Legfeljebb hány egész koordinátájú pont adható meg a térben úgy, hogy mindegyik egyenlő távolságra legyen az origótól, és bármely kettő az origóval együtt egyenlő területű háromszöget alkosson?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy lakótelepről néhány gyerek szakkörre jár. A szakkörök résztvevői között fiú és lány is van, és minden fiú pontosan $ p $, minden lány pontosan $ q $ szakkörre jár, ahol $ p $ és $ q $ pozitív egész számok, továbbá bármely fiú-lány pár legföljebb egy közös szakkört látogat. Tudjuk továbbá, hogy bármely két szakkör esetén az elsőre pontosan akkor jár több fiú, mint a másodikra, ha lány is több jár az elsőre, mint a másodikra. Legalább hány szakkörnek kell lennie? (A választ $ p $ és $ q $ függvényében adjuk meg.)

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Legyenek $ k $ és $ l $ pozitív egész számok, $ a_1 \le a_2 \le  \ldots \le  a_k $ és $ b_1 \le b_2 \le \ldots \le b_l $ pozitív egész számok, végül legyen $ q(x) $ egy legalább elsőfokú, egész együtthatós polinom. Tegyük föl, hogy minden $ n $ pozitív egész számra $ a^n_1 + a^n_2 + \ldots + a^n_k + q(n) $ osztója a $ b^n_1 + b^n_2 + \ldots + b^n_l + q(n) $ számnak. Bizonyítsuk be, hogy ekkor $ k = l $ és $ a_i = b_i $ minden $ 1 \le i \le k $ esetén.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba