Határozzuk meg az összes olyan prímszámot, amely előáll $ \left[ \dfrac{n^2}{5} \right] $ alakban, ahol $ n $ pozitív egész számot jelöl. (A feladat szövegében szereplő $ [y] $ jelölés az $ y $ valós szám alsó egészrésze, ami az $ y $-nál nem nagyobb egészek közül a legnagyobb.)

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Határozzuk meg a következő egyenlet összes valós megoldását:

$ 4^{\sin ( \pi x)\cdot \cos (\pi x)}-2x=0 $

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

A hegyesszögű $ ABC $ háromszögben  $AB \ne CB $ , az $ AC $ oldal felezőpontja $ F $. Legyen a $ B $-ből induló magasságvonal talppontja az $ AC $ oldalon $ T $, az $ A $ és $ C $ pontok merőleges vetülete a háromszög $ B $ csúcsából induló belső szögfelezőjének egyenesén pedig rendre $ P $ és $ Q $.
(a) Bizonyítsuk be, hogy $ P $, $ Q $, $ F $ és $ T $ egy körön helyezkednek el.
(b) Legyen $ R $ az $ ABC $ köré írt kör sugara, $ r $ pedig a $ P $, $ Q $, $ F $ és $ T $ pontokat tartalmazó kör sugara. Határozzuk meg az $ ABC $ háromszög legnagyobb és legkisebb szögének arányát, ha  $  ABC \sphericalangle = 72^\circ $ és $ R : r = 2 : 1 $ .

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Milyen $ m $ egész esetén van olyan irracionális $ x $, amire

$ x^{12}+mx,\qquad x^3+2x^2,\qquad x^2+x$

mindegyike egész.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba