Egy valós együtthatós másodfokú polinom minden egész helyen páratlan egész értéket vesz fel. Következik-e ebből, hogy egész együtthatós?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Legyen $ P $ az $ ABC $ háromszög belső pontja. Bizonyítsuk be, hogy a $ PAB $, $ PBC $, $ PCA $ szögek összege nagyobb a háromszög legkisebb szögénél.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy pozitív egész $ n $ számot teljes hatványnak hívunk, ha $ n = a^ b $ valamely $ a \ge 1 $, $ b \ge 2 $ egészekre. Nevezzük a pozitív egész $ n $ számot majdnem teljes hatványnak, ha $ n $ mindegyik $ p $ prímosztójára $ n/p $ teljes hatvány. Igaz-e, hogy minden pozitív egésznek létezik majdnem teljes hatvány többszöröse?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Igazoljuk, hogy tetszőleges x, y, z pozitív valós számokra

$ \dfrac{(x + y)(y + z)(z + x)}{xyz}\ge \dfrac{8}{3}\sqrt[3]{(xyz)^2} $

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Van-e olyan tetraéder, amelyben a lapok köré írt körök középpontjai egy egyenesre illeszkednek?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba