Legyenek $ a_1 < a_2 < \ldots < a_n $ pozitív egészek. Legyen továbbá $ b_i = [a_i; a_{i+1}] $ $ (i = 1; 2; \ldots; n-1) $, ahol $ [a_i; a_{i+1}] $ az $ a_i $ és $ a_{i+1} $ számok legkisebb közös többszörösét jelöli.

a) Lehetséges-e, hogy $ b_1 > b_2 > b_3 > b_4 $?

b) Lehetséges-e, hogy $ b_1 = b_2 = b_3 = \ldots = b_{99} = b_{100} $?

c) Bizonyítsuk be, hogy

$ \dfrac{1}{b_1}+\dfrac{1}{b_2}+\ldots+\dfrac{1}{b_{n-1}}<1$

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az $ ABC $ háromszög beírt körét jelölje $ k $, ennek középpontja legyen $ I $. $ k $-nak $ BC $-vel párhuzamos érintője rendre $ D $-ben és $ E $-ben metszi az $ AB $ és $ AC $ oldalakat. Bizonyítsuk be, hogy a $ DEI $ háromszög területe az $ ABC $ háromszög területének legfeljebb $ \dfrac{1}{8} $ része.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Aladár kiszínezett egy $ 9 \times 9 $-es táblán valahány mezőt. Barátja, Béla, nem látta a táblát, de Aladár elárulta neki a kiszínezett mezők $ k $ számát. Mekkora lehet $ k $ minimális értéke, ami esetén Béla biztos lehet benne, hogy van a táblán olyan $ 2\times 2 $-es blokk, amelyből Aladár legalább 3 mezőt kiszínezett?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba