Informatikai és Hírközlési Minisztérium Oktatási Minisztérium Apache Php Mysql Fazekas Mihály Gyakorlóiskola
  Bejelentkezás
Üdvözöljük a Matematika portálon!  
Stipsicz András: Csomók és invariánsaik Előadások, 2005/2006. tanév

Stipsicz András: Csomók és invariánsaik

című, 2006. jan. 24-ei előadása alapján írta Kisfaludi-Bak Sándor, Szilágyi Dániel és Hraskó András. Az ábrák és elektronikus változatok létrehozásában Beck Zoltán közreműködött.



1. Bevezetés: ismerkedés a csomókkal

Horogkötés a Baranyai Horgász
Magazin Horgásziskolájából
Matrózkötés a Vízvonal Kft honlapjáról
A pruszikcsomót a hegymászók
és alpinisták az ereszkedésnél
biztosításnak használják
1. ábra
2. ábra
3. ábra

Csomókkal a mindennapjaink során többször találkozunk. Például amikor megkötünk egy cipőfűzőt, vagy paradicsomot kötözünk a kertben. Régen a tengerészek számára is fontos volt, hogy a különböző köteleket úgy kössék, hogy a keletkező csomók erősek, teherbíróak, tartósak, nehezen kioldhatók legyenek. Ezek a tulajdonságok azonban nagymértékben függenek a kötél anyagától, hosszától, vastagságától. A matematikai vizsgálat során ezektől eltekintünk, és csak un. topologikus tulajdonságokkal foglalkozunk.

Ajánló

Alan L. Folsom, Jr.: Az ötven  legalapvetőbb csomó cserkészeknek,
http://www.folsoms.net/knots/

U.N.E.  hegymászóklub: hegymászócsomó animációk,
http://www.une.edu.au/unemc/climbing/knots/

Halászcsomók: http://www.killroys.com/knots/knots.htm

Horgászkötések, horgászcsomók a Baranyai Horgász Magazin Horgásziskolájában:
http://www.bhm.hu/Horg%E1sziskola/kotesek.php

Hajózáshoz alkalmazott csomók a Vízvonal Kft honlapján:
http://www.vizvonal.hu/csomok.php

A nyakkendő csomózási technikái: http://www.scoutdb.org/h2tat/

A Blue Ridge Mountain mentőcsapat (BRMRG) ajánlata:
http://brmrg.med.virginia.edu/knots/knots.html

Peter Suber linkgyüjteménye csomókról:
http://www.earlham.edu/~peters/knotlink.htm

Ropers Knot Page: http://www.realknots.com/

4. ábra

Vegyünk most egy spárgát és csináljunk rá egy egyszerű hurkot! A hurkon vezessük át az egyik véget. (4. ábra) Így kaptunk egy csomót, amit könnyen kibogozhatunk, csak az elvégzett lépéseket kell visszafelé végrehajtani, azaz először kivesszük az áthúzott véget, majd megszüntetjük a hurkot. Vegyük észre, hogy egy spárgát bárhogy bogozhatunk, a lépések visszafelé elvégzésével mindig ki tudjuk azt bogozni. A csomóelmélet ezért olyan csomókkal foglalkozik, amelynek végeit a bogozás után összeragasztottuk.

Matematikai, azaz topológiai értelemben a csomó tulajdonképpen egy síkbeli kör (jelben S1, mint „sphere of dimension 1”) 3 dimenziós térben (jelben , mint valós=real, reel, 3 dim. tér) való elhelyezése. A csomót tehát úgy képzelhetjük el, mint egy nagyon hosszú és nagyon vékony, nyúlékony spárgából készült térbeli objektumot.

A csomó definíciója:

Csomónak nevezzük azt az S  alakzatot, amely az S1 kör önátmetszés nélküli képe az  térben.
Megjegyzés Az ennél még precízebb definíció a folytonosság fogalmán alapszik. A folytonosság fogalmának tárgyalása azonban meghaladja e cikk kereteit. Amikor csomóról beszélünk, akkor egy folytonos függvény van a háttérben, amely az S1 körön van értelmezve, a térbe képez és az S1 körön injektív, azaz a kör különböző pontjait különböző térbeli pontokba képezi, nem „ragaszt” össze pontokat. A csomó a kör egy ilyen folytonos függvénynél származó képe.

Néhány matematikai csomó a „Csomó szerver”-ről (http://www.colab.sfu.ca/KnotPlot/KnotServer/):

31
41
51
 
810
815
820
5. ábra

Most már megadhatjuk a csomók azonosságának feltételét.

Csomók azonossága Két csomó akkor nevezzük azonosnak, ha egyik a másikba átalakítható vágás és ragasztás nélkül.
Megjegyzés Az olyan csomókat, amelyek egymásba mozgathatók, folytonosan egymásba deformálhatók tehát nem különböztetjük meg egymástól.

Annak eldöntése, hogy két adott csomó egymásba alakítható-e, tehát azonosak-e, általában nagyon nehéz. Próbálkozzunk meg ezzel egy viszonylag egyszerű esetben!

1. feladat: Mutassuk meg, hogy a 6.a., 6.b. ábrán látható csomók azonosak.

Háromlevelű csomó
Háromlevelű csomó?
Trefoil knot
6.a. ábra
6.b. ábra

Az 1. feladat megoldása: Lásd a „Tie me up, tie me down” című cikket (http://www.math.cuhk.edu.hk/publect/lecture4/trefoil.html)!

A 7.a. ábrán látható csomót triviális csomónak is nevezik. Természetesen triviális csomó minden olyan csomó is, amely a triviális csomóval azonos. A 7.b. ábrán látható csomó is triviális. Ez gondolom az olvasó számára messzemenően nem triviális.

Triviális csomó
Triviális csomó?
Trivial knot
7.a. ábra
7.b. ábra

A http://knotplot.com/knot-theory/ oldalon található mpeg animáción nyomon követhető a „kicsomózás” folyamata. A közvetlen link az mpeg filera: http://knotplot.com/knot-theory/monster-movie.mpg

 2. feladat: Mutassuk meg, hogy a 8. ábrán látható csomó triviális.

forrás:
  Tie me up, tie me down
8. ábra

Ajánló

Robert Glenn Scharein: http://www.cs.ubc.ca/nest/imager/contributions/scharein/se/movie.html

Thomas K.K. Au: „Tie me up, tie me down (the legend of knots)” című előadása a Honkongi Kínai Egyetem matematika tanszékének honlapján:
http://www.math.cuhk.edu.hk/publect/lecture4/unknot.html

Simon Willerton: A topological tie-in, Nature 368 103-104, 10 March 1994,
http://www.sheffield.ac.uk/simonwillerton/nature/nat.html

A 221 lánc
Borromean gyűrűk (632 lánc)
A 631 lánc
9. ábra
10.a. ábra
10.b. ábra

Több csomó egymásba tételével láncokat kaphatunk, ezekre láthatunk példát a 9. és 10.a., 10.b. ábrán. A 10.a. ábra a Borromean-láncot ábrázolja, aminek az a különleges tulajdonsága, hogy bármely csomóját elvágva szétszedhető.

Ajánló

Borromean rings homepage: http://www.liv.ac.uk/~spmr02/rings/

A Minneapolisi Geometria Centrum „Not Knot” című animációs filmjének képei, melyből a Borromean gyűrűk komplementerének világába, egy érdekes háromdimenziós sokaságba is bepillanthatunk, amely a kockából a lapok pontjainak furfangos összeragasztásával is megkapható:
http://www.geom.uiuc.edu/graphics/pix/Video_Productions/Not_Knot/

 Nézzünk néhány példát a csomóelmélet alkalmazására!

DNS szál
11. ábra

Biológia:

 A DNS láncok elrendeződésénél a kutatók többször találkoznak csomóelméleti problémákkal, bár itt a fizikai-kémiai tulajdonságok általában fontosabb szerepet játszanak, például a gének sorrendje, vagy a DNS lánc hossza.

Ajánló

DeWitt Sumners: Lifting the Curtain: Using Topology to Probe the Hidden Action of Enzymes (Notices of the AMS, May 1995, volume 42, number 5., 528-537)
http://www.math.uic.edu/~kauffman/sumners.pdf vagy http://www.ams.org/notices/199505/sumners.pdf

A DNA topológiájával foglalkozó kutatási és ismeretterjesztő cikkek jegyzéke Srebrenka Robic gyűjtésében:
http://www.beloit.edu/~biology/Srebrenka/Knots.html

Periódusos rendszer csomókkal,
Tait szerint
12. ábra

Fizika:

A fizika nem csak alkalmazási terület, hanem a csomóelmélet tulajdonképpen a fizikából indult ki. A XIX. Században Lord Kelvin atommodellje arra épült, hogy a világegyetemet az éter, egy különleges anyag tölti ki, amelynek csomózódásai az atomok. Tait 1867 körül foglalkozott elsőként ennek kapcsán behatóan a csomókkal, megpróbálta felsorolni őket, ezért őt tekintjük az első „csomóelmélész”­nek. Végül az atommodell csak 20 évig tartotta magát, mert Bohr elmélete megalapozottabbnak bizonyult.

Ajánló

Eric Weissstein lexikona Lord Kelvinről:
http://scienceworld.wolfram.com/biography/Kelvin.html

Louis H. Kauffman: Csomó és fizika könyve
http://www.worldscibooks.com/mathematics/4256.html

Samuel J. Lomonaco, Jr. „Csomók és a klasszikus elektrodinamika” előadásának kivetített képei:
http://www.cs.umbc.edu/~lomonaco/thomson/Slides.html

F. R. Jones: Knot Theory and Statistical Mechanics  (Scientific American, November, 1990)

Gáspár Merse Előd „Csomók matematikus és fizikus szemmel” című előadásának PowerPoint prezentációja:
http://takacs.web.elte.hu/merse_csomoelmelet.ppt

Matematika:

A 4 dimenziós felületek leírásánál alkalmazhatunk csomókat. Lásd Stipsicz András írását:
http://matek.fazekas.hu/porta/eloadas/2005/4dimcsom.html

Most pedig lássuk egy példán, mit is értünk topologikus tulajdonság alatt! Ehhez egy kis kitérőt teszünk, elkalandozunk a felületek világába.

2. Felületek és topologikus tulajdonságaik

13.a. ábra
13.b. ábra

A fenti két képen egy gömbfelület (13.a. ábra) és egy tóruszfelület (donut) (13.b. ábra) látható. Szemléletesen is világos, hogy ez a két felület topológiailag különböző, a gömbbe „szakítás” nélkül, azaz folytonos átalakítással nem tudunk lyukat fúrni. Alább egy másik módszert mutatunk, amely megkülönbözteti a két felületet.

3. feladat

Képzeljük el, hogy Földünk teljes felületét, vagy egy tetszőleges golyóbis teljes felületét felosztjuk országok között. Jelölje az országok számát L.

Az országokat határvonalak választják el egymástól, a határvonalakon előfordulnak olyan pontok, ahol több ország találkozik, itt több vonal is összefut. Jelölje az ilyen csomópontok számát V.

Végül a határvonal-darabok számát jelölje E. Egy határvonal-darab a határ két csomópont közötti része.

Bizonyítsuk be, hogy a gömbfelületet bármiképp is osztottuk fel országokra, az L, V, E számokra mindig teljesül az alábbi összefüggés:

L E + V = 2.

Megjegyzések

1. Ha pl. a gömböt, mintegy narancsot felszeleteljük l szeletre, akkor L „ország” (ennyi darab narancshéj) keletkezik, de mindössze csak V=2 csomópont jön létre, közöttük pedig l határvonal fut. Ebben a példában tehát

L – E + V = LL + 2 = 2.

2. A valóságban az országokban lehetnek lyukak. Olaszország pld lyukas, körbeveszi a Vatikánt, amely egy másik ország. Ebben a feladatban nem engedünk meg lyukas országokat.

3. A valóságban az is lehetséges, hogy egy ország több különálló részből áll. Oroszország Kalinyingrádi területe pl. nincs összeköttetésben az anyaországgal, más országok választják el tőle. Itt ezt sem engedjük meg, a feladatban hallgatólagosan feltesszük, hogy minden ország összefüggő.

4. Földünkön vannak olyan területek, amelyek egy országhoz sem tartoznak. A matematikai problémában a golyóbis minden pontja ki van osztva az országok között, csak a határvonalak státusa vitatható.

5. Ha egy konvex poliédert egy belső pontjából kivetítünk egy – a vetítési pont köré írt – gömbre, akkor a gömbön természetes módon adódik a feladatnak megfelelő felosztás: a poliéder lapjaiból lesznek az országok, a csúcsokból a csomópontok, az élekből a határvonal-darabok. Így a feladat állítása azt is jelenti, hogy bármely konvex poliéderben a lapok (L), az élek (E) és a csúcsok (V) száma között fennáll az L E + V = 2 összefüggés (Euler tétele). Pl. a kockának 6 lapja, 12 éle és 8 csúcsa van, melyekre 6 – 12 + 8 = 2.

Bizonyítás: (csak vázlatosan!)[1]

Képzeljük el, hogy a golyóbis teljes felületén víz van, amely azonban nem összefüggő, a határok helyén gátak vannak. Az országok tehát különálló tavak. Építsünk a csomópontokba őrtornyokat! Tehát V az őrtornyok, E az őrtornyok közti gátszakaszok, L a tavak száma! Minden őrtoronyba ültessünk egy-egy gátőrt!

Most vegyük sorra a gátakat, és ha olyan gáttal találkozunk, ami két még nem egybefüggő tavat választ el egymástól, akkor azt felrobbantjuk. Így a gátszakaszok száma és a tavak száma is eggyel csökken, azaz a fenti összegben LE nem változik. Az eljárásunk végén egy olyan gömböt kapunk, amelyen van egy nagy tó, ami mindent beborít, és néhány gát.

Ezek után a gátőrök közül kijelölünk egy főgátőrt. A főgátőr füttyszavára az összes többi elindul felé (6.ábra), és amint az első gát feléhez ér, felrobbantja magát. A robbanás akkora, hogy az a gát, amin áll, megszűnik. Így a gátőrök számának és a gátak számának különbsége, azaz v-e nem változik. Így végül megmarad a fő gátőr, és a hatalmas, mindent beborító óceán, azaz V=1, L=1 és most már E=0, azaz VE+L=2 teljesül. Az eljárás során nem változott a bizonyítandó egyenlőség bal oldalán található kifejezés értéke, tehát az egyenlőség eredetileg is igaz volt.

Egyetlen vízfelület és gátak. Kis pöttyök a gátőrök, egy nagy pötty a főgátőr helyén.
14.a. ábra
14.b. ábra
4. (Házi) feladat: A bizonyításban felhasználtuk az alábbiakat:

a) minden őr el tud indulni a főgátőr felé, és útvonala egyértelmű;

b) a főgátőr füttyszavát követően minden gátra egy és csakis egy gátőr kerül.

Miért teljesül ez a két feltétel?

5. (Házi) feladat: Rajzoljuk most térképünket egy gumibelsőre (tóruszra)! Mutassuk meg, hogy ebben az esetben L E + V = 0!

15. ábra

Ajánló

Lakatos Imre: Bizonyítások és cáfolatok (Euler tételének fejlődéstörténete párbeszédekben)
http://www.typotex.hu/book/m_0010.htm

David Eppstein: 19 bizonyítás Euler tételére, The Geometry Junkyard,
http://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/euler/

Euler karakterisztika a Mathworld enciklopédiában:
http://mathworld.wolfram.com/EulerCharacteristic.html

Euler tételének geometriai bizonyítása, Mathematics Theacher folyóirat,
http://matek.fazekas.hu/portal/kutatomunkak/euler/euler2m.html

Surányi László: Válogatás a Fazekas táborok feladataiból (1987-2003), 2.feladat
http://matek.fazekas.hu/portal/feladatbank/egyeb/Haziversenyek/Faztabor/altalanos/valogatas_suranyi_2000.html#val2000sur02fel

A Surányi féle feladathoz és ehhez a cikkhez is kötődik Louis H. Kauffman jegyzete:
http://www.math.uic.edu/~kauffman/SevenColors.pdf

3. A csomók vizsgálatának eszközei

A csomókat a térben kezelni nagyon bonyolult lenne, ezért inkább a csomók síkbeli vetületeit fogjuk vizsgálni. Ehhez úgy vetítjük a csomót, hogy az eredeti alakzatnak legfeljebb két pontja kerüljön a vetületen ugyanabba a pontba (azaz ne legyen olyan, hogy a vetületen 3 madzagdarab megy át egy ponton). Ahol a csomó két pontja ugyanarra a vetületi helyre kerül, ott azt az ívdarabot, amely lejjebb fut kis hézaggal megszakítva rajzoljuk le, a felsőbb ívet pedig folytonos vonallal szemléltetjük. Az ilyen pontot kereszteződési pontnak nevezzük.

A vetületekkel azonban felvetünk egy másik problémát: egy csomónak nagyon sokféle vetülete lehet. Például a 16.a. ábrán (és 16.b.-n) látható triviális csomót  egy kicsit megcsavarva és a megfelelő szögből vetítve a 16.b. ábrán bemutatott vetületet kapjuk.

16.a.
16.b

Ebből adódik a csomóelmélet egyik alapproblémája:

1. kérdés: ha adott két csomó vetülete, hogyan dönthető el, hogy a két csomó azonos-e?

Erre vonatkozik az alábbi alapvető tétel:

Reidemeister tétele (1927): Két csomó akkor és csakis akkor azonos, ha vetületeik a 17. ábrán látható R1, R2, R3 átalakításokkal véges sok  lépésben egymásba vihetők.

R1
R2
R3
17. ábra

Az R3 lépésnél a bal oldali csomóban az alsó vízszintes részt egyszerűen kissé feljebb toltuk.

Ajánló:

A skóciai St. Andrews egyetem matematikai enciklopédiája Kurt Werner Friedrich Reidemeisterről:
http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Reidemeister.html

A Freelearning.com csomóelméleti oktatási anyagai:
http://www.freelearning.com/knots/intro.htm

Reidemeister tétele azonban nem ad algoritmust annak eldöntésére, hogy két vetület egyazon csomóhoz tartozik-e vagy nem. Előfordul pl., hogy két vetület azonos csomóhoz tartozik, de ennek igazolásához először mindkettőben fel kell növelni a csomópontok számát az R1, R2 lépések balról jobbra való alkalmazásával és csak azután adódik az azonosság.

Fogalmazzuk meg a csomóelmélet két fő célját!

1. cél: Találjunk olyan számot, esetleg polinomot, amely a csomó vetületéből könnyen meghatározható és valójában a csomóhoz tartozik, nem valamely konkrét vetületéhez, tehát a csomó minden vetületére azonos értéket (polinomot) ad. Az ilyen mennyiség, csomó-invariáns, akkor hasznos, ha róla a csomó számos tulajdonsága is leolvasható.
A csomó-vetületekhez rendelt mennyiséget, polinomot, tulajdonságot csomó-invariánsnak nevezzük, ha valamely csomó minden egyes vetületére ugyanazt a mennyiséget, polinomot vagy tulajdonságot adja.

Ha igazolni akarjuk, hogy a csomóvetületekhez rendelt mennyiség csomó-invariáns, akkor elegendő igazolnunk, hogy értéke az R1, R2, R3 átalakításoknál nem változik (invariáns).

2. cél: Soroljuk fel az összes csomót, pl. készítsünk táblázatot, amelyben minden csomó pontosan egyszer szerepel!

Az is megfelelő lenne, ha találnánk egy vagy néhány olyan csomó-invariánst, amely, illetve amelyek együtt megkülönböztetnék a csomókat. Tehát szerencsés lenne, ha a csomókhoz hozzárendelhető lenne csomó-invariánsok egy halmaza úgy, hogy két csomó pontosan akkor azonos, ha invariáns-halmazuk azonos.

A továbbiakban inkább az 1. céllal foglalkozunk.

Legyen K egy csomó! (A K betűt az angol csomó szó, a ’knot’ kezdőbetűje miatt használjuk.)

A K csomó kereszteződési száma (crossing number) legyen a K vetületeiben előforduló kereszteződések számának minimuma! Jelöljük ezt a mennyiséget c(K)-val!

A háromlevelű csomó
18. ábra

Például a 18. ábrán jelöltük a háromlevelű csomó egy vetületén a kereszteződéseket, ezen a vetületen 3 kereszteződés volt. Az összes vetületet megvizsgálva a legkisebb szám megadja a háromlevelű csomó kereszteződési számát.

Hasonlóan számot rendelhetünk a csomóhoz, ha kiszámoljuk a kicsomózási számát.

Itt a 19. ábrán látható cserék számának minimumát keressük. A 19-es csere során egy kereszteződésnél kicseréljük az alsó és a felső fonalat, úgy, hogy a felsőt elvágjuk, és a másik alatt ragasztjuk össze. Ezt addig ismételjük, amíg a triviális csomóhoz jutunk.

19. ábra

A K csomó kicsomózási száma (Unknotting number) a csomó vetületeiben előforduló legkisebb 19-es cserék száma, ami a triviális csomóhoz vezet. Jelöljük ezt a mennyiséget u(K)-val!

Ezekkel a mennyiségekkel az a baj, hogy nem könnyű kiszámolni őket, gyakran csak becslésekig jutunk.

Például a háromlevelű csomó egyik kereszteződésén elvégezve a 19-es cserét rögtön a triviális csomóhoz jutunk, ahogy az a 20. ábrán látható. A háromlevelű csomó kicsomózási száma tehát legfeljebb 1. Ahhoz, hogy megmutassuk, ez  a kicsomózási szám éppen 1, még be kell látnunk, hogy nem 0. Mivel tudjuk, hogy pontosan egy triviális csomó létezik, és azt is tudjuk, hogy ha egy csomó kicsomózási száma 0, akkor az a triviális csomó (definíció szerint), ezért elegendő belátnunk, hogy a háromlevelű csomó nem a triviális csomó.

20. ábra

Hasonlóan nem lehet csupán számolással meghatározni a háromlevelű csomó kereszteződési számát. Először bizonyítani kell egy-két dolgot.

6. feladat: Bizonyítsuk be, hogy nem létezik olyan csomó, amelynek kereszteződési száma 1!
Bizonyítás: Nézzük meg, hogy a kereszteződésnél lévő végeket hogyan lehet összekötni, azaz hogy milyen alakokat ölthet az adott csomó minimális számú kereszteződéssel rendelkező vetülete! Nézzük, hogy a jobb felső szárat mivel köthetjük össze! A 21.a. ábrán a bal alsó szárral kötöttük össze, ekkor a másik két szárat összekötve biztosan kapunk még egy kereszteződést, tehát c(K) itt legalább kettő lesz. Ha a bal felső szárral kötjük össze (21.b. ábra), akkor a másik két szabad szárat összekötve a triviális csomót kapjuk, és szintén a triviális csomót kapjuk, ha a jobb alsó szárral kötjük össze (21.c. ábra). Ezzel az állítást beláttuk, hiszen a triviális csomó kereszteződési száma 0.

21.a. ábra
21.b. ábra
21.c. ábra

7. (Házi) feladat Bizonyítsuk be, hogy nem létezik olyan csomó, amelynek kereszteződési száma 2!

Most definiálunk egy tulajdonságot, aminek segítségével belátjuk, hogy a 3-levelű csomó nem a triviális csomó.

Egy K csomó 3-színezhető, ha D a K vetülete, és D ívei megszínezhetők 3 színnel úgy, hogy az alábbi két tulajdonság teljesül:

1. D nem egyszínű;

2. Minden kereszteződésnél pontosan 1 vagy pontosan 3 szín szerepel.

22. ábra

A háromlevelű csomó egyik vetülete 3-színezhető, amint ez a 22. ábrán látható. A definícióval az a baj, hogy a K csomó egyik vetületével kapcsolatban mond tulajdonságot, nem K-val, tehát egyelőre úgy tűnik, hogy a 3-színezhetőség a D vetület tulajdonsága, nem a K csomóé. Ezt a problémát oldja fel az alábbi tétel.

Tétel: Ha valamely csomó egyik vetülete 3-színezhető, akkor az összes vetülete 3-színezhető.

A tétel igazolása után joggal mondhatjuk, hogy a 3-színezhetőség a csomó tulajdonsága. A 3-színezhetőség tehát csomó-invariáns.

Bizonyítás:

Végezzük el a 3-színezhető csomón előforduló lehetséges kereszteződéseken az R1, R2, R3 átalakításokat!

Az R1-es átalakítás esetében a kereszteződésnél legfeljebb két szín lehet, mert csak két ív találkozik (Ld. 17. ábra), de a csomó 3-színehető, tehát csak 1 szín van a kereszteződésnél. Az átalakítást elvégezve a csomó 3-színezhető marad, hiszen az eredeti színezés megfelelő lesz.

Az R2-es átalakítás előtt a két madzagdarab vagy azonos, vagy különböző színű. (23. ábra) Az átalakítás után a 3-színezhetőség megmarad.

Az R3 átalakításnál ehhez hasonlóan elvégezhetjük a vizsgálatokat.

23. ábra

Mivel a triviális csomó nem 3-színezhető (az ismert vetület mindig egyszínű), ezért a triviális csomó nem azonos a háromlevelű csomóval. Ezzel azt is beláttuk, hogy a háromlevelű csomó kicsomózási száma 1,  kereszteződési száma pedig 3.

Ezzel a tulajdonsággal azonban csak kevés esetben tudunk csomókat megkülönböztetni egymástól. Például a háromlevelű csomónak két alakja van: a jobb- és balkezes, egyik a másiknak tükörképe (24. ábra). Az nyilvánvaló, hogy 3-színezhető csomó tükörképe is 3-színezhető. Azonban a csomók tükörképei nem feltétlenül azonosak, pl. a két 3-levelű csomó is különböző.  Ezt csak később mutatjuk meg.

jobbkezes háromlevelű csomó

balkezes háromlevelű csomó
24.a. ábra
24.b. ábra

Persze létezik olyan csomó, aminél a tükörkép megegyezik az eredeti csomóval.

8. (Házi) feladat Mutassuk meg, hogy a 25. ábrán látható csomó azonos a tükörképével!

25. ábra

Jó lenne tehát olyan fogalmat definiálni, ami pontosabban leírja a csomókat. Egy megfelelő, „finom” invariáns a Jones polinom, ami a nevéből következően egy polinommal írja le a csomókat, illetve azok vetületeit. Alább először a D csomóvetülethez, diagrammhoz rendelt <D> Kauffman zárójelet (Kauffman bracket) értelmezzük, majd megmutatjuk, hogy ez majdnem csomó-invariáns, végül módosítjuk, hogy valódi csomó-invariánst, a VD  Jones-polinomot kapjuk. <D> és VD értelmezéséhez kilépünk a csomók világából és láncokra is értelmezzük e fogalmakat.

A <D> polinomot alább egy olyan szabályrendszerrel értelmezzük, amely „a kereszteződések eltüntetésével” lehetővé teszi a kiszámolását (O a triviális vetületű csomót, D∪ O a D és O vetületek diszjunkt, átfedésmentes unióját jelöli). A <D> polinom nem igazi polinom, hanem úgynevezett Laurent-polinom, az A változó hatványai mellett ugyanis A-1 hatványai is szerepelnek benne.

<D> legyen a csomó D diagramjának Kauffman zárójele, ha teljesül rá az alábbi három tulajdonság:

1. <O> = 1

2. <D∪ O> = (-A-2-A2) · <D>

3. <d26> = A<d27> + A-1<d28>, ahol d26, d27 és d28 a 26., 27. és 28. ábrán látható


26. ábra

27. ábra

28. ábra

8. feladat Bizonyítsuk be, hogy a Kauffman zárójel R2-re és R3-ra (17. ábra ill. alább) invariáns!

             

Bizonyítás (R2-re):

<d29> = A<d30>  + A-1<d31> = A<d32> + A-1<d33> = A(A<d34> + A-1<d35>) + A-1 (A<d36> + A-1<d37>) = A2<d27> + (-A2-A-2)<d27> + <d28> + A-2<d27> = <d28> (di = i. ábra alább)


29. ábra

30. ábra

31. ábra

32. ábra

33. ábra

34. ábra

35. ábra

36. ábra

37. ábra

A probléma az, hogy a Kauffman zárójel R1-re nem invariáns:

<d38> = A<d39> + A-1<d40> = A<d41> + A-1(-A-2-A2)<d41> = -A-3<d41> (itt is di = i. ábra)

38. ábra
39. ábra
40. ábra
41. ábra

Vagyis új mennyiséget kell definiálni, amire már tényleg teljesül, hogy R1, R2 és R3 átalakításokra invariáns.

2.tétel (Jones tétel): Vk = -A-3w(D)<D> már valóban invariáns lesz R1, R2 és R3-ra, ahol w(D) a D-ben található összes kereszteződés összeadása a következő módon: a 42.a. ábrán lévő kereszteződés értéke -1, a 42.b. ábraié pedig +1.

42.a. ábra
42.b. ábra

A VK  Jones polinom értelmezéséhez tehát elképzeljük a csomó (a D csomóvetület) egy bejárását és a bejárási iránynak megfelelően irányítást adunk a csomónak (íveinek). Ezután egy kereszteződési pontnak akkor adunk negatív előjelet, ha a felső íven haladva az alsó ív jobbról balra halad át (42.a. ábra), az ellenkező esetben pedig pozitív lesz az előjel (42.b. ábra). Maga a Jones polinom nem függ a vetület irányításától, értéke a két lehetséges irányításnál ugyanaz lesz, csak a kiszámoláshoz van szükség az irányításra.

Jelölje HJ a jobbkezes, HB a balkezes háromlevelű csomót. Kiszámolható, hogy a VK  Jones polinom már megkülönbözteti a bal és a jobbkezes háromlevelű csomót:

VHJ  = A-12 + A-4A-16                                           VHB = A12 + A4A16 .

Ajánló

Louis H. Kauffman weboldala:
http://www.math.uic.edu/~kauffman/

Vaughan F. R. Jones honlapja:
http://math.berkeley.edu/~vfr/

Vaughan F. R. Jones cikke a Jones polinomról kutatóknak (nem a felfedezést rögzítő cikk):
http://math.berkeley.edu/~vfr/jones.pdf

Most is felmerülnek kérdések:

- létezik-e 2 különböző K1, K2 csomó, amiknek a Jones polinomjuk megegyezik? Erre a kérdésre a válasz sajnos igen, így látható, hogy a polinom nem tökéletes.
- létezik-e olyan K csomó, ami nem a triviális csomó, de a Jones polinomja triviális, azaz VK = 1 (=V0)? Ez a kérdés még nyitott, mivel még senki sem talált ilyen csomót, de azt se bizonyították be, hogy nem létezik ilyen csomó. A legfeljebb 17 kereszteződési számú csomók közül azonban biztos, hogy csak a triviális csomó Jones polinomja 1. Ez egy 1997-ből származó eredmény[2].

Vizsgáljuk meg miként „tárolja” a csomóval kapcsolatos információkat a Jones polinom! Ehhez először vezessünk be egy rövidítő jelölést!

BK = (legmagasabb kitevő-legkisebb kitevő VK-ban)/4
3.tétel Ha a D vetületben n kereszteződési pont van, akkor BK n

Ezt a tételt egyébként a közelmúltban (1992-ben) sikerült bizonyítani.

4. tétel Tegyük fel továbbra is, hogy a D vetületben n kereszteződési pont van. Ha ez a vetület alternáló – tehát bármelyik szálon az azt keresztező ívek felváltva alul és felül jönnek (43. ábra) –,  és nem egyszerűsíthető, akkor BK = n

43. ábra
44. ábra

Ezek a tételek hasznosak, hiszen például a 44. ábrán látható alternáló vetületnél kiszámolható c(Kn)

Khovanov 2004-ben egy újítást vezetett be:

V minden ai együtthatója helyett számok egy (bi1, bi2,… bik) sorozatát rendelte a csomóhoz. Ezekből az alábbi táblázatba rendezett formából az ai együtthatók is megkaphatók.

b11   b21   b31 …  bn1

b21   b22   b32 …  bn2

.                              .

.                              .

.                              .

b1k   b2k   b3k …  bnk

a1     a2     a3 …     an

Az előállító formula a bi1 - bi2 + bi3 - … = ai  alternáló összeg. A bij számok, tehát a fenti számtáblázat elemei már jobban megkülönböztetik a csomókat. Segítségükkel 2005-ben Rasmussen igazolta, hogy u(Kn) = n, addig csak annyit tudtak, hogy u(Kn) ≤ n.

Ajánló

Colin Adams által 2002-ben ajánlott megoldatlan problémák a csomóelméletben:
http://www.williams.edu/Mathematics/cadams/knotproblems.html

Louis H. Kauffman „Knots and Applications” egyetemi órájához tartozó segédanyagok:
http://www.math.uic.edu/~kauffman/569.html

Csomóelmélet a Mathworld enciklopédiában:
http://mathworld.wolfram.com/Knot.html

Rimányi Richárd: A csomók elmélete , Természet Világa, 1998. III. különszám, Matematika különszám

David Eppstein: The Geometry Junkyard, Csomók:
http://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/knot.html

The KnotPlot Site: http://www.cs.ubc.ca/nest/imager/contributions/scharein/KnotPlot.html

A Wales Egyetem (Bangor) Informatikai Intézetének „Matematika és csomók” kiállítása:
http://www.popmath.org.uk/exhib/knotexhib.html

[1] Részletesebben lásd pl. Hajós György: Bevezetés a geometriába (Tankönyvkiadó, Budapest) 26.2 Tétel.

Kiemelt támogatónk 2006-ban:
Tigra Computer
Támogatóink 2003-ban:
Oktatási Minisztérium
Powered by:
Apache + Php + Mysql
Kapcsolat
hraskoa@fazekas.hu
Copyright © 2004-2010 Fazekas Mihály Fővárosi Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium. Served by pingvin.