Egy iskolának 510 tanulója van. Év végén a fiúk $ p $ százaléka, a lányok $ p + 3 $ százaléka lett kitűnő, így 13 fiú és 20 lány kitűnő tanuló van.
a) Határozza meg a fiúk és a lányok számát ebben az iskolában!
A 33 kitűnő (5,0 átlagú) tanuló közül sorsolással kiválasztanak hármat, akik ingyenes nyári táborozást nyernek.
b) Határozza meg annak a valószínűségét, hogy a kisorsolt tanulók között 1 fiú és 2 lány lesz!
Az 510 tanuló év végi tanulmányi átlagairól (a kitűnők számán kívül) még a következő információkat tudjuk: az év végi átlagok terjedelme 2,4; módusza 3,8; mediánja 4,0; átlaga 4,2; szórása 0,9; alsó kvartilise 3,3; felső kvartilise 4,6.
c) Készítsen a tanulók év végi tanulmányi átlagairól sodrófadiagramot!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Legyen a $ H $ alaphalmaz az egyváltozós valós függvények halmaza, $ M $, $ K $ és $ A $ pedig a $ H $ alábbi részhalmazai:
M = {az értelmezési tartományukon szigorúan monoton növekedő függvények};
K = {az értelmezési tartományukon konvex függvények};
A = {alulról korlátos függvények}.

a) Helyezze el az alábbi hozzárendelésekkel megadott függvények betűjelét az ábra megfelelő részébe!

$ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R},\ x\mapsto \sin x $

$ g:\mathbb{R}\setminus\{0\} \rightarrow \mathbb{R},\ x\mapsto \dfrac{1}{x} $

$ h:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R},\ x\mapsto 2^x $

$ i:\mathbb{R}^+ \cup \{0\} \rightarrow \mathbb{R},\ x\mapsto \sqrt{x} $

b) Jelölje az ábrán satírozással a $ (K \cap A) \setminus M $ halmazt, és hozzárendelési szabályával adjon meg egy olyan $ j $ függvényt, amely ebbe a halmazba tartozik!
c) Határozza meg az $ \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, x\mapsto x^2+bx+c $ függvény $ b $ és $ c $ paramétereinek értékét, ha tudjuk, hogy a függvénynek $ x=2 $-ben minimumhelye van, és a minimum értéke $ –1 $.
d) Határozza meg azokat a $ p \in [0; 2\pi] $ értékeket, amelyekre $ \int\limits_0^p \sin x \,dx=\dfrac{1}{2} $

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Felül nyitott, négyzet alapú egyenes hasáb alakú tárolódobozt készítünk. A doboz alaplapjának anyagköltsége 4 tallér négyzetdeciméterenként, az oldallapok anyagköltsége 3 tallér négyzetdeciméterenként. Az egész doboz anyagköltségére összesen 300 tallér áll rendelkezésre.
a) Legfeljebb mekkora lehet a doboz magassága, ha alapélei 6 dm hosszúak?
b) Határozza meg a 300 tallérból elkészíthető maximális térfogatú doboz éleinek hosszát!
Az elkészült doboz alaplapját és négy oldallapját kívül kékre vagy pirosra festjük, egyegy lapot egyszínűre.
c) Hányféle különböző színezésű doboz készíthető? (Két színezést különbözőnek tekintünk, ha forgatással nem vihetők át egymásba. Nem szükséges mindkét színt felhasználni.)

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Legyen G egy ötpontú fagráf.
a) Lehetséges-e, hogy ekkor G komplementere is fagráf?
Egy hatpontú teljes gráf pontjait megszámozzuk 1-től 6-ig. A gráf éleit ezután zöldre vagy pirosra színezzük a következő szabály szerint: két pontot összekötő él zöld lesz, ha a két ponthoz írt számok közül az egyik osztója a másiknak, egyébként pedig piros. A gráf pontjai közül véletlenszerűen kiválasztunk hármat.
b) Határozza meg annak a valószínűségét, hogy a kiválasztott három pontot összekötő három él azonos színű!
Egy dobozban 3 zöld és 3 piros golyó van. A dobozból csukott szemmel, visszatevés nélkül addig húzunk egymás után golyókat, amíg vagy a zöld vagy a piros golyók közül kihúzzuk mind a hármat.
c) Határozza meg a szükséges húzások számának várható értékét!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

a) Melyik az a legnagyobb természetes szám, amelyre az alábbi négy tulajdonságból pontosan három teljesül?
(1) Húszjegyű.
(2) $ 20 $-szal osztható.
(3) Számjegyeinek összege $ 20 $.
(4) Számjegyeinek szorzata $ 20 $.
Legyen a $ H $ alaphalmaz a húszjegyű pozitív egész számok halmaza, az $ A $ halmaz pedig a 7-es számjegyet tartalmazó húszjegyű pozitív egész számok halmaza.
b) Melyik a nagyobb: $ |A| $ vagy $ \left|\overline{A}\right| $ ?
Az $ n $ jegyű pozitív egészek közül egyet véletlenszerűen kiválasztva $ 0,99 $-nél nagyobb annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott szám tartalmaz $ 7 $-es számjegyet.
c) Határozza meg $ n $ lehetséges értékeit!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba