1. találat: OKTV 2021/2022 III. kategória 1. forduló 1. feladat Témakör: *Számelmélet (Azonosító: OKTV_20212022_3k1f1f ) Egy valós együtthatós másodfokú polinom minden egész helyen páratlan egész értéket vesz fel. Következik-e ebből, hogy egész együtthatós? Témakör: *Számelmélet (Azonosító: OKTV_20212022_3k1f2f ) Legyen $ P $ az $ ABC $ háromszög belső pontja. Bizonyítsuk be, hogy a $ PAB $, $ PBC $, $ PCA $ szögek összege nagyobb a háromszög legkisebb szögénél. Témakör: *Számelmélet (Azonosító: OKTV_20212022_3k1f3f ) Egy pozitív egész $ n $ számot teljes hatványnak hívunk, ha $ n = a^ b $ valamely $ a \ge 1 $, $ b \ge 2 $ egészekre. Nevezzük a pozitív egész $ n $ számot majdnem teljes hatványnak, ha $ n $ mindegyik $ p $ prímosztójára $ n/p $ teljes hatvány. Igaz-e, hogy minden pozitív egésznek létezik majdnem teljes hatvány többszöröse? Témakör: *Számelmélet (Azonosító: OKTV_20212022_3k1f4f ) Igazoljuk, hogy tetszőleges x, y, z pozitív valós számokra $ \dfrac{(x + y)(y + z)(z + x)}{xyz}\ge \dfrac{8}{3}\sqrt[3]{(xyz)^2} $
Témakör: *Számelmélet (Azonosító: OKTV_20212022_3k1f5f ) Van-e olyan tetraéder, amelyben a lapok köré írt körök középpontjai egy egyenesre illeszkednek?
|
|||||
|