A 257 olyan háromjegyű szám, amelynek számjegyei különbözőek. Ha a számjegyeket fordított sorrendben leírjuk, akkor az eredetinél nagyobb számot kapunk, a 752-t. Hány ilyen tulajdonságú háromjegyű szám van?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az a valós paraméter mely értékeire lesz az

$\left | \dfrac{x^2-4ax+4a^2+1}{x-2a} \right | + x^2-2x-1=0$

egyenletnek pontosan egy valós megoldása?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Messe az AB átmérőjű k₁ kört a C és D pontokban az A középpontú k₂ kör. A k₂ körnek az AB átmérőre eső pontja legyen E ! Válasszuk ki ak₂ körnek az ABC háromszög belsejébe eső CE körívén az ív egy tetszőleges M belső pontját! A BM egyenes és a k₁ kör másik metszéspontját jelöljük N -nel! Bizonyítsa be, hogy

$MN^2 = CN \cdot DN$

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Milyen a valós paraméter esetén lesz pontosan két valós gyöke a

 $\sin ^2 \left ( x+ \dfrac{\pi}{3} \right )-\left( a+2\right )\cdot \sin \left ( x+ \dfrac{\pi}{3} \right )+2a=0$

egyenletnek a $[ 0;2\pi]$ intervallumban?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az ABCD tetraéder belsejében vegyünk fel egy P pontot, majd kössük össze a tetraéder csúcsaival. Az AP;BP;CP és DP egyenesek szemközti oldallapokon lévő döféspontjai rendre: A₁;B₁ ;C₁ és D₁ . Bizonyítsa be, hogy

$\dfrac{PA_1}{AA_1}+\dfrac{PB_1}{BB_1}+\dfrac{PC_1}{ CC _1}+\dfrac{PD_1}{DD_1}=1$

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba