Oldjuk meg a pozitív valós számok halmazán az alábbi egyenletrendszert:

$ \dfrac{x}{5}+\dfrac{5}{y}=\log_5(10z-x^2);\ \dfrac{y}{5}+\dfrac{5}{z}=\log_5(10x-y^2);\ \dfrac{z}{5}+\dfrac{5}{x}=\log_5(10y-z^2);\   $

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy 100 × 100-as sakktábla néhány mezőjét hangyák foglalják el a következő szabályok szerint: (i) minden mezőn legfeljebb egy hangya állhat, a mező közepén; (ii) minden hangyához legfeljebb két hangya áll két egységnyinél közelebb; (iii) ha két hangya távolsága pont 2, akkor a köztük levő mező üres, azon nincs hangya. A hangyákat pontszerűnek tekintjük és mindhárom szabálynak teljesülnie kell.
a) Igazoljuk, hogy lehet a táblán 3400-nál több hangya.
b) Felállhat-e a táblára 3700-nál több hangya?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az $ ABCD $ húrnégyszög oldalainak hossza  $ AB = a $, $ BC = b $, $ CD = c $ és $ DA = d $. Jelölje $ r_a $ annak a körnek a sugarát, amely az $ AB $ oldalt egy belső pontban kívülről érinti, továbbá érinti a $ BC $ és $ AD $ oldalegyeneseket is. Hasonlóképpen értelmezzük az $ r_b $ , $ r_c $ és $ r_d $ sugarú köröket. Igazoljuk, hogy

$ \dfrac{1}{r_a}+\dfrac{1}{r_b}+\dfrac{1}{r_c}+\dfrac{1}{r_d}\ge \dfrac{8}{\sqrt[4]{abcd}} $

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba