Jelölje a pozitív egész k utolsó jegyét u(k), például u(2016) = 6.  a pozitív egész a0 . Egy számsorozat tagjainak képzési szabálya a következő:  a pozitív egész  $a_0$ adott, továbbá $n>0$ esetén

$a_n = a_{n-1} + u(a_{n-1} ) - 1$

Milyen $a_0$  számok esetén tartalmaz a sorozat végtelen sok 3-hatványt?

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

A négyzetrácson adott az ABCD konvex rácsnégyszög úgy, hogy mind a négy csúcsa, mind pedig átlóinak M metszéspontja rácspont (azaz olyan pont, melynek mindkét koordinátája egész). Jelölje t az ABCD négyszög, $t_1$ pedig az ABM háromszög területét. Igazoljuk az alábbi egyenlőtlenséget és állapítsuk meg, mikor lehet egyenlőség:

$\sqrt{t}\ge\sqrt{t_1}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

3. Egy társaság n tagból áll, közülük néhányan ismerik egymást, az ismeretség kölcsönös. Bármely két, egymást nem ismerő embernek pontosan két közös ismerőse van. Amennyiben két ember ismeri egymást, nekik nincs közös ismerősük. Igazoljuk, hogy a társaság minden tagjának ugyanannyi ismerőse van.

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba