Vegyes feladatok: VF_000019 ( VF_000019 )
Témakör: *Algebra (polinom)
Számítsuk ki $\left( {x+y+z} \right)^2$ értékét, ha $ 2x\left( {y+z} \right)=1+yz, \quad \dfrac{1}{x}-\dfrac{2}{y}=\dfrac{2}{3}$ és $x+y+\dfrac{1}{2}=0.$
A változók egyike sem lehet 0, így a törtek eltávolíthatók és a következő egyenletrendszert kapjuk:
$ 2xy+2xz-yz=1, $
$ 3xy=\dfrac{2}{3}, $
$ yz=-\dfrac{5}{3}. $
Innen
$ x^2=\dfrac{xy\cdot xz}{yz}=\dfrac{2}{5}, $
$ y^2=\dfrac{xy\cdot yz}{xz}=\dfrac{5}{2}, $
$ z^2=\dfrac{sy\cdot yz}{xy}=\dfrac{10}{9}. $
Ezeket felhasználva
$ \left( {x+y+z} \right)^2=x^2+y^2+z^2+2\left( {xy+xz+yz} \right)=\dfrac{2}{5}+\dfrac{5}{2}+\dfrac{10}{9}+2\left( {-1+\dfrac{2}{3}-\dfrac{5}{3}} \right)=\dfrac{1}{90}. $
2. Megoldás
A harmadik egyenletből $x+y$ értékét behelyettesítve
$ \left( {x+y+z} \right)^2=\left( {z-\dfrac{1}{z}} \right)^2=z^2+\dfrac{1}{z^2-2,} $
Így elég $z^2$ értékét meghatároznunk. Az egyenleteknek az előző megoldásban szereplő alakját használva adjuk össze az első és utolsó egyenletet:
$ 2xy+3xz=0, \quad \quad y=-\dfrac{3}{2}z. $
Ezt a második egyenletbe helyettesítve $-\dfrac{9}{2}xz+2xy+\dfrac{3}{}z^2=0,$ innen $x=\dfrac{3}{5}z.$ A nyert értékeket az első egyenletbe helyettesítve
$ -\dfrac{9}{5}z^2+\dfrac{6}{5}z^2+\dfrac{3}{2}z^2=1,\quad \quad z^2=\dfrac{10}{9}, $
tehát
$ \left( {x+y+z} \right)^2=\dfrac{10}{9}+\dfrac{9}{10}-2=\dfrac{1}{90}. $
