Egy kör kerületén kijelölünk 24 darab különböző pontot. Az általuk meghatározott húrokat megszámozzuk az $ 1" />, 2, \ldots , n $ számokkal, ahol $ n = \dbinom{24}{2} $. Egy dobozba teszünk $ n $ darab egyforma kártyát, mindegyikre egy számot írtunk $ 1 $-től $ n $-ig. A dobozból egyszerre kihúzunk két kártyát találomra. Mekkora a valószínűsége, hogy a kártyákon szereplő számokkal jelölt két húrnak van közös pontja?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Tekintsük az $ ABC $ háromszöget, melynek oldalainak hossza $ AB = AC = 5 $ és $ BC = 6 $. Írjunk bele egy négyzetet úgy, hogy annak minden csúcsa valamelyik oldalra essék. A négyzetet az $ ABC $ háromszögből kivágva megmarad három kisebb háromszög. Mekkora lehet ezen háromszögekbe írt körök területének összege?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Bizonyítsuk be, hogy ha  $ a $, $ b $, $ c $ pozitív valós számok, amelyekre $ abc = 1 $, akkor igaz az alábbi egyenlőtlenség:

$ \dfrac{1}{a^3+b^3+1}+ \dfrac{1}{b^3+c^3+1}+ \dfrac{1}{c^3+a^3+1} \leq 1 $

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Legyen az $ f $ függvény értelmezési tartománya a valós számok halmaza. Keressük meg az összes olyan $ f $ függvényt, amelyre minden valós $ x $-re $ f (x) $ valós szám, továbbá teljesül az alábbi egyenlet:

$ f^2(4-x)+4f^2(x+4)-9=2 \left[ f(4-x)+3 \right] \ \left[ 2f(x+4)-3 \right]. $

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba