Egy cipőboltban novemberben három pár cipő összesen $ 45 000 $ Ft-ba került. Egy karácsonyi akció keretében, ha valaki három pár cipőt egyszerre vásárolt, akkor a legolcsóbbat $ 50\% $, a második legolcsóbbat pedig $ 20\% $ kedvezménnyel vehette meg (a legdrágább cipőre nem járt kedvezmény). Ebben az akcióban ugyanezért a három pár cipőért így összesen már csak $ 37 000 $ Ft-ot kellett fizetni. Karácsony elmúltával az akció véget ért, és a legolcsóbb cipő árát – a novemberi árához képest – $ 30\% $-kal megemelték, így a három pár cipő ekkor összesen $ 48 000 $ Ft-ba került.
a) Határozza meg mindhárom pár cipő novemberi árát!
Négy szám közül az első három szám egy számtani, az utolsó három szám pedig egy mértani sorozat egymást követő három tagja. Az első szám a $ 3 $, a negyedik szám a $ 25 $.
b) Határozza meg a másik két számot!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Egy kis szigeten élő állatfajok populációinak egyedszámát egy modell szerint (jó közelítéssel) a következő képlet adja meg: $ P(t )=\dfrac{E}{1+k\cdot 2^{-ct}} $. A képletben $ P(t) $ az adott faj populációjának egyedszáma a vizsgálat kezdetétől számított $ t $ év elteltével, $ E $, $ k $ és $ c $ pedig az adott faj populációjára jellemző pozitív állandók: E a sziget eltartóképessége (a becsült maximális egyedszám, amit a sziget el tud tartani), $ k $ a populáció kezdeti méretétől, $ c $ pedig a populáció növekedési sebességétől függő állandó.
a) Egy emlősfajra jellemző állandók értéke $ k=1,5 $ és $ c=0,05 $. Tudjuk, hogy a vizsgálat kezdetétől számított 8 év elteltével 140 egyedből áll a faj populációja. Határozza meg a szigetnek az erre az emlősfajra jellemző eltartóképességét!
b) Egy rágcsálófaj esetén a sziget eltartóképessége 1500 egyed. Határozza meg az erre a populációra jellemző k és c állandók értékét, ha a vizsgálat kezdetekor 200, öt évvel később pedig 350 egyedből állt a populáció!
c) Igazolja, hogy egy populáció $ P(t) $ egyedszáma a modell szerint soha nem haladhatja meg a sziget (adott populációra jellemző) eltartóképességét!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Az $ \{a_n\} $ sorozat tagjaira $ n \ge 2 $ esetén az $ a_n=a_{n-1}+n $ összefüggés teljesül. Egy négyszög belső szögei (fokban mérve) $ a_1 $, $ a_2 $, $ a_3 $ és $ a_4 $.
a) Határozza meg a négyszög belső szögeinek nagyságát!
Az $ ABCD $ négyszög oldalai, átlói és szögei közül ismertek a következők: $ AB = 18 $cm, $ AD=15 $cm, $ AC=20 $cm, $ DAB\sphericalangle= 90^\circ $, $ ABC\sphericalangle= 70\sphericalangle $.

b) Határozza meg a négyszög $ BC $ és $ CD $ oldalának hosszát!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

Adott az $ A(5; 14) $ és a $ B(7; 6) $ pont a koordináta-rendszerben.
a) Írja fel annak a körnek az egyenletét, amely illeszkedik az $ A $ és a $ B $ pontokra, és a középpontja az y tengelyen van!
b) Az $ y=\dfrac{1}{2p}(x-u)^2+v $ egyenletű parabola tengelypontja a $ B $ pont, és a parabola illeszkedik az $ A $ pontra. Határozza meg a parabola $ p $ paraméterének értékét!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba

 Egy iskolának 510 tanulója van. Év végén a fiúk $ p $ százaléka, a lányok $ p + 3 $ százaléka lett kitűnő, így 13 fiú és 20 lány kitűnő tanuló van.
a) Határozza meg a fiúk és a lányok számát ebben az iskolában!
A 33 kitűnő (5,0 átlagú) tanuló közül sorsolással kiválasztanak hármat, akik ingyenes nyári táborozást nyernek.
b) Határozza meg annak a valószínűségét, hogy a kisorsolt tanulók között 1 fiú és 2 lány lesz!
Az 510 tanuló év végi tanulmányi átlagairól (a kitűnők számán kívül) még a következő információkat tudjuk: az év végi átlagok terjedelme 2,4; módusza 3,8; mediánja 4,0; átlaga 4,2; szórása 0,9; alsó kvartilise 3,3; felső kvartilise 4,6.
c) Készítsen a tanulók év végi tanulmányi átlagairól sodrófadiagramot!

Megtekintés helyben:     Megtekintés új oldalon:          Feladatlapba