Adott az $ (a_n) $ nem állandó számtani sorozat ($ n \in \mathbb{N}^+ $), és a valós számok halmazán az $ f ( x) = x^3 + a_4 x^2 + a_{20} x + a_1 $ hozzárendelési szabállyal értelmezett függvény. Az $ f $ függvény zérushelyei $ a_9 $, $ a_{10} $ és $ a_{11} $. Adja meg a számtani sorozat első tagját és differenciáját.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Adott a 2 egység oldalhosszúságú $ ABCD $ négyzet. A négyzet $ AB $, $ BC $, $ CD $ és $ DA $ oldalain rendre felvesszük a $ P $, $ Q $, $ R $ és $ S $ pontokat úgy, hogy a $ PQRS $ négyszög négyzet legyen. Jelölje $ k_1 $ az $ APS $ háromszög, $ k_2 $ a $ PQRS $ négyzet beírt körét.
a) Bizonyítsa be, hogy a $ k_1 $ és a $ k_2 $ kör kerületének összege nem függ a $ P $, $ Q $, $ R $ és $ S $ pontok helyzetétől.
b) Bizonyítsa be, hogy a $ k_1 $ kör középpontja illeszkedik a $ PQRS $ négyzet köré írható körére.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

 Adott az alábbi, pozitív egész számokat tartalmazó táblázat.

A táblázat $ n $-edik sorában $ n $ darab szám áll ($ n \ge 1 $), a sor első és utolsó eleme $ n $. A harmadik sortól kezdve a sor többi eleme megegyezik az előző sorban közvetlenül az elem felett álló két szám összegével. Jelölje $ s_n $ a táblázat $ n $-edik sorában álló számok összegét ($ s_1 = 1 $, $ s_2 = 4 $, $ s_3 = 10 $).

a) Adja meg $ s_n $ értékét $ n $ függvényében.
b) Melyek azok az $ n \ge 3 $ egész számok, amelyekre $ s_n $ négyzetszám?
c) Adja meg az $ (s_n) $ sorozat tagjainak kettes számrendszerbeli alakját.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba