenyzővel, X ezt ötször tette meg. Tudjuk Y-ról, hogy  X előtt ért a célba. Mi lett a sorrend?

(3 pont)

2.(240.)         Egy hegyesszögű háromszög oldalainak hosszai egymást követő egész számok. Bizonyítsuk be, hogy a második leghosszabb oldalhoz tartozó magasság az oldalt két olyan szakaszra osztja, melyek hosszának különbsége 4.

    (3 pont)

3.(241.)         Adott egy 1989  darab számból álló halmaz. Tudjuk, hogy ezek közül bármelyik 10 összege pozitív. Bizonyítsuk be, hogy mindnek az összege is pozitív!

  (3 pont)

4.(242.)         Keressük meg az egyenlet pozitív egész megoldásait:

(G. Galperin, 3 pont)

JUNIOR,  1989-90.  ősz,  második forduló

1.(243.)         Keressük meg az egyenlet megoldásait a pozitív egészek körében:  , ahol [A] jelöli A egészrészét, pl. [2,031]=2, [2]=2 stb.

    (3 pont)

2.(244.)         Az ABCDEF hatszög köré kör írható, AB=BC=a, CD=DE=b, és EF=FA=c. Bizonyítsuk be, hogy a BDF háromszög területe a hatszög területének a fele.         

     (I. P. Nagel,  3 pont)

3.(245.)         A síkot szabályos háromszögekre vágjuk, 3 irányú párhuzamos egyenesekkel (bármely két egyenes vagy párhuzamos, vagy 60°-os szöget zárnak be). Lehetséges-e, hogy találunk a háromszögek csúcsai között 4-et, melyek  négyzetet alkotnak?

(4 pont)

4.(246.)         Adott az N természetes szám. Alkossuk az (a, b, c) pozitív egészekből álló számhármasokat úgy, hogy a+b+c=N. Vegyük azt a legnagyobb, ilyen számhármasokból álló rendszert, ahol semelyik két számhármasnak nincs közös eleme! Jelöljük az ebben a rendszerben levő számhármasok számát K(N)-nel! Bizonyítsuk be, hogy
a)         ;
b)         .

(L.D. Kurliandcsik,  4 pont)

5.(247.)         Egy téglalap alakú M×N-es táblát 1×1-es cellákra osztottunk. Rendelkezésünkre áll M·N darab 1×2-es dominó. Ezeket a dominókat, ill. közülük valamennyit úgy helyezünk el a táblán, hogy egy dominó 2 cellát foglal el. A végén a tábla nem teljesen lefedett, de nem tudunk egy dominót sem megmozdítani (a táblának kerete van, így a dominók nem lóghatnak le róla). Bizonyítsuk be, hogy a lefedetlen cellák száma:
a) kevesebb, mint M·N/4;
b) kevesebb, mint M·N/5. (2 pont)                                                                                                    

(L. D. Kurliandcsik,  4 bpont)

6.(248.)         Egy szabályos hatszöget felvágtunk N egyenlő területű paralelogrammára. Bizonyítsuk be, hogy N osztható hárommal!

(V. Prasolov, I. Sharygin,  7 pont)

JUNIOR,  1989-90.  tavasz,  első forduló

1.(249.)         Bizonyítsuk be, hogy minden természetes n-re teljesül, hogy :

(S. Manukian,  4 pont)

2.(250.)         Legyenek c és d egymást nem tartalmazó  és nem metsző egysíkú körök. C és D pontok rendre a körökön vannak, a lehető legtávolabb egymástól. Két kisebb kört szerkesztünk c és d belsejébe. Az első kis kör érinti c-t és a C-ből d-hez húzott két érintőt, míg a másik érinti d-t és a D-ből c-hez húzott érintőket. Bizonyítsuk be, hogy a kis körök egybevágóak!

  (J. Tabov,  4 pont)

3.(251.)         Lehetséges-e 9 piros, 9 kék és 9 fehér egybevágó kockából összerakni egy nagy kockát, aminek minden sora (három kocka, párhuzamosan a nagy kocka egy tetszőleges élével) pontosan két színt tartalmaz?

(S. Fomin,  5 pont)

4.(252.)         Adott 61 egyformának látszó érme. Két érme (melyek tömege egyforma) hamis. A többi 59 (eredeti) érme tömege is egyforma, de más, mint a hamisaké. Nem tudjuk azonban, hogy mely érmék a nehezebbek. Hogyan tudjuk ezt a kérdést megválaszolni, ha háromszor mérhetünk egy kétkarú mérleggel? (Nem kell elválasztani a hamis érméket a többitől).     

(D. Fomin,  8 pont)

JUNIOR,  1989-90.  tavasz, második forduló

1.(253.)         Határozzuk meg azt a maximális számot, ahány részre a koordinátasík felosztható 100 különböző,  alakú függvény grafikonjával! (a≠0)

 (N. B. Vasiliev, 6 pont)

2.(254.)         Ha egy négyzetet elmetszünk egy vele egybevágó, de középpontja körül 45°-kal elforgatott négyzettel, akkor az mind a 4 oldalt a:b:a arányban osztja (ez kiszámolható). Vegyük a következő szerkesztést egy tetszőleges konvex négyszögre: osszuk fel minden oldalát ebben az a:b:a arányban, és húzzunk egyenest minden csúcs melletti két osztópont között! Bizonyítsuk be, hogy az egyenesek metszéspontjai által meghatározott új négyszög területe ugyanannyi, mint az eredeti négyszögé!

   (A. Savin,  6 pont)

3.(255.)         15 elefánt áll egy sorban. Tömegeik egész kilogrammokban fejezhetők ki. Minden egyes elefánt tömege (kivéve a jobb szélső) és a mellette jobbra álló tömegének kétszerese összesen éppen 15 tonna. Határozzuk meg az elefántok tömegét!

(F.L. Nazarov, 8 pont)

4.(256.)         Legyen ABCD egy rombusz, és P a BC oldal egyik pontja.  Az A,B,P pontokon átmenő kör Q-ban metszi másodszor BD-t, a C,P,Q pontokon átmenő kör R-ben metszi másodszor BD-t. Bizonyítsuk be, hogy A, R és P egy egyenesen fekszik!

  (D. Fomin,  8 pont)

5.(257.)         Határozzuk meg azon pozitív egészekből álló (m,n) számpárok számát, melyekre m,n≤1000 és
.

(D. Fomin,  10 pont)

6.(258.)         Egy súlygyűjteményt (minden súly egész érték) akkor nevezünk alapnak, ha az együttes súlyuk 200, és minden 200-nál nem nagyobb súly kimérhető velük egyértelműen  meghatározott súlykompozícióval. (Az egyértelműen meghatározott úgy értendő, hogy nem vesszük figyelembe a sorrendet, vagy azt, hogy két azonos súlyból melyiket választjuk ki, ha van egyáltalán választási lehetőségünk.)
a)         Keressünk egy példát alapgyűjteményre, de ne a 200 darab 1 értékű súly legyen az!
b)         Hány különböző alapgyűjtemény létezik?                                       

   (D. Fomin, 4+8 pont)

SENIOR,  1989-90.  ősz,  első forduló

1.(259.)         Tíz barát üdvözlőlapokat küld egymásnak, mindegyikük ötöt küld. Bizonyítsuk be, hogy közülük legalább kettő küldött egymásnak lapot.

(3 pont)

2.(260.)        Adott 3 pont a síkon: K, L, M. Ezen pontok egy kiradírozott négyszög 3 szomszédos, egyenlő hosszúságú oldalának felezőpontjai. Szerkesszük meg a négyszöget.

(3 pont)

3.(261.)         Létezik-e 1 000 000 egymástól különböző pozitív egész szám, hogy ezek közül akárhányat kiválasztva az összegük soha nem  négyzetszám?

(3 pont)

4.(262.)         A 21989 és az 51989 számokat leírjuk egymás után (tízes számrendszerben). Hány számjegyet írtunk le összesen?

(G. Galperin, 3 pont)

SENIOR,  1989-90.  ősz,  második forduló

1.(263.)         Meg lehet-e adni egy gömböt, egy tetraédert és egy síkot úgy, hogy a megadott síkkal párhuzamos minden sík  egyenlő területű részekben messe a gömböt és a tetraédert?

   (3 pont)

2.(264.)         Tekintsük az {1, 2,…, N} halmaz összes olyan részhalmazát, amely  nem tartalmaz egymást követő számokat. Egy papírra felírjuk minden részhalmaz esetén az elemeinek szorzatát.  Bizonyítsuk be, hogy ha a papírra felírt számokat négyzetre emeljük, majd összeadjuk, akkor (N+1)! – 1 lesz az eredmény.

(R.P. Stanley ötlete alapján, 3 pont)

3.(265.)         Az R sugarú körön belül kijelölünk egy A pontot. Szerkesszünk A-n keresztül egy merőleges egyenespárt. Forgassuk el ezeket az egyeneseket ugyanazzal a v szöggel A körül. Míg az egyenesek a kezdeti helyzetükből a végső helyzetükbe mozognak, egy kereszt alakú alakzat jön létre, melynek középpontja A. Mekkora a kereszt területe?

(5 pont)

4.(266.)         A természetes számok halmaza legyen páronként diszjunkt halmazok uniója, amelyeknek elemei  végtelen számtani sorozatot alkotnak, pozitív d1, d2, d3, … differenciával.  Lehetséges-e, hogy az   összeg nem haladja meg a 0.9-et? Tekintsük azokat az eseteket, ahol
a) a számtani sorozatok száma véges.
b) a számtani sorozatok száma végtelen (Ebben az esetben a feltételt, hogy   nem haladja meg a 0.9-et, úgy kell érteni, hogy bármely véges számú összeg nem haladja meg a 0.9-et.)

a)(A. Tolpugo,  2+3 pont)

5.(267.)         Adott 100 pont. Ezek közül N darab egy konvex N-szög csúcsai, és a többi (100-N) pont ezen N-szögön belül helyezkedik el. A pontok jelölése alapján nem határozható meg, hogy csúcsai-e az N-szögnek, avagy nem. Ismeretes, hogy nincs olyan három pont, amelyek kollineárisak, és nincs négy olyan pont, amelyek két párhuzamos egyenesen vannak. A következő kérdést lehet feltenni: Mekkora az XYZ háromszög területe, ha X, Y, Z a 100 pont közül való? Bizonyítsuk be, hogy 300 ilyen kérdés elegendő ahhoz, hogy megmondjuk melyik pontok csúcspontok, és meghatározzuk az N-szög területét.     

(D. Fomin,  6 pont)

6.(268.)         Egy  táblázatnak m sora, és n oszlopa van, ahol m < n. Néhány mezőben csillagok vannak elhelyezve úgy, hogy minden oszlopban legalább egy csillag van. Bizonyítsuk be, hogy van legalább egy csillag, hogy az őt tartalmazó sorban több csillag van, mint az őt tartalmazó oszlopban.

  (A. Razborov,  8 pont)

SENIOR,  1989-90.  tavasz,  első forduló

1.(269.)         Szerkesszük meg azt a háromszöget, amelynek adott 2 oldala, ha az adott oldalak közös csúcsából húzott súlyvonal ezt a szöget 1:2 arányban osztja.

  (V. Chikin, 6 pont)

2.(270.)         Bizonyítsuk be, hogy:
a) ha az n természetes szám 4k+1 alakú (ahol k egész szám), akkor létezik n darab olyan páratlan pozitív egész, amelyeknek összege egyenlő a szorzatukkal.
b) ha n nem ilyen alakú, akkor ilyen számhalmaz nem létezik.    

(M. Kontsevich, 3+4 pont)

3.(271.)a)  Egy dodekaéder néhány csúcsát megjelöltük úgy, hogy minden lapon van egy megjelölt csúcs. Hány csúcsot kell legalább megjelölni, hogy ez lehetséges legyen?
b) Ugyanez a feladat, csak ikozaéderrel.
(A dodekaédernek 12 ötszögű oldala van, amelyek közül 3 egy csúcsban találkozik. Az ikozaédernek 20 háromszög alakú oldala van, amelyek közül 5 egy csúcsban találkozik.)

(G. Galperin, 2+5 pont)

4.(272.)         Adott 103 pénzérme, amelyek látszólag azonosak. Két pénzérme (amelyek tömege egyenlő) hamis. A többi 101 (igazi) pénzérmének is egyenlő a tömege, de különbözik a hamis érmék tömegétől. Nem tudjuk, hogy az igazi érmék vagy a hamis érmék nehezebbek-e. Hogy találhatjuk ki ezt egy kétkarú mérleggel három méréssel? (Nem feladat a hamis érmék kiválasztása.)

(D. Fomin,  7 pont)

SENIOR,  1989-90.  tavasz, második forduló

1.(273.)         Bizonyítsuk be, hogy minden n pozitív egészre létezik egy P(x) polinom, amely (x-1)n-nel osztható, a foka legfeljebb 2n  és minden együtthatója 1, 0 vagy -1.

(D. Fomin,  6 pont)

2.(274.)         A mérősúlyok egy csoportját (minden súly egész  érték) alapkészletnek nevezzük, ha az együttes súlyuk 500-zal egyenlő és minden 500-nál nem nagyobb súly kimérhető velük egy egyértelműen meghatározott súlykompozícióval.  (Az egyértelműen meghatározott úgy értendő, hogy nem vesszük figyelembe a sorrendet, vagy azt, hogy két azonos súlyból melyiket választjuk ki, ha van egyáltalán választási lehetőségünk.)
a) Keressünk egy példát az alapkészletre (ami különbözik az 500 darab 1 egységestől)
b)   Hány különféle alapkészlet létezik?

  (D. Fomin,  4+6 pont)

3.(275.)         Egy tortát készítenek az esti összejövetelre, amelyre p vagy q személy érkezik. (p és q relatív prímek, egészek.) Keressük meg a (nem feltétlenül egyforma) szeletek minimális számát, amelyekre a tortát fel kell előzetesen vágni ahhoz, hogy a tortát egyenlően szét lehessen osztani a vendégek között, mindkét esetben.

    (D. Fomin, 10 pont)

4.(276.)         Legyen ABCD trapéz, ahol AC=BC. Legyen H az AB alap felezőpontja és legyen l egy egyenes, mely keresztül megy H-n. l metszi AD- t P pontban, és BD- t Q-ban. Bizonyítsuk be, hogy az ACP szög és a QCB szög vagy egyenlő vagy összegük 180o.

(I. Sharygin,  10 pont)

5.(277.)         Létezik-e olyan konvex poliéder, amelynek van egy háromszög metszete (egy síkkal elmetszve, amely nem megy át a csúcsokon) és a poliéder minden csúcsa
a) legalább 5 laphoz tartozik?
b) pontosan 5 laphoz tartozik?

    (G. Galperin, 4+6 pont)

6.(278.)         Van néhány tintapacni egy a oldalú négyzet alakú fehér papíron. Egyik pacni területe sem több, mint 1 területegység. Minden egyenes, amely párhuzamos a négyzet valamelyik oldalával legfeljebb egy pacnin megy keresztül. Bizonyítsuk be, hogy a pacnik összterülete legfeljebb a területegység.

   (A. Razborow,  12 pont)

JUNIOR,  1990-91.  ősz, első forduló

1.(279.)         Adott két pozitív valós szám. Bizonyítsuk be, hogy ha az összegük kisebb, mint a szorzatuk, akkor az összegük nagyobb 4-nél.

(N. Vasziljev,  4 pont)

2.(280.)         Egy szabályos háromszög csúcspontjai az ABCDEF szabályos hatszög AB, CD és EF oldalain helyezkednek el. Bizonyítsuk be, hogy a háromszögnek és a hatszögnek azonos a középpontja.

     (N. Sedrakjan,  4 pont)

3.(281.)         Keressünk 10 különböző pozitív egész számot úgy, hogy mindegyikük osztója legyen az összegüknek.

(S. Fomin,  4 pont)

4.(282.)         Egy 100×100-as négyzet alakú táblát 10 000 egységnégyzetre osztottak fel. Egy egységnégyzetet kivágunk. Le tudjuk-e fedni a tábla többi részét egyenlő szárú derékszögű háromszögekkel, amelyeknek 2 hosszú az átfogójuk éspedig úgy, hogy átfogóik az  egységnégyzetek oldalain helyezkednek el, a másik két oldaluk pedig az átlókon. A háromszögek nem fedhetik egymást, és nem lóghatnak túl a tábla szélén.    

(S.  Fomin,  5 pont)

JUNIOR,  1990-91.  ősz, második forduló

1.(283.)         Adott

  és
.
Bizonyítsuk be, hogy
.                                                      

(G.  Galperin,  4 pont)

2.(284.)         Az AB átmérőre egy S félkört rajzolunk. Egy az S-en lévő tetszőleges C pont esetében (C≠A, C≠B) az ABC háromszög AC és BC oldalaihoz a háromszögön kívül négyzeteket illesztünk. Keressük meg a négyzetek középpontjait összekötő szakasz felezőpontjainak mértani  helyét, miközben a C az S mentén mozog.

  (J.  Tabov,  4 pont)

3.(285.)         Egy 8×tábla (64 db 1×1-es négyzet) fehérre van festve.  Kiválaszthatjuk a 64 négyzet közül bármely 1×3-as téglalapot, és mindhárom négyzetet ellenkező színűre festjük (a feketéket fehérre, a fehéreket feketére). Be lehet az egész táblát feketére festeni ezzel a módszerrel?                                                                                                  

(I.S.  Rubanov,  5 pont)

4.(286.)         Egy ABCD négyszög AB, BC, CD illetve DA oldalai  rendre egyenlők az A’B’C’D’ négyszög A’B’, B’C’, C’D’ és D’A’ oldalaival. Tudjuk, hogy AB párhuzamos CD-vel és  B’C’ párhuzamos D’A’-vel. Bizonyítsuk be, hogy mindkét négyszög paralelogramma.

 (V. Proizvolov,  5 pont)

5.(287.)         Az {xn} számsorozatra teljesül, hogy minden n>1 értékre. Bizonyítsuk be, hogy a sorozat periodikus 9-re, azaz bármely n > 1-re xn = xn+9.      

  (M.  Koncsevics,  6 pont)

6.(288.)         Egy kártyacsomag n különböző kártyából áll. Egy lépés során kihúzunk egy csoport egymás melletti kártyát együtt a csomag bizonyos helyéről és valahova máshova visszarakjuk anélkül, hogy a csoporton belül kevernénk, vagy megfordítanánk bármely kártyát.  Szeretnénk megfordítani a teljes pakliban a kártyák sorrendjét ilyen cserékkel.
a) Bizonyítsuk be, hogy n = 9 esetében ez 5 lépésben megtehető.
b) Bizonyítsuk be, hogy n = 52 esetében ez
i. 27 lépésben megtehető,
ii.17 lépésben nem tehető meg,
iii. 26 lépésben nem tehető meg.

(S.M.  Voronin, 3+3+4+4 pont)

JUNIOR,  1990-91.  tavasz, első forduló

1.(289.)         Adott N db egész szám. Bizonyítsuk be, hogy a négyzetösszegük osztható N-nel, ha tudjuk, hogy közülük bármelyik N-1 szorzata és a kimaradó szám közti különbség N-nel osztható.

(D. Fomin,  3 pont)

2.(290.)         Három kör mindegyike kívülről érinti a másikat, sugaraik rendre 1, r és r. Milyen r értékekre van olyan háromszög, amelyben e körök benne foglaltatnak. (A körök a háromszög belsejében vannak, mindegyik kör érinti a háromszög két oldalát és a háromszög minden oldala két kört érint.)

(N.B. Vasziljev,  3 pont)

3.(291.)         Egy sorban 30 csizma áll (15 pár). Bizonyítsuk be, hogy van tíz olyan egymást követő csizma a sorban valahol, hogy közülük 5  jobb lábas és 5  bal lábas. 

 (D.  Fomin,  3 pont)

4.(292.)         Egy számítógép képernyője a 123-as számot mutatja. Minden percben a számítógép 102-vel növeli a képernyőn látható számot. Misa, a számítógépguru meg tudja cserélni a képernyőn megjelenő szám számjegyeinek sorrendjét. El tudja-e érni azt, hogy soha ne jelenjen meg 4 jegyű szám a képen?

  (F.L.  Nazarov,  4 pont)

JUNIOR,  1990-91.  tavasz, második forduló

1.(293.)         Bizonyítsuk, hogy a 99 darab  ( k=1,2, … ,99) alakú tört szorzata nagyobb, mint 2/3.

 (D.  Fomin,  3 pont)

2.(294.)         Az ABCDE ötszögnek van beírt köre és az AD és CE átlók ennek O középpontjában metszik egymást. Bizonyítsuk be, hogy a BO szakasz és a DE oldal merőlegesek egymásra.

    (4 pont)

3.(295.)         Olyan 5-re végződő számokat keresünk, melyeknek tízes számrendszerbeli alakjában mindegyik számjegy –a másodiktól kezdődően– legalább akkora, mint az előző számjegy. Ezenkívül a számok négyzetére is teljesülnie kell a fenti tulajdonságnak.
a) Keressünk 4 ilyen számot.
b) Bizonyítsuk be, hogy végtelen sok ilyen szám van.

 (A.  Andjans,  2+3 pont)

4.(296.)  Egy kört az AB húr 2 részre oszt és az egyiket elforgatjuk az A pont körül bizonyos szöggel, így a B pontot a B’-be visszük.  Összekötjük BB’ középpontjával az el nem forgatott AB ív felezőpontját és az elforgatott AB’ ív felezőpontját is.  Mutassuk meg, hogy ezen szakaszok merőlegesek egymásra.

  (F.  Nazyrov,  4 pont)

5.(297.)   Egy országban 8 város van. A király egy olyan úthálózatot szeretne, hogy bármely városból bármely másikba el lehessen jutni legfeljebb egy  város érintésével.  Semelyik városból nem indulhat  k-nál több út.  Mely k értékekre lehetséges ez?

 (D.  Fomin,  6 pont)

6.(298.)  Egy versenyen 16 ökölvívó vesz részt. Minden ökölvívó naponta egyszer mérkőzik. A versenyzők különböző kondícióban vannak és az erősebbik mindig nyer. Bizonyítsuk be, hogy egy 10 napos verseny megrendezhető úgy, hogy az erősorrend kiderüljön. A meccsek kiosztása az azt megelőző nap este történik és nem változtatható meg.

 (A.  Andjans,  8 pont)

SENIOR,  1990-91.  ősz,  első forduló

1.(299.)         A pozitív egészeket 1-től n2-ig tetszőlegesen elhelyeztük egy n×n-es sakktábla mezőiben. Bizonyítsuk be, hogy van két olyan szomszédos mező (van közös csúcsuk vagy közös oldaluk),  hogy a bennük levő számok különbsége legalább n + 1.

 (N. Sedrakyan,  4 pont)

2.(300.)         A síkot párhuzamos egyenesek három végtelen halmazával azonos területű szabályos háromszögekre osztottuk. Legyen M a csúcsok halmaza, továbbá A és B egy ilyen szabályos háromszög két csúcsa. Egy lépésben elforgathatjuk a síkot az M halmaz bármely pontja körül 120°-kal. Kerülhet-e A pont B-be ilyen lépések sorozata után?

(N. Vasiliev, 4 pont)

3.(301.)         A falon két ugyanolyan óra van: az egyik a jelenlegi moszkvai időt, a másik pedig a jelenlegi helyi időt mutatja. A két kismutató vége közti minimális távolság m, a maximális távolság M. Mennyi a távolság a két óra középpontja között?        

(S. Fomin,  4 pont)

4.(302.)         „Téglányokat” készítünk a következő módon: veszünk egy egységnyi oldalú kockát, és három közös csúccsal rendelkező lapjához három újabb egységkockát ragasztunk, úgy, hogy az összeragasztott lapok pontosan fedjék egymást. Építhetünk-e ilyen „téglányokból” 11×12×13-as téglatestet?

(A. Adjans,  5 pont)

SENIOR,  1990-91.  ősz, második forduló

1.         A juniorok  1. feladata.  Itt 3 pont.

2.(303.)         M az ABC szabályos háromszög körülírt körének AC ívén lévő pont. P ennek az ívnek a felezőpontja, N a BM húr felezőpontja, K pedig a P-ből az MC-re állított merőleges talppontja.  Bizonyítsuk be, hogy az ANK háromszög szabályos.

    (I. Nagel, 4 pont)

3.(304.)         Vegyük a síkon az egységnégyzetek M véges halmazát. A négyzetek oldalai párhuzamosak a koordinátatengelyekkel, és metszhetik egymást. Tudjuk, hogy bármely két négyzet középpontja közti távolság legfeljebb 2 egység. Bizonyítsuk be, hogy létezik olyan egységnégyzet (nem feltétlenül M egyik eleme), aminek oldalai párhuzamosak a koordinátatengelyekkel, és M halmaz minden négyzetével van legalább egy közös pontja.

 (A. Adjans,  4 pont)

4.(305.)         Adott 20 pont a síkon úgy, hogy semelyik három nincs egy egyenesen. Ezen pontok közül 10 piros, a többi kék. Bizonyítsuk be, hogy létezik olyan egyenes, aminek mindkét oldalán 5 piros és 5 kék pont van.

 (A. Kusnirenko,  5 pont)

5.(306.)         Az ABC háromszögben AC = CB. D az AB szakasz egy pontja. Tudjuk, hogy az ACD háromszög beírt körének sugara megegyezik  a DB szakaszt, valamint CD és CB szakaszok meghosszabbítását egyaránt érintő kör sugarával. Bizonyítsuk be, hogy ez a sugár egyenlő az ABC háromszög két egyenlő hosszúságú magasságának negyedével.

   (I. F. Sharygin,  7 pont)

6.(307.)         Egy kártyacsomag n különböző kártyából áll. Egy lépésben kiveszünk a csomagból valahonnan néhány egymás után következő kártyát, és visszatesszük  máshova anélkül, hogy megcserélnénk a sorrendet, vagy akármelyik kártyát felfordítanánk. Az a feladatunk, hogy ilyen lépések sorozatával megfordítsuk a kártyák sorrendjét a csomagon belül.
a)    Bizonyítsuk be, hogy n = 9 esetén ez megtehető 5 lépésben.
b)    Bizonyítsuk be, hogy n = 52 esetén ez
i. 27 lépéssel megtehető,
ii. 17 lépéssel nem tehető meg,
iii. 26 lépéssel nem tehető meg.

(S. M. Voronin, 2+2+4+4 pont)

SENIOR,  1990-91.  tavasz,  első forduló

1.(308.)         Keressük meg az összes n természetes számot és x, y egészeket (x és y különböző), amelyek kielégítik a következő egyenletet:

(4 pont)

2.(309.)         Adott egy körön két pontot, K és L. Szerkesszünk olyan ABC háromszöget, aminek C csúcsa és az AK és BL súlyvonalainak metszéspontja egyaránt a körön vannak (K és L a BC, illetve AC oldalak felezőpontjai).

(4 pont)

3.(310.)         Egy táblára felírtuk a következő száz számot: 1, 1/2, 1/3, ... , 1/100. Ha letöröljük közülük az a és b számokat, akkor az a + b + ab számot írjuk fel helyettük.  99 ilyen lépés után egyetlen szám marad fenn a táblán. Mi ez a szám?

(D. Fomin,  4 pont)

4.(311.)a) Elhelyezhetünk-e úgy 5 darab fából készült kockát a térben, hogy mindegyikük érintse az összes többi kockát valamelyik lapjának egy-egy részével? 
b) Oldjuk meg ugyanezt a kérdést hat kocka esetén is!                       

(2+2 pont)

SENIOR,  1990-91.  tavasz,  második forduló

1.(312.)         Olyan 5-re végződő számokat keresünk, amiknek tízes számrendszerbeli alakjában a második jegytől kezdve egyik számjegy sem kisebb, mint az előtte álló. Továbbá a számok négyzetének ugyanilyen tulajdonságokkal kell rendelkezniük. Bizonyítsuk be, hogy végtelen sok ilyen szám van.

 (A. Adjans,  4 pont)

2.(313.)         Egy körben rögzítjük az MN húrt. A kör minden AB átmérőjéhez vegyük az AM és BN szakaszok C metszéspontját, és szerkesszük meg azt az l egyenest, ami átmegy C-n és merőleges AB-re. Bizonyítsuk be, hogy az összes ilyen l egyenes egy ponton megy át.

(E. Kulanin,  5 pont)

3.(314.)     Az x1, x2, x3, ... , xn számok összege 0, négyzeteik összege 1.  Bizonyítsuk be, hogy van közöttük két olyan szám, amiknek szorzata nem nagyobb, mint -1/n.        

(Stolov,  5 pont)

4.(315.)         Kiválasztottunk 5 pontot a gömbön úgy, hogy közülük semelyik három nem esik egy főkörre (a főkör a gömb metszete egy olyan síkkal, ami átmegy a gömb középpontján). Két főkör egyenértékű, ha egyikük sem tartalmazza egyik pontot sem az öt közül, és egymásba mozgathatók anélkül, hogy áthaladnának valamelyik kiválasztott ponton.
a) Hány olyan főkört tudunk rajzolni a gömbön, amik nem egyenértékűek, és nem tartalmazzák egyik kiválasztott pontot sem?
b) Oldjuk meg ugyanezt a kérdést n kiválasztott pontra.

(A. Belov, 3+3 pont)

5.(316.)         Egy királyságban 16 város van. A király olyan úthálózatot akar építtetni, hogy bármelyik városból bármelyik másikba el lehessen jutni legfeljebb egy közbenső város érintésével, de minden városból legfeljebb 5 út induljon ki.
a) Bizonyítsuk be, hogy ez lehetséges.
b) Bizonyítsuk be, hogy 5 helyett 4 út esetén nem lehetséges.

  (D. Fomin,  4 pont)

6.(317.)         Egy tornán 32 ökölvívó vesz részt. Mindegyikük legfeljebb egyszer játszhat egy nap. Tudjuk, hogy nem egyforma erősek, és mindig az erősebb győz. Bizonyítsuk be, hogy rendez- hetünk egy 15 napos tornát, aminek az eredménye alapján elkészíthetjük az erősorrendet.  A találkozók menetrendjét mindig a mérkőzés előtti napon kell rögzíteni, és a nap folyamán nem lehet megváltoztatni.

 (A. Adjans,  8 pont)

JUNIOR,  1991-92.  ősz,  első forduló

1.(318.)         A k1 kör középpontja rajta van k2 körön. A és B a körök metszéspontjai. k2 kör B pontban húzott érintője k1 kört C pontban metszi. Bizonyítsd be, hogy AB = AC.

(V. Prasovov,  3 pont)

2.(319.)         A „repülő bástya” úgy mozog, mint a sakkban a bástya, de nem léphet szomszédos mezőre egy lépésben. Lehetséges-e, hogy egy 4×4-es sakktáblán a repülő bástya minden mezőre pontosan egyszer lép és végül 16 lépésben visszatér a kezdőmezőre?

(A. Tolpygo,  3 pont)

3.(320.)         Bizonyítsd be, hogy

(G. Galperin,  3 pont)

4.(321.)         Egy körre hat számot írunk.  A = |B - C|, ahol A bármely a körön lévő szám, B és C pedig az A-t követő számok a körön az óramutató járásával megegyező irányban. A körön lévő hat szám összege 1. Mik a körön lévő számok?

( 3 pont)

JUNIOR,  1991-92.  ősz,  második forduló

1.(322.)         32 lovag él egy királyságban. Néhány közülük másokat szolgál. Egy szolgának csak egy gazdája lehet, és minden gazda gazdagabb, mint a szolgái. Az olyan lovagot, akinek minimum 4 szolgája van, bárónak hívjuk. Maximum hány báró lehet? (A királyság egyik fontos törvénye: „A szolgám szolgája nem az én szolgám”).

(A. Tolpygo, 3 pont)

2.(323.)         Az ABC háromszögben AB = AC és a BAC szög 20º. Legyen D pont az AB oldalon úgy, hogy AD = BC. Mekkora a BCD szög?

(I. F. Sharygin, 6 pont)

3.(324.)         Lehetséges-e, hogy páronként különböző, 100-nál kisebb pozitív egészeket egy 4×4-es táblázat mezőibe írva minden sorban és minden oszlopban a számok szorzata egyenlő?

(N. B. Vasiliev,  8 pont)

4.(325.)         Az an sorozat képzési szabálya: a0= 9 és bármilyen nemnegatív k- ra:  ak+1=3(ak) 4+ 4(ak) 3. Bizonyítsuk be, hogy a10 (tízes számrendszerben) legalább 1001 db 9-est tartalmaz!

 (Yao, 8 pont)

5.(326.)         Egy 9×9-es négyzet 81 egységoldalú négyzetre, azaz mezőre van felosztva. Néhány mező satírozott. A távolság bármely két satírozott mező középpontja között több mint 2.
a) Adj példát jó satírozásra 17 satírozott mező esetén!
b) Bizonyítsd be, hogy nem lehet 17-nél több  satírozott mező!

  (S. Fomin,  5 pont)

6.(327.)         Az ABCDEFGH konvex nyolcszögnek minden belső szöge egyenlő, AB = CD = EF = GH, valamint BC = DE = FG = HA. (Az ilyen nyolcszöget félszabályosnak nevezzük) Az AD, BE, CF, DG, EH, FA, GB és HC átlók részekre osztják a nyolcszöget. Tekintsük azt a részt, amelyik a nyolcszög középpontját tartalmazza. Ha ez a rész is nyolcszög, akkor ez a nyolcszög is félszabályos (ez nyilvánvaló). Ekkor megint megszerkesztjük az átlókat a belső nyolcszögben, megint nézzük a középpontot tartalmazó részt és így tovább. Ha valahány lépés után a középpontot tartalmazó alakzat nem nyolcszög, akkor az eljárás leáll. Bizonyítsd be, hogy ha sosem ér véget az eljárás, akkor az eredeti nyolcszög szabályos volt!

(A. Tolpygo,  8 pont)

7.(328.) n gyerek akar elosztani m darab azonos nagyságú csokoládét egyenlő részekre úgy, hogy egyik csokoládé sincs eltörve egynél többször.
a) Milyen n-re lehetséges ez, ha m = 9?
b) Milyen n és m esetén lehetséges ez?

(Y. Tschekanov, 5+7 pont)

JUNIOR,  1991-92.  tavasz,  első forduló

1.(329.)         A hónap elején egy boltnak 10 különböző eladnivaló áruja van, azonos árakkal. Minden nap, minden egyes áru ára vagy megduplázódik, vagy megtriplázódik. A következő hónap elejére minden ár különböző lesz. Bizonyítsd be, hogy a legnagyobb és a legkisebb ár aránya nagyobb, mint 27!

(D. Fomin és Stanislav Smirnov,  3 pont)

2.(330.)         Az ABCD trapézban a BC és AD oldalak párhuzamosak, AC = BC + AD, és az átlók közti szög 60º. Bizonyítsd be, hogy AB = CD!

(Stanislav Smirnov  3 pont)

3.(331.)         Frednek, az éremgyűjtőnek van néhány pénzérméje. Egyiknek sem nagyobb az átmérője 10 cm-nél. Fred minden pénzérméjét egy 30×70 cm alapterületű dobozban tartja. Egy 25 cm átmérőjű érmével leptük meg. Bizonyítsd be, hogy Fred bele tudja rakni az összes pénzérméjét egy 55×55 cm alapterületű dobozba!  

(Fedja Nazarov,  3 pont)

4.(332.)         Egy körvonalat 7 körcikkre osztottunk. Bármely két szomszédos középponti szög összege maximum 103º. Mekkora annak az α szögnek a legnagyobb értéke, amire bármelyik középponti szög nagyobb mint α?   Mutassuk meg, hogy ez valóban a maximális α.

(A. Tolpygo, 5 pont)

JUNIOR,  1991-92.  tavasz,  második forduló

1.(333.)         Egy n számból álló (n > 2) halmazt zsúfoltnak hívunk, ha minden eleme kisebb, mint a halmaz elemeinek összege osztva n-1-gyel. Legyen {a, b, c,…} egy zsúfolt számhalmaz, elemeinek összege S.  Bizonyítsd be, hogy
a) a halmaz minden eleme pozitív,
b) mindig igaz, hogy a + b > c,
c) mindig igaz, hogy a + bS / (n – 1).

 (Regina Schleifer, 2+2+2 pont)

2.(334.)         Tekintsük az ABC derékszögű háromszöget, ahol A a derékszögű csúcs és AC > AB. Legyen E és D rendre az AC-n és BC-n úgy, hogy AB = AE = BD.  Bizonyítsd be, hogy az ADE háromszög akkor és csak akkor derékszögű, ha az AB:AC:BC arány 3:4:5.

(A. Parovan, 6 pont)

3.(335.)         Legyenek n, m és k természetes számok, ahol m > n. Melyik  szám a nagyobb:
,  vagy ?
Megjegyzés: Mindkét kifejezés k darab négyzetgyökjelet tartalmaz, n és m pedig váltakozik.

(N. Kurlandchik, 6 pont)

1.(336.)         Legyen a P pont az ABC háromszög körülírt körén. Vegyünk fel egy olyan tetszőleges A1B1C1 háromszöget, aminek az A1B1, B1C1 és C1A1 oldalai rendre párhuzamosak a PC, PA és PB szakaszokkal, és húzzunk párhuzamosakat A1-en, B1-en és C1-en keresztül rendre BC, CA és AB oldallal. Bizonyítsuk be, hogy ez a három egyenes egy pontban metszi egymást az A1B1C1 háromszög körülírt körén!

    (V. Prasolov, 10 pont)

2.(337.)         Adott 50 ezüstérme súly szerint sorba rendezve és 51 aranyérme szintén súly szerinti sorrendben. Bármely két érme súlya különböző. Egy kétkarú mérleggel két érme súlyát összehasonlíthatjuk. Hogy található meg a „középső” súly (ami az 51. helyen van, ha a 101 érmét súly szerint sorba rendezzük)  7 méréssel?

   (A. Andjans,  10 pont)

3.(338.)         Egy kört n körcikkre osztottunk fel. Néhány körcikken gyalogok vannak, összesen n + 1-en. Ez a helyzet a következőképpen változik: valamely két gyalog, akik ugyanazon a körcikken vannak, egyszerre szomszédos mezőre lépnek különböző irányban. Bizonyítsd be, hogy néhány ilyen lépés után elkerülhetetlenül előáll egy olyan helyzet, amikor legalább a körcikkek felében van gyalog.

(D. Fomin,  12 pont)

SENIOR,  1991-92. ősz,  első forduló

1.(339.)         Egy szögön belül két kör fekszik, A és B középponttal.  Érintik egymást és a szög mindkét szárát. Bizonyítsuk be, hogy az AB átmérőjű kör a szög mindkét szárát érinti.

    (V. Prasolov, 3 pont)

2.(340.)         11 lány és n fiú gombászni ment. Összesen n2 + 9n - 2 darabot találtak, minden gyerek ugyanannyit.  Kik vannak többen, a fiúk vagy a lányok?

    (A. Tolpygo, 3 pont)

3.(341.)         A  D pont az ABC háromszög AB oldalán fekszik, és .  Bizonyítsuk, hogy a C-nél lévő szög tompaszög.

(S Berlov, 3 pont)

4.(342.) Egy körre harminc számot írunk.  A = |BC|, ahol A bármely a körön lévő szám, B és C pedig az A-t követő számok a körön az óramutató járásával megegyező irányban. A körön lévő harminc szám összege 1.  Mik a körön lévő számok?

  ( 3 pont)

SENIOR,  1991-92. ősz,  második  forduló

1.(343.)         Az ABCD húrnégyszögben  BC = CD.  Bizonyítsuk be, hogy a négyszög területe egyenlő
.

(D. Fomin, 6 pont)

2.(344.)         Fel lehet-e osztani a síkot sokszögekre úgy, hogy mindegyik sokszög 360/7 fokos forgásszimmetriával rendelkezzen? A sokszögek minden oldala legyen 1 cm-nél nagyobb!  (Legyen sokszög a sík egy olyan része, melyet önmagát nem metsző zárt töröttvonal határol, és nem feltétlenül konvex.)

 (A. Andjans, 8 pont)

3.(345.)         Elhelyezhető-e 81 darab 1991-nél kisebb, egymástól különböző pozitív egész szám egy 9×9-es tábla mezőiben úgy, hogy minden sorban és minden oszlopban megegyezzen a számok szorzata?

(N.B. Vasziljev, 8 pont)

4.         A juniorok 4. feladata.  Itt 6 pont.

5.(346.)         Legyen M az ABC háromszög súlypontja. M körüli 120 fokos forgatással     B pont P-be, M körüli 240 fokos forgatással C pont Q-ba megy át. Bizonyítsa be, hogy APQ egyenlő oldalú háromszög vagy A, P és Q egybeesnek.

 (Bykovszky, Kabarovszk, 8 pont)

6.(347.)         Egy számtani sorozat, melynek különbsége nem egyenlő 0-val, természetes   számokból áll.  Egyik szám sem tartalmaz 9-est.
a)    Bizonyítsa be, hogy a tagok száma kevesebb, mint 100.
b)    Adjon példát ilyen sorozatra 72 taggal!
c)    Bizonyítsa, hogy a tagok száma nem haladja meg a 72-t, ha a sorozat a fenti tulajdonságú.

 (V. Bugajenko, Tarasov, 3+3+4 pont)

7.         A juniorok 7. feladata.

SENIOR,  1991-92. tavasz,  első forduló

1.         A juniorok 1. feladata.

2.(348.)         Egy háromszög oldalai 3, 4 és 5 egység. Mindegyik oldalt meghosszabbítjuk, míg el nem metszi a szemközti szög külső szögfelezőjét.  Így három új pontot kaptunk.  Igazoljuk, hogy ezek egyike a másik két pont által meghatározott szakasz felezőpontja. 

  (V. Prasolov, 3 pont)

3.(349.) Legyen O egy szabályos n-szög középpontja, melynek csúcsai rendre A1, ...... , An
Legyen a1>a2>…>an>0.  Bizonyítsuk be, hogy az  vektor nem egyenlő a nullvektorral.

 (D. Fomin, A. Kiricsenko, 4 pont)

4.(350.)         10 számot helyeztünk el egy körön. Összegük 100. Bármely 3 szomszédos szám összege  legalább 29. Találja meg azt a minimális A-t, aminél bármely ilyen sorozatra igaz, hogy  a 10-es sorozat  egyik tagja sem nagyobb A-nál. Bizonyítsuk be, hogy A értéke tényleg minimális.    

   (A. Tolpygo, 4 pont)

SENIOR,  1991-92. tavasz,  második forduló

1.(351.)         Bizonyítsuk be, hogy az egész számok szorzata (21917 + 1) -től (21991 – 1) -ig nem négyzetszám.

(V. Senderov, 6 pont)

2.(352.)         Legyenek a és S egy  egységsugarú körbe írt szabályos háromszög oldalhossza és területe! A körbe 51 egyenlő szakaszból álló zárt töröttvonalat írtunk, A1A2...A51A1.  Ebben bármely két szomszédos pont távolsága éppen a.  Tekintsük a következő 51 háromszöget:  A1A2A3, A2A3A4, …, A49A50A51, A50A51A1, A51A1A2.  Bizonyítsuk be, hogy területeik összege legalább 3S.

(A. Berzins, 6 pont)

3.(353.)         Egy  táblázat  i. sorának j. eleme legyen .  Kiválasztunk n mezőt úgy, hogy minden sorban és oszlopban pontosan egy kiválasztott legyen.  Mutassuk meg, hogy a kiválasztott mezőkön álló számok összege  legalább 1.

  (S. Ivanov,  8 pont)

4.(354.)         Az A1A2A3,  B1B2B3,  C1C2C3 háromszögek súlypontjai egy egyenesen vannak.  A háromszögek csúcsai között nincs három egy egyenesen.  Tekintsük mind a 27 háromszöget, melyeknek egy-egy csúcsát rendre az első, második és harmadik háromszögből választottuk.  (AiBjCk típusúak.)  Igazoljuk, hogy ez a 27 háromszög két csoportra osztható úgy, hogy a területösszeg mindkettőben ugyanannyi legyen.

(A. Andjans,  8 pont)

5.(355.)         Adott 100 ezüstérme súly szerint sorba rendezve és 101 aranyérme szintén súly szerinti sorrendben. Bármely két érme súlya különböző. Egy kétkarú mérleggel két érme súlyát összehasonlíthatjuk. Hogy található meg a „középső” súly (ami az 101. helyen van, ha a 201 érmét súly szerint sorba rendezzük) a lehető legkevesebb méréssel?  Igazoljuk, hogy ennél kevesebb mérés nem elegendő.

 (A. Andjans,  12 pont)

6.(356.)         Az n és b természetes számokhoz legyen V(n,b) azon szorzatoknak a száma,  melyeknek értéke n és minden tényezőjük nagyobb, mint b.  Például ,  tehát V(36,2)=5.  Mutassuk meg, hogy   minden n és b értékre.

 (N.B. Vasziljev,  12 pont)

JUNIOR,  1992-93.  ősz első forduló

1.(357.)         101 sakkozó mindegyike már több bajnokságban is indult.  Egyik bajnokságban sem vettek részt mindannyian.  A 101 játékos közül bármely kettő pontosan egyszer indult ugyanabban a bajnokságban.  Igazoljuk, hogy van köztük olyan, aki legalább 11 bajnokságban indult.  (Minden bajnokságban mindenki mindenkivel pontosan egyszer játszik.)

 (A. Andjans,  3 pont)

2.(358.)         Egy paralelogramma minden oldalán választunk egy tetszőleges pontot.  A közös csúcsú (szomszédos) oldalakon levő pontokat összekötjük.  Igazoljuk, hogy a paralelogramma csúcsainál így keletkező négy háromszög köréírt köreinek középpontjai paralelogrammát alkotnak.

(ED Kulanin, 3 pont)

3.(359.)         Mutassuk meg, hogy minden pozitív egész M-nek létezik olyan többese, melynek jegyeinek összege páratlan.

(D. Fomin,  3 pont)

4.(360.)a) Az ABC háromszögben az A-nál nagyobb szög van, mint B-nél.  Mutassuk meg, hogy BC nagyobb, mint AB-nek a fele.
b) Az ABCD konvex négyszögben az A-nál nagyobb szög van, mint C-nél,  a D-nél nagyobb szög van, mint B-nél.  Mutassuk meg, hogy BC nagyobb, mint AD fele.

(F. Nazarov,  2+3 pont)

JUNIOR,  1992-93.  ősz második forduló

1.(361.)         Egy n×n-es táblán nevezzünk "bástya körnek"  egy önmagát nem metsző zárt töröttvonalat, melynek minden szakasza valamely oldallal párhuzamosan halad a mezők mentén.  Kezdetben az egyik átló mentén minden szám 1,  az összes többi pedig 0.  Egy bástyakör mentén levő összes mezőhöz hozzáadhatunk egyet.  Ilyen változtatásokkal elérhetjük-e, hogy minden mezőben ugyanaz a szám álljon?

(AA Jegorov,  4 pont)

2.(362.)         Adott a síkon egy négyzet, benne 1993 szabályos háromszög.  Ezek mindegyik csúcsa a négyzet kerületén fekszik.  Igazoljuk, hogy van a síknak olyan pontja, mely legalább 499 háromszög kerületére illeszkedik.

 (N.  Sendrakjan,  5 pont)

3.(363.)         Van-e olyan egészegyütthatós P(x) és Q(x) polinom, melyekre (P-Q)(x),  P(x)  és (P+Q)(x) mindegyike egy-egy polinom négyzete?  (Tudjuk, hogy Q(x) P(x)-nek nem konstansszorosa.)

 (V. Prasolov,  5 pont) 

4.(364.)         A síkon adott az ABSD töröttvonal,  AB=BC=CD=1  és AD≠1.  B és C rögzítettek, de A és D felváltva elmozdulhatnak.  A-t tükrözzük BD egyenesére,  majd D-t tükrözzük AC egyenesére (az aktuális, már tükrözött A-ról van szó).  Majd A-t tovább tükrözzük a kapott D és B egyenesére, stb.  Igazoljuk, hogy néhány lépés után A és D az eredeti helyükön lesznek.

(M. Koncsevics,  7 pont)

5.(365.)         A sík O csúcsú szögén belül van az A pont.  Legyenek a két szögszáron az M és N pontok úgy, hogy .  Bizonyítsuk be, hogy MN áthalad egy rögzített ponton, vagy mindig párhuzamos egy rögzített iránnyal.

(S. Tokarev,  8 pont)

6.(366.)         Az a(n) sorozatra a(1)=1,  .  (n=1,2,3,…)  Bizonyítsuk be, hogy a sorozatban végtelen sok négyzetszám szerepel.

(A. Andjans,  8 pont)

JUNIOR,  1992-93.  tavasz első forduló

1.(367.)         Az ABC háromszög AB oldalán adott az M pont.  Ismert AB=c és .  Határozzuk meg az AMC és BMC háromszögek magasságpontjainak távolságát. 

(I.F.  Sarygin,  3 pont)

2.(368.)         Az A és B házban is két lakás van.  Macskák és kutyák élnek itt.  Ismert, hogy az A ház első lakásában a macskák aránya az itt élő összes állathoz képest nagyobb, mint a B ház első lakásában.  Ugyanez igaz az A és B ház másik lakásaira is.  Igaz-e, hogy a macskák aránya az A házban nagyobb, mint a B-ben?

(AK. Kovaldji,  3 pont)

3.(369.)         Az a, b és c számok pozitív egészek, legnagyobb közös osztójuk 1, továbbá .  Bizonyítsuk be, hogy a-b négyzetszám.

(SL. Berlov,  3 pont)

4.(370.)         Egy hangya halad egy kocka élei mentén.  Csak csúcsoknál vált irányt.  Az egyik csúcsnál már 25-ször járt.  Lehetséges-e, hogy a többi 7 csúcs mindegyikén eddig pontosan 20-szor járt?

(S.  Tokarev,  4 pont)

JUNIOR,  1992-93.  tavasz, második forduló

1.(371.)         Három pozitív szám összegét megmondtuk Istvánnak, szorzatukat pedig Péternek.  "Ha tudnám"  mondta István, "hogy a te számod nagyobb, mint az enyém, akkor kitalálnám a három számot."  "De a számom kisebb a tiednél", felelte Péter, "és a három szám x, y és z".  Mi volt x, y és z?

(L. Boriszov,  4 pont)

2.(372.)         Az ABC háromszög AC oldalához hozzáírt kör közepe legyen O.  Legyen D az ABO háromszög köréírt körének középpontja.  Igazoljuk, hogy ABCD húrnégyszög. 

(YF.  Akurlics,  4 pont)

3.(373.)         Definiáljuk a * műveletet.  A változók minden értékére x*x=0 és x*(y*z)=(x*y)+z.  Mennyi lesz 1993*1932?

   (G. Galperin,  4 pont)

4.(374.)         Péternek 25 osztálytársa van (őt nem számolva).  Péter észrevette, hogy mindegyiknek különböző számú barátja van az osztályon belül.  Hány barátja lehet Péternek? 

(S Tokarev,  6 pont)

5.(375.)         Egy papírháromszög szögeinek aránya 1:1:7.  Valamely szögfelezője mentén kettévágtuk.  A kapott háromszögek egyikét valamely szögfelezője mentén kettévágtuk, és így tovább.  Mutassuk meg, hogy soha nem kaphatunk a kiindulási háromszöghöz hasonlót.

(AI. Galocskin,  6 pont)

6.(376.)         Egy hosszú kanyargós folyó partjának bármely pontjától legfeljebb 1 km-t úszva eljuthatunk a túlpartra.  Végigcsónakázhatunk-e a folyón úgy, hogy egyik parttól se legyünk  soha
a) 0.7 km-nél;
b) 0.8 km-nél távolabb?
Feltételezhetjük, hogy a part szakaszokból és körívekből áll.

 (G.  Kondakov,  4+4 pont)

7.(377.)         Egy egyenesen van balra egy piros, jobbra egy kék pont.  Bejelölhetünk két új, szomszédos pontot azonos színnel, vagy törölhetünk két meglévő szomszédos azonos színű pontot.  Mutassuk meg, hogy nem maradhat a végén csak két pont úgy, hogy balra egy kék, jobbra pedig egy piros.  (Szomszédos két pont, ha nincs köztük más jelölt pont.)

(A. Belov,  6 pont)

SENIOR,  1992-93.  ősz,  első forduló

1.(378.)         Adott egy kocka, melynek élei n cm hosszúak.  Rendelkezésünkre áll egy nagyon hosszú, 1 cm széles ragasztószalag.  Ezzel szeretnénk beragasztani a kockát.  A szalag mindig valamely éllel párhuzamosan kell, hogy fusson, de éleket keresztezhetünk vele szomszédos lapok találkozásánál.  A szalag nem lóghat az éleken túl és csúcsot nem takarhat.  A szalag hány darabjával fedhető be teljesen a kocka?  (n poz. egész)

  (A Spivak,  4 pont)

2.(379.) Egy végtelen nagy táblára négyzeteket rajzolunk spirális sorrendben:  Az első 1 cm oldalú jobb oldali függőleges éléhez illeszkedik a második, szintén 1 cm oldalú.;  a harmadik (2 cm oldalú) az első és második felső oldalához csatlakozik;  a negyedik (3 cm oldalú)  az első és második bal oldalához csatlakozik;   az ötödik (5 cm oldalú)  a 4. 1. és 2. alsó oldalához csatlakozik;  a hatodik (8 cm oldalú) az eddigiek jobb oldalához és így tovább.  Minden további négyzetnek a korábbi állapot téglalapjával van egy közös oldala.  Mutassuk meg, hogy a négyzetek középpontjai az első kivételével mind két egyenes mentén helyezkednek el. 

(A Andjans,  4 pont)

3.(380.)         Adott véges sok függvény a következő alakban:
y=c2-|x-d|.   Legyenek c és d paraméterek,  c pozitív.  Most definiálunk egy f(x) függvényt az [a, b] intervallumon.  Az intervallum tetszőleges x elemére f(x) értéke legyen az adott függvények x helyen felvett értékeinek maximuma.  Tudjuk, hogy f(a)=f(b).  Mutassuk meg, hogy azon intervallumok összhossza, ahol f nő egyenlő azzal, ahol csökken,  azaz mindkettő (b-a)/2.

Vasziljev,   4 pont)

4. A juniorok 4. feladata.  Itt 1+3 pont.

SENIOR,   1992-93.   ősz, második forduló

1.(381.)         Mutassuk meg, hogy létezik 100 különböző egész olyan sorozata,  hogy bármely kettő szomszédosnak négyzetösszege négyzetszám legyen.

(S Tokarev,  4 pont)

2.(382.)         Van  n3  darab egységkockánk, mindegyik fekete, vagy fehér.  Szeretnénk ezekből egy olyan kockát készíteni, melynek élei n egységnyiek úgy, hogy minden kis kocka pontosan három lapjához, tőle különböző színű kocka csatlakozzon.  Mely n értékekre lehetséges ez?

(S Tokarev,  4 pont)

3.(383.)         Az a(n) sorozatra a(1)=1,  .  (n=1,2,3,…)  Hány egymilliónál kisebb négyzetszámot találhatunk a sorozat első elemei között?

(A Andjans,  6 pont)

4.(384.)         Van egy n×m-es táblázatunk.  Az n·m darab elemének a következő permutációi megengedettek:  tetszőleges permutáció, mely minden elemet a saját sorában hagy  „vízszintes kavarodás”,  illetve olyan, mely minden elemet a saját oszlopában hagy  „függőleges kavarodás”.  Keressük meg azt a k számot, melyre az m·n darab elem tetszőleges permutációja elérhető k megengedett kavarodással, de k-nál kevesebbel nem mindegyik.  

(A Andjans,  8 pont)

5.(385.)         Az ABC háromszög köréírt körét az A-ból induló belső szögfelező D-ben metszi.  Legyen P a beírt kör középpontjának a BC oldal felezőpontjára való tükörképe.  A köréírt kört a PD egyenese másodszor M-ben metszi.  Mutassuk meg, hogy az AM, BM, CM  szakaszok közül az egyik a másik kettő összege.

  (VO Gordon,  8 pont)

6.(386.)         Vegyünk egy 100 élű poliédert.
a)         Ha a poliéder konvex, legfeljebb hány éle metszhető el egy olyan síkkal, mely a poliéder egyetlen csúcsára sem illeszkedik?
b)         Mutassuk meg, hogy ez a szám nem konvex poliéder esetén akár 96 is lehet, de nem lehet 100.

  (A Andjans,   4+3+2 pont)

SENIOR,  1992-1993.   tavasz, első forduló

1.(387.)         Keressük meg az összes olyan kettőhatványt, melynek első jegyét törölve ismét egy kettőhatványt kapunk.  (mindez persze tízes számrendszerben)          

(A Perlin,  3 pont)

2.(388.)         Az ABCD húrnégyszög AB és CD oldalegyeneseinek metszéspontja legyen M,  A BC és AD oldalegyeneseké pedig N.  Tudjuk, hogy BM=DN.  Bizonyítsuk be, hogy CM=CN.    

(F Nazarov,  3 pont)

3.(389.)         Leírjuk egy sorba a következő számokat:      1,    1/2,    1/3,    1/4,    …..,    1/1993. 
A következő sorba  a szomszédosak különbségeit:     1/2,    1/6,    ……,     1/(1992·1993).  Így folytatva minden sorban egyel kevesebb szám lesz.  Mely szám áll az utolsó sorban egyedül?

 (GW  Leibnitz,  3 pont)

4.(390.)         Van három kupac kavicsunk.  Valamely kupachoz hozzátehetünk, vagy elvehetünk belőle annyi kavicsot, amennyi a másik kettőben van összesen.  Például a [12,3,5]-ből lehet [12,20,5], ha a második kupachoz adunk12+5-öt, vagy lehet [4,3,5] is, ha az elsőből elveszünk 3+5-öt.  Az [1993,199,19] kupacokból indulva elérhető-e, hogy az egyik kupac éppen elfogyjon?

(MN Gusarov,   4 pont)

SENIOR,  1992-93.   tavasz, második forduló

1.(391.)         Egy egységnégyzet belsejében egymást nem fedő kisebb négyzetek vannak.  A kis négyzetek különböző méretűek lehetnek.  Meghúzzuk az egységnégyzet egyik átlóját és tekintjük azon kis négyzeteket, melyeket ez az átló elmetsz.  Lehet-e ezek kerületének összege nagyobb, mint 1993?

 (AN Volmogorov,  4 pont)

2.(392.)         Az ABC háromszög AB oldalára kifele rajzolunk egy O középpontú négyzetet.  Legyenek M és N rendre a BC és AC oldalak felezőpontjai.  BC=a és AC=b rögzített,  a C-nél levő szög változhat.  Legfeljebb mekkora lehet OM+ON?

(IF Sarygin,  5 pont)

3.(393.)         Szeretnénk k ember közt szétosztani egy örökséget.  Egy örököst szegénynek nevezünk, ha 99$-nál kevesebbet, és gazdagnak, ha 10 000$-nál többet kap.  Lehetnek olyan örökösök is, akik sem szegénynek, sem gazdagnak sem tekinthetők.  Az örökség összege és az örökösök száma olyan, hogy bárhogy osztják szét,  a gazdag örökösök összes öröksége nem lesz kevesebb, mint a szegényeké.  Mutassuk meg, hogy a gazdag örökösök összesen legalább 100-szor annyit kaptak, mint a szegények összesen.

 (F Nazarov,  5 pont)

4.(394.)         Pozitív egészeket írunk a táblára egymás után.  A soron következő tagnak mindig olyannak kell lennie, hogy ne fejezhessük ki a korábbiaknak nem negatív egész együtthatós lineáris kombinációjával.  Azaz az an+1-et ne írhassuk fel k1·a1+k2·a2+….+kn·an alakban, ahol ki számok nem negatív egészek.  Mutassuk meg, hogy a sorozat nem lehet végtelen hosszú.

 (A. Belov,  6 pont)

5.(395.)         Létezik-e olyan "darabonként lineáris" függvény, mely a [-1,1]-en értelmezett s melyre f(f(x))=-x teljesül minden x-re?  (Egy függvényt nevezzünk darabonként lineárisnak, ha grafikonja véges sok pont és szakasz uniója; nem kell folytonosnak lennie. )

   (6 pont)

6.         A juniorok 6. feladata.  Itt 3+3 pont.

7.(396.)         Egy növényhatározó minden növényt ugyanazon 100 tulajdonság segítségével ír le.  Minden növény egy adott tulajdonság szerint nézve vagy rendelkezik azzal, vagy nem.  Két növényt  "jelentősen különbözőnek" tartunk, ha legalább 51 tulajdonságban eltérőek.
a)         Mutassuk meg, hogy a növényhatározóban nem lelhetünk 50-nél több, páronként jelentősen különböző növényt.
b)         Található 50 ilyen?

(Dima Teresin,  4+4 pont)

JUNIOR,  1993-94.   ősz,  első forduló

1.(397.)         Vegyünk egy hatszöget, egy-egy számmal az oldalain és a csúcsain. Bármely csúcsra írt szám egyenlő a csúcsból induló oldalakra írt számok összegével. Tegyük fel, hogy az összes oldalra írt számot és egy csúcsra írt számot leradíroztunk az ábráról. Meg tudjuk határozni azt, hogy melyik számot radíroztuk le a csúcsról?

(3 pont)

2.(398.)         Egy háromszög A, B, C csúcsait összekötjük a velük szemközti oldalakon levő A’, B’, C’ pontokkal, melyek nem esnek egybe a háromszög csúcsaival. Lehetséges az, hogy az AA’, BB’, CC’ szakaszok felezőpontjai egy egyenesbe esnek?

(3 pont)

3.(399.)         Adott egy A természetes szám. Hozzáadhatunk egy számot az osztói közül (1<d<A). Ezután újra megtehetjük ezt, az A+d osztói közül adva hozzá az egyiket. Bizonyítsuk be, hogy A=4-től indulva bármely összetett számot megkaphatjuk ezekkel a lépésekkel.  

(M. Vyalyi, 4 pont)

4.(400.)         Három játékos, Aladár, Bendegúz és Cecília részt vesz egy versenyen (mindannyian ugyanannyi játszmát játszanak egymással). Lehetséges-e az, hogy Aladárnak több pontja lesz a verseny végén, mint a többieknek, Cecíliának kevesebblesz, mint a többieknek, de Aladár kevesebb partit nyert, mint a többiek, Cecília pedig többet, mint a többiek? (A győzelem 1, a döntetlen 0,5 pontot ér.)

(A. Rubin, 5 pont)

JUNIOR,  1993-94.   ősz,  második forduló

1.(401.)         Tíz egész számot leírtunk egy sorba. Egy második, szintén 10 számból álló sort a következőképpen írtunk le: bármely első sorban lévő A egész alatti  egész egyenlő  az A jobb oldalán szereplő, A-nál nagyobb számok számával. Ugyanígy kaptuk a  harmadik sort, és így tovább.
a) Bizonyítsuk be, hogy néhány ilyen lépés után megjelenik egy csak nullákból álló sor.
b) Legfeljebb hány, nem csak nullákból álló sor lehet? 

(S. Tokarev, 2+2 pont)

2.(402.)         A   PQRS négyzet úgy helyezkedik el az ABCD négyzet belsejében, hogy az AP, BQ, CR és DS szakaszok egyike sem metszi a másikat, vagy a PQRS négyzetet. Bizonyítsuk be, hogy az ABQP és CDSR négyszögek területének összege egyenlő a BCRQ és DAPS négyszögek területének összegével.

(3 pont)

3.(403.)         Egy nem-konvex, önmagát nem metsző négyszög három szöge 45 fok (azaz a negyedik 225 fok). Bizonyítsuk be, hogy oldalainak felezőpontjai egy négyzet csúcsai.

(V Proizvolov, 3 pont)

4.(404.)         Egy 8×8-as táblán minden egységoldalú négyzet egyik átlóját behúzzuk. Vegyük a 64 megrajzolt átló unióját, jelölje ezt W.  A  W halmaz tartalmaz néhány összekötött részt (két pont akkor és csak akkor tartozik egy részhez, ha W tartalmaz egy vonalat a két pont között). Lehet nagyobb az ilyen részek száma
a) 15-nél?
b) 20-nál?

 (NB Vasziljev, 2+3 pont)

5.(405.)         Jelölje S(n) az n (tízes számrendszerbeli) szám jegyeinek összegét. Léteznek-e olyan n, p, q természetes számok, melyekre teljesül, hogy n+S(n) = p+S(p) = q+S(q)?

(M Gerver, 6 pont)

6.(406.)         Készítsünk egy k darab egész grammos súlyból álló készletet úgy, hogy az összes egész grammot ki tudjuk mérni 1-55 g között, még akkor is, ha néhány súly elveszik a készletből. Tekintsünk két változatot:
a) k = 10, és bármely súly elveszhet, de csak az egyik.
b) k =12, és bármely két súly elveszhet.
(Mindkét esetben bizonyítsuk be, hogy a készlet megfelel a követelményeknek.) 

(D Zvonkin, 4+4 pont)

JUNIOR,  1993-94.   tavasz,  első forduló

1.(407.)         Szerkesszünk meg egy konvex négyszöget, ha adottak oldalainak hosszai, valamint az átlók felezőpontjait összekötő szakasz hossza.

(3 pont)

2.(408.)         60 gyerek ment el egy nyári táborba. Bármely 10 gyerek között van legalább 3, akik ugyanabban a háztömbben laknak. Bizonyítsuk be, hogy van legalább 15 gyerek ugyanabból a háztömbből.

(4 pont)

3.(409.) Legyen O az A1A2…An konvex sokszög belsejében úgy, hogy
OA1Anszög ≤OA1A2szög ≤OA2A1szög≤OA2A3szög ≤ ... ≤OAn-1An-2szög ≤OAn-1Anszög ≤OAnAn-1szög ≤OAnA1szög,
ahol az összes szög hegyesszög. Bizonyítsuk be, hogy O a sokszög beírt körének középpontja.

  (V Proizvolov, 4 pont)

4.(410.)         Tíz pénzdarab van körben elhelyezve, mindegyik fejet ábrázol (az írás van alul). Két lépés engedélyezett:
a) megfordítani négy egymás melletti érmét,
b) megfordítani négy érmét, amelyek így helyezkednek el: XXOXX (X egy megfordítandó érme, O érintetlen marad).
Lehetséges-e ilyen lépésekkel elérni azt, hogy mind a tíz pénzen írás legyen felül?

(A Tolpygo, 5 pont)

JUNIOR,  1993-94.   tavasz, második forduló

1.(411.)         Egy kislány elfelejtette kiírni a szorzójelet két három-jegyű szám közé, és egybe írta őket. Ez a hatjegyű szám háromszor nagyobbnak bizonyult, mint a szorzás eredménye. Találjuk meg ezeket a számokat.

 (A Kovaldzhi, 3 pont)

2.(412.)         Két kör metszi egymást az A és B pontokban. Érintőket húzunk a két körhöz A-ban, melyek metszik a köröket az M és N pontokban. A BM és BN egyenesek további egy-egy pontban metszik a köröket, P-ben és Q-ban. Bizonyítsuk be, hogy az MP és NQ szakaszok egyenlők.

(I Nagel, 3 pont)

3.(413.)         450 parlamenti képviselő mindegyike ad egy pofont egy másik képviselőnek. Bizonyítsuk be, hogy ezek után tudnak választani egy 150 tagú bizottságot úgy, hogy ők nem kaptak pofont a bizottság egyik tagjától sem.

   (3 pont)

4.(414.)         Bizonyítsuk be, hogy bármely tíz elem között van két egyenlő, ha minden sorból és oszlopból csak egy elemet választhatunk.

0123...9
9012...8
8901...7
...
1234...0

(A Savin, 4 pont)

5.(415.)         Létezik olyan konvex ötszög, melyből egy vágással levágható egy hozzá hasonló ötszög?

(S Tokarev, 5 pont)

6.(416.)         A számegyenesen minden egésznél van egy lámpa egy kapcsolóval. Ha a kapcsolót megnyomjuk, az égő lámpa lekapcsolódik, míg egy nem égő felkapcsolódik. Kezdetben semelyik lámpa sem ég. Egy sablon, véges darab, egymástól egész távolságra levő lyukkal rajta, van a számegyenesen. A sablont merev testként mozgathatjuk a számegyenes mentén, és bármely meghatározott helyzetében megnyomhatjuk az összes kapcsolót, melyek elérhetők a lyukakon keresztül. Bizonyítsuk be, hogy bármilyen sablonnal el tudjuk érni azt, hogy pontosan két lámpa égjen.

(B Ginsburg, 5 pont)

7.(417.)         Egy 10×10-es négyzethálón (amit úgy hívunk, “az öböl”),  el kell helyeznünk 10 “hajót”: egy darab 1×4-es hajót, két darab 1×3-as hajót, három darab 1×2-es hajót és négy darab 1×1-es hajót. A hajóknak nem lehetnek közös pontjaik (még a sarkuk sem), de érinthetik az öböl “partját”. Bizonyítsuk be, hogy:
a) a fenti sorrend szerint egymás után rakva le a hajókat, mindig lehetséges a hajók elhelyezése.
b) ha fordított sorrendben helyezzük el a hajókat (a kisebbekkel kezdve), elérhető olyan helyzet, hogy a következő hajó nem fér el (mutassunk erre példát).    

 (KN Ignatjev, 5+2 pont)

SENIOR,  1993-94.  ősz,  első forduló

1.(418.)         Véges, vagy végtelen sok megoldása van a következő egyenletnek a pozitív egészek körében:  x2+y3=z2.

(3 pont)

2.(419.)         Az ABC derékszögű háromszög AB átfogóján van az N és M pont úgy, hogy BC=BM és AC=AN.  Mutassuk meg, hogy az MCN szög 45 fokos.

(3 pont)

3.(420.)         Az 1,2,3, …,25 számokat beírtuk egy 5×5-ös táblázatba.  Minden sorban balról jobbra  növekvő sorrendben vannak.  Keressük meg a középső oszlopban álló számok összegének legkisebb és legnagyobb lehetséges értékét.

 (5 pont)

4.(421.)         Péter egy furcsa dobókockát készít.  Minden lapjára különböző pozitív egész kerül.  A szomszédos lapok számainak eltérése legalább kettő.  Legalább mennyi lesz a hat szám összege?

    (5 pont)

SENIOR,  1993-94.  ősz,  második forduló

1.(422.)         Egy körhöz a külső C pontból érintőket húzunk,  az érintési pontok A és B.  Tekintsük az ABC "íves háromszöget", melyet a rövidebb AB ív és az AC és BC szakaszok határolnak.  Mutassuk meg, hogy ebbe nem rajzolható CA=CB-nél hosszabb szakasz.

(3 pont)

2.(423.)         Felírjuk egymás mellé a számokat 1-től n-ig:  123…91011…99100…(n).  létezik olyan n, melyre mind a tíz jegy ugyanannyiszor szerepel a sorozatban?     (A Andjans,  3 pont)
3.(424.)         Két nem feltétlenül azonos méretű szabályos háromszög metszi egymást.  A csúcsaik egy hatszöget alkotnak.  Az egyik háromszöget eltoljuk (de el nem forgatjuk) úgy, hogy továbbra sincs takarásban a csúcsok egyike se és még mindig metszik egymást.  Igazoljuk, hogy közben a hatszög területe nem változott.

(V. Proizvolov,  3 pont)

4.(425.)         Egy konvex 1993 szöget hétszögekre vágtunk.  A hétszögek csúcsai lehetnek az eredeti sokszög csúcsai, vagy az eredeti sokszög belső pontjai.  Két hétszögnek vagy nincs közös pontja, vagy egyetlen közös csúcsuk van, vagy egy teljes oldaluk közös.  Bizonyítsuk be, hogy az eredeti 1993 szögnek lesz három szomszédos oldala, melyek ugyanahhoz a hétszöghöz tartoznak.  

(A Kanel-Belov,  6 pont)

5.(426.)         Egy négyzet sarkaiban ül egy-egy béka.  Tetszőleges sorrendben ugrálnak, de egyszerre csak egy ugrik.  Minden ugró a másik három béka közös súlypontjára tükrözi az induló helyét és oda ugrik.  Előfordulhat-e, hogy valamelyik béka ráugrik egy másikra?   

(A. Andjans,  6 pont)

6.(427.)         Tudjuk, hogy a következő egyenletnek van valós gyöke:  x4+ax3+2x2+bx+1=0.  Bizonyítsuk be, hogy a2+b2≥8.

 (A. Jegorov,  8 pont)

SENIOR,  1993-94.  tavasz,  első forduló

1.(428.)         Az ABC háromszög köréírt körének A-val átellenes pontja legyen A1.  A BC oldal felezőpontja legyen A0.  Legyen A2 az A1 pontnak az A0-ra vonatkozó tükörképe.  Hasonlóan definiáljuk a B2 és C2 pontokat.  Mutassuk meg, hogy A2, B2, C2 egybeesnek.

  (4 pont)

2.(429.)         Az a1, a2, … sorozat tagjai pozitív egészek.  Tudjuk, hogy minden pozitív egész n-re az an+2x2+an+1x+an=0  egyenletnek van valós gyöke.  (a)  Lehet-e a sorozatnak 10 eleme?   (b)  Lehet-e a sorozatnak végtelen sok eleme?

   (A. Sapovalov,  3 pont)

3.(430.)         Egy tábla csokoládén egyik irányban 8, a másikban 5 osztóvonal segíti a feldarabolást.  Összesen 9×6=54 "kockára" törhető így a csoki.  Két játékos felváltva törhet a csokiból egy egységnyi széles csíkot és azt megeheti.  Ha valaki a végén egy két egységnyi széles csíkot széttör két darab egységnyi szélessé, akkor ő megeszi az egyik darabot, a másik játékos pedig a másikat.  Mutassuk meg, hogy az első játékos meg tud enni legalább 6 "kockával" többet, bárhogy játszik is a másik.

(R Fedorov,  4 pont)

4.         A juniorok 4. feladata.  Itt 4 pont.

SENIOR,  1993-94.  tavasz, második forduló

1.(431.)         Van-e végtelen sok olyan egészekből álló számhármas (nem feltétlenül pozitívok), melyekre x2+y2+z2=x3+y3+z3?                                              

(NB. Vasziljev,  3 pont)

2.(432.)         Tekintsük a 0 és 1 közötti számok azon sorozatát, melynek x utáni tagja 1-|-2x|.
  a)         Mutassuk meg, hogy amennyiben az első elem racionális, akkor a sorozat periodikus.
b)         Mutassuk meg, hogy amennyiben a sorozat periodikus, akkor az első elem racionális.

(G. Sabat,  2+2 pont)

3.(433.)         A P(x) polinomnak legalább egy együtthatója negatív.  Lehetséges-e, hogy minden hatványában (P(x)n, ahol n>1 egész)  csak pozitív együtthatók szerepeljenek?

(O. Krizanovszkij,  4 pont)

4.(434.)         Az ABC háromszög BC oldalán van a D pont.  Az ABD és ACD háromszögek beírt köreinek közös külső érintője K-ban metszi AD-t.  Mutassuk meg, hogy AK hossza nem függ D helyétől.

(I. Sarygin, 5 pont)

5.(435.)         Keressük meg a legnagyobb olyan M egészet, melynek utolsó jegye nem 0, továbbá valamely, de nem az első, jegyének letörlésével  M-nek egy osztóját kapjuk.

(A. Galocskin,  5 pont)

6.(436.)         Az ABCD konvex négyszög szemközti oldalait meghosszabbítjuk, hogy messék egymást.  BA és CD metszéspontja P,  BC és AD metszéspontja pedig Q.  A négyszög A-nál és C-nél levő külső szögfelezőinek metszéspontja legyen K.  .  A négyszög B-nél és D-nél levő külső szögfelezőinek metszéspontja legyen L.  A P-nél és Q-nál levő szögek külső szögfelezőinek metszéspontja M.  Bizonyítsuk be, hogy K, L, M  egy egyenesre esnek.

(S. Markelov,  5 pont)

7.(437.)         Legyen F egy tetszőleges síkidom (nem konvex).  F húrjának nevezünk egy olyan szakaszt, melynek két végpontja F határára esik, többi pontja pedig F-nek belső pontja. 
a)         Létezik-e mindig olyan húr, mely felezi F területét?
b)         Mutassuk meg, hogy mindig létezik olyan húr, hogy mindkét oldalára a síkidom területének legalább az 1/3-a kerül.
c)         A b)-beli 1/3 szám növelhető-e?

 (V. Proizvolov,  3+3+2 pont)

JUNIOR,  1994-95.  ősz, első forduló

1.(438.)         Néhány fiú és lány keringőt táncol. Lehetséges-e, hogy mindegyik lány mindig el tudja táncolni a következő táncot egy  szebb, vagy okosabb fiúval mint az előző volt és, hogy minden alkalommal legalább egy lány el tudja táncolni a következő táncot egy szebb és okosabb fiúval, mint az előző partnere? (A fiúk és lányok száma megegyezik és mindenki táncol.)

(AY Belov, 3 pont)

2.(439.)         Adott két kör a síkon,  egyik a másikon belül van. Szerkesszük meg a kisebb körön belül azt az O pontot, melyre az O-ból induló összes félegyenest a körök olyan A és B pontokban metszik,  melyekre az OA/OB arány állandó.

(3 pont)

3.(440.)         Keressünk öt olyan pozitív egészt, melyek közül bármely kettőnek a legnagyobb közös osztója megegyezik a különbségükkel.

(SI. Tokarev, 5 pont)

4.(441.)         Kukutyinban az  iskolában 20 diák tanul.  Bármely kettőnek van egy közös nagyapja.  Igazoljuk, hogy van 14 diák, akiknek van egy közös nagyapjuk.

 (AV. Sapovalov,  5 pont)

JUNIOR,  1994-95.  ősz, második forduló

1.(442.)         Néhány dobozba diókat tettünk.  Dobozonként átlagosan 10 dió van.  A diók dobozonkénti számának négyzetét átlagolva 1000-nél kisebb számot kapunk.  Mutassuk meg, hogy a dobozoknak legalább 10%-a nem üres.

(AY. Belov,   3 pont)

2.(443.)         Egy 8×8-as táblázat 64 egységnégyzetből áll.  Szeretnénk ezt fedni 64 darab fekete és 64 darab fehér azonos méretű egyenlőszárú derékszögű háromszöggel.  Egy fedés szép, ha bármely két oldalszomszédos háromszög különböző színű.  Hány különböző szép fedés van? 

(NB. Vasziljev,  4 pont)

3.(444.)         Az l és m egyenesek egymásra merőlegesek,  metszéspontjuk éppen egy kör kerületére esik,  így a körvonalat három ívre vágják.  Minden íven kiválasztunk egy Mi pontot úgy, hogy a kör Mi-beli érintőjének m és l közé eső szakaszát Mi éppen felezze.  Mutassuk meg, hogy az M1M2M3 háromszög szabályos.

(Przhevalszki,  4 pont)

4.(445.)         Kiválasztható-e az 1, 1/2, 1/3, …sorozatból  (a) egy 100 elemű részsorozat;  (b) egy végtelen részsorozat úgy, hogy minden számra (a harmadiktól kezdve) teljesüljön:
ak=ak-2–ak-1.

(SI Tokarev,  3+2 pont)

5.(446.)         Adott két periodikus sorozat, 7 és 13 hosszú periódussal.  Legfeljebb az első hány elemük lehet azonos?

(AY. Belov,  6 pont)

6.(447.)         Adott hat egész szám.  Vegyük hatodik hatványaik összegét és vonjunk ki belőle egyet.  Így pontosan szorzatuk hatszorosát kaptuk.  Mutassuk meg, hogy egyikük 1, vagy -1,  a többi pedig 0.

(LD. Kurliandcsik,  6 pont)

7.(448.)         Legyen n darab kör metszete az F alakzat.  (A körök sugarai lehetnek eltérők.)  Legfeljebb hány íves oldala lehet F-nek?

(N.  Brodszki, 9 pont)

JUNIOR,  1994-95.  tavasz, első forduló

1.(449.)         Katinak 10, 15 és 20 forintos bélyegei vannak, 30 darab, összesen 500 Ft értékben.  Bizonyítsuk be, hogy több 20 forintos bélyege van, mint 10 forintos.

(3 pont)

2.(450.)         Három, szöcske, A, B, C egy egyenes mentén helyezkedik el.  Az A és C jelűek felezőpontjában van a B jelű.  Minden másodpercben valamelyik szöcske átugorja egy társát úgy, hogy az ugrás két végpontja szimmetrikus legyen az átugrott szöcskére.  Néhány ugrás után éppen azokon a helyeken vannak, mint az induláskor.  (Csak esetleg más sorrendben.)  Bizonyítsuk be, hogy B most is biztosan a középső.

(AK. Kovaldzhy,  3 pont)

3.(451.)         A T1 négyzetbe rajzolt kör L, az L-be rajzolt négyzet T2.  A T1 négyzet csúcsai rajta vannak T2 oldalegyenesein.  Mekkorák annak a konvex nyolcszögnek a szögei, melynek csúcsai T1 oldalainak L-en levő érintési pontjai és T2 csúcsai?

  (S. Markelov,  4 pont)

4.(452.)         Mutassuk meg, hogy 40…09 (a 4 és 9 között legalább egy nulla van) nem lehet négyzetszám.                                                                                   

(V. Senderov, 4 pont)

JUNIOR,  1994-95.  tavasz, második forduló

1.(453.)         Legyenek a, b, c egészek.  Tudjuk, hogy (a/b)+(b/c)+(c/a) és (a/c)+(c/b)+(b/a) is egészek.  Mutassuk meg, hogy |a|= |b|=|c|.

(A. Gribalko,  4 pont)

2.(454.)         Az ABCDEFGHIJ egységoldalú szabályos tízszögből egy egyenes a PAQ háromszöget metszi le.  PA+AQ=1.  Tekintsük a tízszög A-tól különböző kilenc csúcsát és azon szögeket, amely alatt ezekből PQ látszik.  Mekkora a szögek összege?

 (V. Proizvolov,  4 pont)

3.(455.)         Adott az ABC szabályos háromszög.  Keressük meg azon P pontok mértani helyét, melyekre az AP és BP egyeneseknek ugyanakkora szakasza esik a háromszög belsejébe. 

(4 pont)

4.(456.)         Lehet-e a+b+c+d prím, ha a, b, c, d pozitív egészek és ab=cd?

  (5 pont)

5.(457.)         Adott négy egybevágó derékszögű háromszög.  Bármely háromszöget kettévághatunk az átfogójához tartozó magassága mentén és az így keletkezőkkel is megtehetjük ezt.  Igazoljuk, hogy bármennyi vágás után marad legalább kettő egybevágó háromszög.

(AV. Sapovalov, 8 pont)

6.(458.)         Elhelyezhető-e hat paralelepipedon (semely kettőnek nincs közös pontja) úgy a térben, hogy valamely külső pontból egyetlen csúcsot se láthassunk?  (nem átlátszóak)

(V. Proizvolov,  8 pont)

7.(459.)         Egy geológus expedíció 80 konzervet vitt magával.  Minden doboz súlya különböző és ismert, erről van egy listájuk.  Sajnos a konzervdobozok feliratai olvashatatlanná váltak.   A szakács azt állítja, hogy tudja, melyikben mi van.  Ezt be is tudja bizonyítani a nélkül, hogy felbontana akár csak egyet is.  Ehhez csak a listára és egy kétkarú mérlegre van szüksége, mely jelzi a két oldalon levő súly  különbségét.  Mutassuk meg, hogy ehhez
a)         négy mérés elegendő.
b)         három mérés nem elegendő.

   (AK. Tolpygo,  4+4 pont)

SENIOR, 1994-95. ősz, első forduló

1.(460.)         Néhány fiú és lány keringőt táncol. Lehetséges-e, hogy mindegyik lány mindig el tudja táncolni a következő táncot egy szebb, vagy okosabb fiúval mint az előző volt és, hogy minden alkalommal legalább 80 %-a a lányoknak el tudja táncolni a következő táncot egy szebb és okosabb fiúval? (A fiúk és lányok száma megegyezik és mindenki táncol.)

(AY Belov, 3 pont)

2.(461.) Bizonyítsuk be, hogy megszerkeszthető két háromszög egy tetszőlegesen kiválasztott tetraéder hat éléből.

(VV Proizvolov, 4 pont)

3.(462.)         Legyenek a, b, c és d olyan valós számok amelyekre teljesül, hogy:
.
Bizonyítsuk be, hogy a négy közül valamely két szám összege 0.   

 (LD Kurliandchik, 4 pont)

4.(463.)         Egy téglalap alakú 1x10-es szalagot szétosztunk 10 darab 1x1-es négyzetre. Az 1, 2, ..., 10 számokat beírjuk a négyzetekbe a következő szabály szerint: Először az 1-es számot elhelyezzük egy szabadon kiválasztott négyzetbe, utána a 2-es számot egy szomszédos négyzetbe majd a 3-as számot egy már korábban elfoglalt mezővel szomszédos üres mezőbe  és így tovább (10-ig). Hány különböző permutációját kapjuk meg az 1, 2, ..., 10 számoknak ily módon? 

 (A Shen, 5 pont)

SENIOR, 1994-95. ősz, második forduló

1.(464.)         Az  egyenlet p és q együtthatóit,  megváltoztattuk és az újak legfeljebb 0.001-gyel  különböznek a régiektől. Különbözhet-e az új egyenlet  nagyobbik gyöke a régitől 1000-rel vagy annál többel?

(3 pont)

2.(465.)         Mutassuk meg hogy lehet a teret
a) egybevágó tetraéderekre
b) egyenlőoldalú egybevágó tetraéderekre
osztani. (Egy tetraédert egyenlőoldalúnak nevezünk ha az összes oldala egybevágó háromszög.)

(NB Vassiliev, 2+2 pont)

3.(466.)         Az AD súlyvonal az ABC háromszög beírt körét (amelynek a középpontja O) az X és Y pontokban metszi. Mekkora az XOY szög ha AC = AB + AD?

(A Fedotov, 4 pont)

4.(467.)         Bizonyítsuk be, hogy minden pozitív számra az

egyenlőtlenség érvényes.

(LD Kurliandchik, 5 pont)

5.(468.)         Két periodikus sorozatnak a periodusa, m és n, relatív prím egymáshoz.  Legfeljebb az első hány eleme egyezhet meg a két sorozatnak?

 (AY. Belov,  6 pont)

6.(469.)         Legyen cn a 2n–nek az első számjegye (a 10-es számrendszerben). Bizonyítsuk be, hogy ennek a sorozatnak 13 szomszédos eleme, (ck,ck+1,....,ck+12)  57 féle lehet. 

(AY. Belov, 7 pont)

7. A juniorok 7. feladata.  Itt 8 pont.

SENIOR, 1994-95. tavasz, első forduló

1.(470.)         Legyenek  a  intervallum pontjai. Bizonyítsuk be, hogy létezik olyan pont ebben az intervallumban, amelyre érvényes a következő:
.

  (LD Kurliandchik, 3 pont)

2.(471.)         Egy négyzet minden csúcsában egy-egy szöcske ül. Minden másodpercben az egyik szöcske átugrik egy másik szöcskén az erre a csúccsal tükrös pontba (ha az  X jelű az Y-on keresztül ugrik át az X’ pontba, akkor X, Y és X’ egy egyenesen vannak és XY = YX’). Bizonyítsuk be, hogy néhány ugrás után semelyik három szöcske sem lehet:
a) a négyzet valamelyik oldalával párhuzamos egyenesen
b) egy egyenesen.

(AK Kovaldzhy, 3+3 pont)

3.(472.)         Egy O középpontú körbe egy ABC háromszöget írtunk be. Legyen q az a kör amelyik az A, O és B pontokon megy keresztül. CA és CB egyenesek q-t a D és E (A és B-től különböző) pontokban metszik. Bizonyítsuk be, hogy a CO és DE egyenesek egymásra merőlegesek.

(S Markelov, 4 pont)

4.(473.)         Bizonyítsuk be, hogy az  a0...09 (melyben a 0-tól különböző számjegy és melyben legalább egy 0 van) nem  négyzetszám.

 (VA Senderov, 4 pont)

SENIOR, 1994-95. tavasz, második forduló

1.(474.)         Létezik-e olyan gömb, amelyik csak egy racionális ponton halad át? (A racionális pont az olyan pont, amelynek  koordinátái mind racionális számok.)

(A Rubin, 4 pont)

2.(475.)         Az n mely értékeire lehetséges egy n-szög alapú hasáb éleit kiszínezni három színnel úgy, hogy minden csúcsban legyen mindhárom színű él és a hasáb összes lapja –az alap és fedőlap is- tartalmazzon mindhárom színű élt?

(AV Shapovelov, 4 pont)

3.(476.)         Egy trapéz nem párhuzamos oldalai két körnek az átmérői. Bizonyítsuk be, hogy mind a négy érintő, amit az átlók metszéspontjaiból szerkesztünk a két körhöz, egyenlő hosszú (ha ez a pont a két körön kívül helyezkedik el).

(S Markelov, 5 pont)

4.(477.)         Néhány pontot megjelöltünk a síkon, melyeknek koordinátái egész számok. Tudjuk, hogy semelyik négy pont sem fekszik egy körön. Bizonyítsuk be, hogy létezik olyan 1995 egységnyi sugarú kör, amelyben nincs megjelölt pont.

(AV Shapovelov, 6 pont)

5.(478.)a) Osszuk fel a [0,1] intervallumot kisebb fekete és fehér intervallmokra úgy, hogy bármely legfeljebb másodfokú p(x) polinom  növekményeinek összege a fekete és fehér intervallumokon egyenlő legyen. (p(x) növekményén [a,b]-n  p(b)-p(a) értendő.)
b) Felosztható-e úgy az intervallum, hogy minden legfeljebb 1995-ödfokú polinomra megmaradjon a kívánt tulajdonság?

(Burkov,  4 pont)

6.(479.)         Létezik-e olyan nem konvex poliéder, amelynek egyik csúcsa sem látható egy külső M pontból? (A poliéder anyaga nem átlátszó.)

(AY Belov, S Markelov, 8 pont)

7.(480.)         Bizonyítsuk be, hogy egy 50 tagú csoportban mindig van két ember, akiknek páros számú (a 0 is lehetséges) közös ismerőse van a csoporton belül.

(SI Tokarev, 10 pont)

JUNIOR,   1995-96. ősz, első forduló

1.(481.)         Adott a síkon egy négyzet.  Valaki egy láthatatlan pontot helyez el a síkon, melyet csak ő lát egy különleges szemüveggel.  Szeretnénk eldönteni, a négyzet belsejében van-e.  Ha behúzunk egy egyenest az illető megmondja, melyik oldalán van a pont, vagy azt, hogy éppen rajta van.  Hány egyenesre lesz szükségünk? 

(3 pont)

2.(482.)         Megadható-e 100 különböző pozitív egész úgy, hogy összegük és legkisebb közös többesük ugyanannyi legyen?

(S. Tokarev,  3 pont)

3.(483.) Az egységnyi területű ABCD téglalapot  összehajtottuk egy egyenes mentén úgy, hogy C  A-hoz került.  Igazoljuk, hogy a kapott ötszög területe kisebb 0,75-nél.

(3 pont)

4.(484.)         Az ABC háromszög A csúcsából három szakaszt húztunk.  AM a belső, AN a külső szögfelező,   AK a köréírt kör érintője.  (M, K, N a BC oldalegyenesen vannak.)  Bizonyítsuk be, hogy MK=KN.

(I. Sharigin,  5 pont)

JUNIOR,   1995-96. ősz, második forduló

1.(485.)         Mutassuk meg, hogy minden hegyesszögű háromszög belsejében kiválasztható egy pont úgy, hogy az oldalakra eső vetületei éppen egy szabályos háromszöget határoznak meg. 

   (N.B. Vasziljev, 5 pont)

2.(486.)         Egy sorozat első öt eleme 1,2,3,4,5.  Innen kezdve minden elem az összes előtte levő elem szorzatánál eggyel kisebb. Igazoljuk, hogy az első hetven elem szorzata egyenlő négyzeteik összegével.

(L.D. Kurliandcsik,  5 pont)

3.(487.)         Az ABC háromszög szögfelezői legyenek AK,BL,CM.  Legyen P és Q a BL és CM egyeneseinek olyan pontjai,  melyekre AP=PK és AQ=QK.   Mutassuk meg, hogy
.

(I. Sharigin, 5 pont)

4.(488.)         Egy összejövetelen n ember van.  Egy újságíró keresi Z-t, akiről  tudja, hogy Z mindenkit ismer, de senki sem ismeri Z-t.  Újságírónk tetszőlegesen választhat két embert s egyiküktől megkérdezheti, ismeri-e a másikat.  A válaszok igazak.  (Egy ember többször is választható.)
a) Biztosan megtalálhatja Z-t n-nél kevesebb kérdésből?
b)  Hány kérdésre van legalább szükség Z megtalálásához? 

(G. Galperin,  3+3 pont)

5.(489.)         Egyszerű sokszögnek nevezünk egy olyan alakzatot, melynek határa egy önmagát nem metsző zárt töröttvonal.
a) Van-e két egybevágó egyszerű hétszög, melyeknek csúcsai közösek, de nincs közös élük?
b) Van-e három ilyen hétszög?

(V. Proizvolov,  5+2 pont)

6.(490.)         Egy  táblán a következő játékot játsszák.  Kezdetben a tábla mellett  van egy dobozban n korong.  Felváltva lép A és B.  Először az A játékos kiválaszt legfeljebb 17 korongot akár a tábláról, akár a dobozból s elhelyezi őket üres mezőkbe.  Minden mezőbe legfeljebb egy korong kerülhet.  A B játékos tetszőlegesen sok korongot levehet, melyek egymást követő mezőkön állnak s visszateszi őket a dobozba.  A játékot A nyeri, ha mind az n korong felkerül a táblára, ráadásul mind szomszédos mezőkön vannak.
a) Mutassuk meg, hogy A győzhet, ha n=98.
b) Mi a legnagyobb n, melyre A nyerni tud?

(A. Sapovalov, 4+5 pont)

JUNIOR,   1995-96. tavasz, első forduló

1.(491.)         Egy hegyesszögű háromszög minden szöge fokokban mérve egész és a legkisebb szög a legnagyobbnak egyötöde.  Mekkorák a szögek?

(G. Galperin,  2 pont)

2.(492.)         Létezik-e olyan pozitív egész n melyre az alábbi három szám:
a)         n-96,  n,  n+96;
b)         n-1996, n,  n+1996
mindegyike pozitív prím?

   (V. Senderov,   2+2 pont)

3.(493.)         Az ABC derékszögű háromszög beírt körének meghúzzuk azon érintőit, melyek merőlegesek az AB átfogóra.   Ezek az átfogón kimetszik a P és Q pontokat.  Mekkora a ?

(M. Evdokimov,  4 pont)

4.(494.)a) Rajzoljunk olyan körbeírható hurkolt hatszöget, mely önmagát a lehető legtöbb pontban metszi.
b) Igazoljuk, hogy ennél több önmetszés nem lehet.   

 (N.B. Vasziljev,  3+3 pont)

5.(495.)         Egy  10×10-es táblán ketten játszanak.  Az első minden lépésben egy üres mezőre tesz egy X-et, a második egy O-t.  Ha mind a 100 mező elfogyott megszámolják, hány helyen van a táblán öt szomszédos X.   Ezek lehetnek sorban, oszlopban, vagy átlóban.  (pl. ha egy sorban 7 egymást követő X van, akkor az 3-nak számít.)  Ez legyen az első játékos száma.  Hasonlóan az O-kat nézve kapjuk a második játékos számát.  Az nyer, akinek a száma nagyobb, egyenlőség esetén döntetlen.  Van-e az első játékosnak
a) nem vesztő,
b) nyerő stratégiája?

(A. Belov,   3+3  pont)

JUNIOR,   1995-96. tavasz, második forduló

1.(496.) Igazoljuk, ha az a, b, c  pozitív számokra a2+b2-ab=c2,  akkor (a-c)(b-c)≤0.  

(A. Egorov,  3 pont)

2.(497.) Az O és O’ középpontú közös pont nélküli körök egyik belső érintője a köröket rendre az A,  A’  pontokban érinti.   Az OO’ szakasz a köröket rendre B,  B’ pontokban metszi.  Legyen AB és A’B’ egyeneseinek metszéspontja C.  Az OO’-re merőleges C-n áthaladó egyenes D-ben metszi az AA’ egyenesét.  Bizonyítsuk be, hogy AD=A’D

(3 pont)

3.(498.)         Van sorban 1996 számunk.  Mutassuk meg, hogy kiválasztható néhány szomszédos úgy, hogy összegük egy egész számhoz 0,001-nél közelebb van.

  (A. Kanel,  3 pont)

4.(499.)         Egy bástya áll egy n×m-es  tábla egyik sarkánál.  Két játékos felváltva mozgatja a figurát, mely eközben befesti azokat a mezőket, melyek fölött elhalad, ill. melyeken megáll.  A bástya nem haladhat el befestett mező fölött s nem is állhat meg ilyenen.  Aki nem tud lépni veszt.  Melyik játékosnak van nyerő stratégiája és hogyan kell játszania?

 (B. Begun,  5 pont)

5.(500.)         8 diák gondolkozott 8 feladaton.  ( Mindenkinek ugyanaz a nyolcon)
a) Minden feladatot 5 diák oldott meg.  Igazoljuk, hogy található két diák úgy, hogy minden feladatot megoldotta valamelyikük.
b) Minden feladatot 4 diák oldott meg.  Bizonyítsuk be,  lehetséges, hogy nincs két ilyen diák.                                                          

(S. Tokarev, 3+3 pont)

6.(501.) Az ABC szabályos háromszög AB oldalának A-hoz legközelebbi n-edelő pontja D.  Legyenek a P1,  P2. … , Pn-1  a BC oldal n-edelő pontjai.  Igazoljuk, hogy
,
ha
a) n=3;
b) n>2.

(V. Proizvolov,  3+5 pont)

SENIOR,  1995-96. ősz,  első forduló

1.(502.)         Adott a síkon egy négyzet.  Valaki egy láthatatlan pontot helyez el a síkon.  Szeretnénk eldönteni, a négyzet belsejében van-e.  Ha behúzunk egy egyenest az illető megmondja, melyik oldalán van a pont, vagy azt, hogy éppen rajta van.  Hány egyenesre lesz szükségünk?

(3 pont)

2.(503.)         Megadhatunk-e
a) négy;
b)   öt
különböző pozitív egészet úgy, hogy bármely három szám összege prím legyen?

(V. Senderov,  2+2 pont)

3.(504.)         Egy 6 jegyű szám  balról számított első jegye 5.  Tudunk minden esetben a szám után írni további hat jegyet úgy, hogy a kapott szám négyzetszám legyen?

(A. Tolpygo, 3 pont)

4.(505.)         Adott a síkon három különböző pont, A, B és C.  Szerkesztendő C-n át olyan m egyenes, melytől A és B távolságainak szorzata a lehető legnagyobb!  Igaz-e, hogy a ponthármas  egyértelműen meghatározza m-et?

    (N.B. Vasziljev,  5 pont)

SENIOR,   1995-96. ősz, második forduló

1.(506.) Az ABCD konvex négyszög belső pontja P.  Az  APB, BPC, CPD, DPA szögek  szögfelezői az AB, BC, CD, DA szakaszokat rendre a K, L, M, N pontokban metszik.
a) Adjunk meg egy olyan P pontot, melyre KLMN paralelogramma.
b) Adjuk meg az ilyen P-k mértani helyét!

(S. Tokarev,  3+2 pont)

2.(507.)         Legyen n db valós szám szorzata pp-nek mind az n számtól való különbsége páratlan egész.  Igazoljuk, hogy mind az n szám irracionális!

(G. Galperin,  5 pont)

3.(508.)         Egy téglalap oldalai a és b (a>b).  Feldaraboljuk derékszögű háromszögekre úgy, hogy bármely kettőnek van egy közös oldala, vagy egy közös csúcsa, vagy nincs közös pontjuk.  Még azt is tudjuk, hogy minden közös oldal a két szomszédos háromszög egyikében befogó, a másikban pedig átfogó.  Bizonyítsuk be, hogy  .

(A. Sapovalov, 5 pont)

4.(509.)         Egy Forma 1-es verseny célegyenesében a nézőtér első sorában 1000 szék van sorban számozva 1-től 1000-ig.  Ebbe a sorba n jegyet adtak el, 100<n<1000.  Tévedésből minden jegyen 101-nél kisebb sorszám szerepelt.  A 101-nél kisebb számok közül mindegyik szerepel legalább egy kiadott jegyen.  Természetesen vannak olyan jegyek, melyeken azonos szám áll.  Az n néző egyesével érkezik. Mindegyikük a saját jegyének megfelelő székhez sétál, ha üres, leül oda.  Ha foglalt, csalódottan felkiált:  „Oh!”   Majd a következő sorszámú székhez megy.  Ez ismétlődik, míg üres széket nem talál, erre leül.  Közben minden foglalt széknél felkiáltott.  Bizonyítsuk, hogy minden néző le fog ülni és a kiáltások összes száma  nem függ a nézők érkezési sorrendjétől, viszont függ a kiadott jegyeken szereplő számok elosztásától.

(A.  Shen,  6 pont)

5.(510.)         Kalózok kötnek ki a kör alakú Kincses szigeten.  A sziget partján hat pálmafa áll.  A kincset az ABC és DEF háromszögek magasságpontjait összekötő szakasz felezőpontjában ásta el az öreg kormányos, ahol a betűk egy-egy pálmát jelölnek (nem feltétlenül sorban).  A pálmák állnak ugyan, de a kormányos elfelejtette, melyik betű, melyiket jelöli.  Legfeljebb hány helyen kell leásni, hogy megleljék a kincset? 

(S. Markelov, 7 pont)

6.(511.)         Megadható-e egy pozitív egészekből álló növekvő számtani sorozat
a) 11;
b) 10 000;
c)   végtelen sok
egymást követő eleme úgy, hogy a számok jegyeinek összege is növekvő számtani sorozat szomszédos elemei legyenek? (A 10-es számrendszerben dolgozunk végig.)

(A. Sapovalov, 3+4+2 pont)

SENIOR,   1995-96. tavasz, első forduló

1.(512.)         Megkérdeznek 100 embert:  „Az új elnök jobb lesz-e, mint a régi volt?”  Jelölje a „jobb lesz” válaszok számát a,  az „egyformák” válaszok számát b,  a „rosszabb lesz” válaszok számát c.  Szociológusok kiszámolják a lakosságra jellemző optimizmus indexeket: m=a+0,5b és n=a-c.  Tudjuk, hogy m=40.  Mennyi lehet n?

(A. Kovaldji,  3 pont)

2.(513.)         Az 1,2, …, 9 számokat valamilyen sorrendben leírva alkotunk egy 9 jegyű számot.   Tekintsük a szomszédos hármasok alkotta hét darab háromjegyű szám összegét.  Legfeljebb mekkora lehet ez az összeg?

(A. Galocskin,  3 pont)

3.(514.)         Vegyük az 1!, 2!, …. ,100!  számokat.  Kiválasztható-e közülük egy úgy, hogy a megmaradtak szorzata négyzetszám legyen?

(S. Tokarev,  4 pont)

4.(515.)         Kitölthető-e a tér szabályos tetraéderekkel és oktaéderekkel?

  (A. Belov,  4 pont)

5.(516.)         Az ABC háromszög oldalaira kifele négyzeteket rajzolunk, ezek ABMN, BCKL, ACPQ.  Az ABMN és BCKL területének különbsége d.  Határozzuk meg az NQ és PK oldalú négyzetek területeinek különbségét,
a) ha az ABC szög derékszög;
b) tetszőleges háromszögnél.

(A. Gerko,  3+2 pont)

SENIOR,   1995-96. tavasz, második forduló

1.(517.)         Elhelyezhető-e egy kocka a térben úgy, hogy csúcsainak egy adott síktól való távolságai 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 és 7 legyen?

(V. Proizvolov,  4 pont)

2.(518.) Az xy koordinátarendszerben adott a C középpontú 0≤x≤1, 0≤y≤1 négyzet.  A külső M pont koordinátái nem egészek.  M-ből indul egy szöcske,  arra a pontra ugrik, mely M tükörképe a négyzet „legbaloldalibb” csúcsára nézve, a szöcske nézőpontjából.  (Képzeljük el, hogy M-ben állunk és vesszük a csúcsok felé futó irányokat.  Ezek közül választjuk a leginkább balra futót.)  Legyen M és C távolsága d.  Bizonyítsuk be, hogy akárhányszor ugrik is a szöcske, soha nem kerül 10d-nél távolabb C-től.

(A. Kanel,  5 pont)

3.(519.)         Az ABC háromszögben AB=AC és a BAC szög α.  Legyen D az AB szakasz olyan pontja, melyre AD=AB/n.  Legyenek a P1,  P2. … , Pn-1  a BC oldal n-edelő pontjai. Mekkora lesz
α függvényében
,
ha 
a) n=3;
b) n>2.

  (V. Proizvolov,  3+4 pont)

4.(520.) Katonaországban két szigorú törvény van:
i) Mindenki, aki szomszédjainak legalább 80%-ánál alacsonyabb, mentesül a katonai szolgálat alól. Szomszéd alatt értünk mindenkit, akinek lakhelye r-nél közelebb van.
ii) Mindenki, aki szomszédjainak legalább 80%-ánál magasabb, szolgálhat a rendőrségnél. Szomszéd alatt értünk mindenkit, akinek lakhelye R-nél közelebb van.
Szerencsére minden ember maga választhatja meg,  mekkora sugarú legyen a saját r és R szomszédsága, ez lehet akár minden embernél más és más.  Lehet-e, hogy az ország legalább 90%-a mentesül a katonai szolgálat alól és ezzel egy időben legalább 90% szolgálhat a rendőrségnél?  (Az emberek lakóhelye a síkon rögzített.)

(N. Konstantinov, 6 pont)

5.(521.)        Igazoljuk, hogy végtelen sok olyan n-1, n, n+1  számhármas van,  melyre
a) közülük csak n  írható fel két négyzetszám összegeként.
b) mindhárom felírható két négyzetszám összegeként.

(V. Senderov,  3+5 pont)

6.(522.)        Egy 2n×n-es-es táblázat minden mezőjében +1, vagy –1 van úgy, hogy nincs két azonos sor.  Később néhány számot 0-ra változtattak.  Bizonyítsuk be, hogy kiválasztható néhány sor úgy, hogy
a) a kiválasztott sorokban álló összes  szám összege 0.
b) a kiválasztott sorok minden oszlopában a számok összege 0.

(G. Kondakov, V. Csernorutszkij,  4+5 pont)

JUNIOR,  1996-97.  ősz, első forduló

1.(523.) Találhatunk-e 10 egymást követő pozitív egészet, melyek négyzetének összege egyenlő az utánuk következő kilenc szám négyzetének összegével?

(3 pont)

 2.(524.)        Egy szabályos háromszög oldalai n egységnyiek.  Mely n esetén darabolható fel 1,1,1,2 oldalú szimmetrikus trapézokra?

(N.B.  Vasziljev, 3 pont)

 3.(525.)        Egy társaságban van 10 lány és 9 fiú.
   a) Lehetséges-e, hogy minden lány különböző számú fiút ismer és minden fiú ugyanannyi leánykát?
b)  És ha 11 lány és 10 fiú van?

(N.B.  Vasziljev,  2+2 pont)

4.(526.) Van egy rombusz és egy kör.  A rombusz minden oldalát két pontban metszi a kör.   A rombusz oldalain keletkezett kis szakaszokat kiszínezzük egy csúcstól kezdve a kerületen folyamatosan körbe haladva piros, fehér és kék színekkel.  Mutassuk meg, hogy a piros szakaszok összhossza egyenlő a kékekével.

(V.  Proizvolov,  4 pont)

JUNIOR,  1996-97.  ősz, második forduló

1.(527.)         Kiszínezhetünk-e a síkon négy-négy különböző pontot pirosra és kékre úgy, hogy bármely három azonos színűt véve, ők a másik szín egy pontjával együtt paralelogrammát alkossanak?    

(N.B.  Vasziljev,  3 pont)

2.(528.)         Létezik-e három különböző prím, p, q, r, melyekre qr osztója p2+d-nek, rp osztója q2+d-nek, pq osztója r2+d-nek, ha
a) d=10,
b) d=11?

(V.  Senderov,  2+2 pont)

3.(529.)         Igazoljuk az egyenlőtlenséget:
.

(V.  Senderov,  5 pont)

4.(530.)         a) Egy négyzetet felvágtunk derékszögű háromszögekre, melyek befogói 3 és 4 egységnyiek. Mutassuk meg, hogy a háromszögek száma páros.
b) Most téglalapot vágunk, és a befogók 1 és 2 hosszúak. Mutassuk meg, hogy a háromszögek száma páros.

(A.  Sapovalov, 4 pont)

5.(531.)        Van-e olyan hatjegyű pozitív egész, jelölje A, melyre az A, 2A, 3A,.....,500000A közt nincs olyan, mely hat azonos jegyre végződne?

(S.  Tokarev,  8 pont)

6.(532.)         Egy játékban egy hatszor hatos tábla mezői közül kisorsolnak hat db vesztes mezőt.  A játékban résztvevő szelvényeken is hat mezőt kell bejelölni.
a) Mutassuk meg, hogy kitölthető 9 szelvény úgy, hogy tetszőleges húzás esetén legalább az egyikükön ne legyen vesztes mező! 
b)  Igazoljuk, hogy 8 szelvény nem elég ehhez.

(S.  Tokarev,  5+5 pont)

JUNIOR,  1996-97.  tavasz, első forduló

1.(533.)         Hány pozitív egész van 1-től 1997-ig,  melyek jegyeinek összege osztható 5-tel?        

(A.I.  Galocskin,  3 pont)

2.(534.)         Münchausen báró azt meséli, hogy egy szabályos háromszög alakú billiárdasztalon játszva sikerült úgy ütnie az asztal valamelyik oldalától indítva, hogy a golyó mielőtt visszatért volna a kiindulási helyére, az asztal egy adott pontján át három irányból is áthaladt.  Hihetünk-e neki ez esetben?        

(M.  Evdokimov,  3 pont)

3.(535.)         Tekintsük egy kör két merőleges szimmetriatengelyét.  A belső M pont a tengelyektől a és b távolságra van, rajta keresztül párhuzamosakat húztunk a tengelyekkel és ezen egyenesek mentén szétvágtuk a kört.  Az így kapott négy rész legnagyobbika és legkisebbike területének összegéből kivontuk a másik két rész területének összegét.  Mennyi az eredmény?    

(G. Galperin,  N.B.  Vasziljev,  4 pont)

4.(536.)         Egy négyzetet felosztottunk 25 kis négyzetre.  Egyikük oldalhossza nem 1, a többié 1.  Mekkora a négyzet területe?

(V.  Proizvolov,  4 pont)

5.(537.)         Az ABCD paralelogrammának AD oldalát felezi EB-ből merőlegest állítunk CE egyenesére, ennek talppontja F.  Bizonyítsuk, hogy ABF egyenlő szárú háromszög.

 (M.A.  Bolcskevics,  4 pont)

JUNIOR,  1996-97.  tavasz, második forduló

1.(538.)         Az ABC háromszög oldalaira a+b=3c.  Mutassuk meg, hogy C-nél van a legkisebb szög.

(A.K.  Tolpygo,  3 pont)

2.(539.) Van 25 különböző súlyú sajtunk.  Mindig megtehető-e, hogy valamely sajt   kettévágásával a sajtok két 13 darabos, egyenlő súlyú kupacba rendezhetők legyenek úgy, hogy a kettévágott sajt darabjai különböző kupacba kerülnek?

(V.L.  Dolnyikov,  5 pont)

3.(540.)         2n sakkozó két teljes körmérkőzést játszott.  A pontozás szokásosan 1, 0.5, 0.  Minden játékos második fordulóbeli pontjainak összege az első fordulóhoz képest legalább n-nel változott.  Bizonyítsuk, hogy akkor pont n-nel változott.

(B.  Frenkin,  5 pont)

4.(541.)         Az AC'BA'CB'  konvex hatszögben

és AB'=AC', BC'=BA', CA'=CB'.  Mutassuk meg, hogy az ABC háromszög területe fele a hatszögének.

(V.  Proizvolov,  6 pont)

5.(542.)         Bizonyítsuk, hogy
a) 9797;
b) 199717
nem lehet szomszédos természetes számok köbeinek összege.                                                                               

(A.A. Jegorov,  4+4 pont)

6.(543.)         Az ABC háromszög belső pontja P, AB=BC.

,
.
  Határozzuk meg a BPC szög nagyságát.

(G.  Galperin,  7 pont)

7.(544.)         Egy súlykészletben a következő grammos súlyok vannak: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, mindből egy darab.  A kétkarú mérlegünk mindkét serpenyőjébe tehetünk súlyokat. 
a) Bizonyítsuk, hogy semelyik súlyt sem mérhetjük le több, mint 89 módon.
b)  Adjunk példát olyan súlyra, melyet 89 módon mérhetünk le.

(A.  Sapovalov,  A.  Kulakov,  5+4 pont)

SENIOR,  1996-97.  ősz, első forduló

1.(545.)         Mi azon pontok mértani helye egy kocka belsejében, melyek azonos távolságra vannak a kocka három élétől, melyek páronként kitérők?

(V.  Proizvolov,  3 pont)

2.(546.)         Egy kör alakú papírlapot  ollóval vághatunk.  Egyenes és körív menti vágások segítségével átszabhatjuk-e egy  vele azonos  területű négyzetté?

(A.  Belov,  3 pont)

3.(547.)         Felrajzoltuk a koordinátarendszerben az y=x2 parabolát.  A tengelyeket valaki kiradírozta.  Szerkesszük meg őket!

(A.  Jegorov,  4 pont)

4.(548.)         Mely n>1 esetén teljesülhet, hogy n+1 lány és n fiú közül minden lány különböző számú fiút ismer és minden fiú ugyanannyi leányt?

(N.B.  Vasziljev,  4 pont)

SENIOR,  1996-97.  ősz, második forduló

1.(549.)         Kiszínezhető-e egy kocka 4-4 csúcsa pirosra ill. kékre úgy, hogy bármely három azonos színű pont síkján  legyen a másik színűek közül is pont? 

(Mebius,  Sarigin,  3 pont)

2.(550.)         a)  Mutassuk meg, hogy  n>2 esetén:
.
b)  Keressünk olyan a,b,c pozitív egészeket, melyekre n>2 esetén:
.

  (V.  Senderov,  N.B.  Vasziljev,  3+3 pont)

3.(551.)         Az ABCDEF konvex hatszög AB, BC, CD, DE, EF, FA oldalainak felezőpontjai legyenek rendre A', B', C', D', E', F'.  Ismerjük a következő háromszögek területeit:  ABC', BCD', CDE', DEF', EFA', FAB'.  Határozzuk meg az eredeti hatszög területét.

(A.  Lopschitz,  N.B.  Vasziljev,  5 pont)

4.(552.)       Mutassuk meg, hogy nem létezik oly függvény, melyre f(f(x))=x2-1996 minden valós x-re.

(S.  Bogatij,  M.  Smurov, 10 pont)

5.(553.)         Egy szigetnek négy kikötője van, körben megszámozva 1,2,3,4.  A kikötőket utak kötik össze, ezek elágazhatnak, kereszteződhetnek, de minden útszakasz egyirányú.  Tudjuk még, hogy bármely kikötőből, vagy kereszteződésből indulva nem juthatunk ugyanoda vissza.  Jelölje az i. kikötőből a j-be vezető utak számát fij.
a) Bizonyítsuk, hogy f14f23f13f24.
  b)  Bizonyítsuk, hogy hat kikötő esetén f16f25f34+f15f24f36+f14f26f35f16f24f35+f15f26f34+f14f25f36.

(S.  Fomin,  4+6 pont)

6.(554.)         Egy játékban egy tízszer tizes tábla mezői közül kisorsolnak tíz db vesztes mezőt.  A játékban résztvevő szelvényeken is tíz mezőt kell bejelölni.
a) Mutassuk meg, hogy kitölthető 13 szelvény úgy, hogy a húzástól függetlenül legalább az  egyikükön ne legyen vesztes mező!
b)  Igazoljuk, hogy 12 szelvény nem elég ehhez.

(S  Tokarev,  5+5  pont)

SENIOR,  1996-97.  tavasz, első forduló

1.(555.)         Egy kockát 99 kis kockára vágtunk. Egyikük oldala nem egy, a többié egy.  Mekkora a kocka térfogata?

(V.  Proizvolov,  3 pont)

2.(556.)         Az a és b természetes számokról tudjuk, hogy a2+b2 osztható ab-vel.  Mutassuk meg, hogy a=b.

   (B.R.  Frenkin,  3+3 pont)

3.(557.)         A koordinátarendszer (a,b) pontja köré olyan kört rajzoltunk, melynek az origó a belsejébe esik.  Vegyük az első és harmadik ill. a második és negyedik negyedbe eső területek összegét.  Mekkora e kettő különbsége?                        

(G.  Galperin,  4 pont)

4.(558.)         Vegyünk egy szabályos tetraédert és a köréírt gömböt.  Az oldalakra kifele szabályos piramisokat teszünk, melyek negyedik csúcsa a gömbön van,  ABCD', ABC'D, AB'CD, A'BCD.  Mekkora az ABC'  és  ACD' síkok szöge?

   (A.  Zaszlavszkij,  4 pont)

5.(559.)         Két játékos felváltva színezi a sík pontjait.  Egyikük egy pontot pirosra fest, a következő 10 festetlen pontot színezhet kékre.  Ezt felváltva ismételgetik.  Az első győz, ha kialakul egy csupa piros csúcsú szabályos háromszög.  Megakadályozhatja-e ezt a másik?

(A.  Kanel,  4 pont)

SENIOR,  1996-97.  tavasz, második forduló

1.         Az előző sor 2. feladata.

2.(560.)         Az ABC háromszögben AD és BE szögfelezők, D és E a kerületen van.  Mekkora az A-nál levő szög, ha DE felezi az ADC szöget?

(S.I.  Tokarev,  5 pont)

3.(561.)         Van 20 súlyunk, melyekkel minden egész súly lemérhető 1-től 1997-ig, mindig csak egy serpenyőbe helyezve a súlyokat.  Mekkora a készlet legnehezebb súlyának minimuma, ha
a)  a súlyok egészek.   
b) a súlyok nem feltétlenül egészek.   

(M.  Rasin,  3+3 pont)

4.(562.)         Az F konvex sokszög belsejében van a G konvex sokszög, nincs közös határpontjuk. F kerületének két pontját összekötő szakaszt F húrjának nevezünk.  F húrját hívjuk G-érintőnek, ha G-nek csak határpontjait tartalmazza (csúcsát, vagy oldalát).
a) Bizonyítsuk, hogy van F-nek olyan G-érintő húrja, melynek felezőpontja G határán van.
b)   Igazoljuk, hogy két ilyen is van.

(P.  Puskar,  6+2 pont)

5.(563.)         Tudjuk, hogy  a, b, c pozitív számok, abc=1.  Igazoljuk :

(G.  Galperin,  8 pont)

6.(564.)         F(x)G(x)=1+x+x2+...+xn-1, ahol F és G minden együtthatója nulla, vagy egy, n>1.  Igazoljuk, hogy F és G valamelyike előáll (1+x+x2+...+xk-1)T(x) alakban, ahol T minden együtthatja is nulla, vagy egy, k>1.

(V.  Senderov,  M. Vialij,  8 pont)

7.(565.)         A síkon van véges sok, párhuzamos szélű sáv, összes szélességük 100.  Mutassuk meg, hogy a sávok eltolhatók önmagukkal párhuzamosan úgy, hogy együtt letakarjanak egy adott, 1 sugarú kört.

(M.  Smurov,  8 pont)

199z őszétől a feladatok ezen a linken érhetők el.
Kiemelt támogatónk 2006-ban:
Tigra Computer
Támogatóink 2003-ban:
Oktatási Minisztérium
Powered by:
Apache + Php + Mysql
Kapcsolat
hraskoa@fazekas.hu
Copyright © 2004-2010 Fazekas Mihály Fővárosi Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium. Served by pingvin.