A $ k_1 $ és $ k_2 $ körök a $ P $ pontban kívülről érintik egymást, egyik közös (külső) érintőjük rendre az $ A_1 $ és $ A_2 $ , a másik pedig a $ B_1 $ és $ B_2 $ pontokban érinti a $ k_1 $, illetve a $ k_2 $ kört. Bizonyítsuk be, hogy a $ PA_1A_2 $ és $ PB_1B_2 $ háromszögek köré írt körök érintik egymást.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Legyen $ n \geq 2 $ egész szám. Határozzuk meg ($ n $ függvényében) azt a legkisebb $ c $ valós számot, melyre teljesül a következő. Ha $ n $ darab nemnegatív, legfeljebb $ 1 $ értékű valós számot írunk egy kör kerületére, akkor biztosan lehet találni két szomszédosat, melyek különbsége legfeljebb $ c $.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az $ (a_n) $ sorozatot a következő rekurzióval értelmezzük: $ a_1 = 1 $, és $ n > 0 $ esetén $ a_{n+1} = a^2_n + 3a_n + 1 $.
Mutassuk meg, hogy

$ \dfrac{1}{2+a_{1}}+ \dfrac{1}{2+a_{2}}+ \ldots + \dfrac{1}{2+a_{2024}} < \dfrac{1}{2}$

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Tekintsünk az $ n \times n $-es sakktáblán egy olyan figurát, amely csak egy mezőnyit léphet, és csak jobbra vagy fölfelé. Nevezzük kígyónak mezők egy ilyen figurával bejárható részhalmazát. Hányféleképpen lehet lefedni a teljes sakktáblát $ n $ darab kígyóval úgy, hogy közülük semelyik kettő nem tartalmaz közös mezőt?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Mely pozitív páros számok azok, amelyek egyenlők az önmaguktól és az $ 1 $-től különböző pozitív osztóik összegével?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba