Vegyes feladatok: VF_000007 ( VF_000007 )
Témakör: *Algebra (polinom, ötödfokú)
Hozzuk egyszerűbb alakra az
$ \dfrac{\left( {x+y} \right)^5}{xy\left( {x^2+xy+y^2} \right)}-\dfrac{x^4}{y\left( {x^2+xy+y^2} \right)}-\dfrac{y^4}{x\left( {x^2+xy+y^2} \right)} $
kifejezést.
A törtek közös nevezője $xy\left( {x^2+xy+y^2} \right)$ és közös nevezőre hozva a számláló
$ \left( {x+y} \right)^5-x^5-y^5=\left( {x+y} \right)^5-\left( {x^5+y^5} \right) $
Mint teljes indukcióval, könnyen belátható, két egyenlő páratlan kitevőjű hatvány összege felírható mint az alapok összege szorozva egy polinom, ötödfokúmal:
$ a^{2n+1}+b^{2n+1}=\left( {a+b} \right)\left( {a^{2n}-a^{2n-1}b+a^{2n-2}b^2-\ldots -ab^{2n-1}+b^{2n}} \right). $
Ezt használva $n=2$-re, a számláló így alakítható:
$ \left( {x+y} \right)^5-\left( {x^5+y^5} \right)= $
$ =\left( {x+y} \right)\left[ {\left( {x^4+4x^3y+6x^2y^2+4xy^3+y^4} \right)-\left( {x^4-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4} \right)} \right]= $
$ =5\left( {x+y} \right)xy\left( {x^2+xy+y^2} \right). $
Így az egész nevezővel lehet egyszerűsíteni és a kifejezés legegyszerűbb alakja $ 5\left( {x+y} \right)$ lesz.
